3.1 Worum geht es eigentlich?
In der Mathematik möchten wir (mathematische) Strukturen verstehen und Erkenntnisse darüber als Aussagen formulieren, an deren Wahrheit kein Zweifel bestehen kann. Etwas konkreter sind die drei wesentlichen Bestandteile des Aufbaus der Mathematik
Definition,
Satz und
Beweis.
In einer Definition werden zu verwendende Begriffe erklärt. Der Satz formuliert eine Aussage über die definierten Begriffe, und im Beweis wird eine vollständige und korrekte Argumentation angegeben, die belegt, dass die Aussage des Satzes wahr sein muss.
Das klingt einerseits ziemlich abstrakt, andererseits ist es nicht sehr präzise. Für den Moment ist mir das wichtigste, dass Sie mitnehmen, dass es uns vorrangig darum gehen wird, »strukturelle Aussagen« zu machen (und weniger darum, konkrete Rechnungen durchzuführen) und die Korrektheit dieser Aussagen zu beweisen. Etwas ausführlicher wird die Frage Was ist ein Beweis? im nächsten Abschnitt behandelt, den Sie aber auch erstmal überspringen können.
In der Praxis ist meist ziemlich klar, ob eine Argumentation einen Beweis darstellt oder nicht, und einen Beweis für eine mathematische Aussage zu finden ist ein ganz anderes Problem als die formale Frage, was ein Beweis eigentlich ist. Uns interessiert hier nicht so sehr die formale, sondern mehr die »praktische« Seite dieser Medaille (die ja immer noch abstrakt genug ist …).
Man muss kein Genie sein, um Beweise zu verstehen und selbst zu finden. Von selbst kann das aber auch so gut wie niemand. Das wichtigste ist die Übung: Beschäftigen Sie sich viel mit Mathematik, und nehmen Sie sich genügend Zeit, um über Aufgaben nachzudenken und sich mit anderen darüber zu unterhalten.
Siehe auch Anhang D.3.