Lineare Algebra I, WS 2020/21

Inhalt

3.8 Teilmengen, Konstruktionen von Mengen

Definition 3.18

Sei $X$ eine Menge. Wir sagen, eine Menge $Y$ sei eine Teilmenge von $X$ und schreiben $Y\subseteq X$, wenn für alle $y\in Y$ gilt: $y\in X$.

Statt des Begriffs Teilmenge verwendet man auch den Begriff Untermenge, oder sagt einfach, die Menge $Y$ sei in $X$ enthalten (Wenn die Elemente von $X$ selbst Mengen sind, muss man unter Umständen etwas aufpassen: $Y\subseteq X$ und $Y\in X$ sind zwei sehr unterschiedliche Aussagen.) Wir schreiben $Y\subsetneq X$, wenn $Y\subseteq X$ und $Y\ne X$; in dieser Situation sagt man auch, $Y$ sei eine echte Teilmenge von $X$.

Wie üblich wird das entsprechende Symbol mit einem Schrägstrich durchgestrichen, um die entsprechende Aussage zu verneinen (wie bei $=$ gleich, $\ne $ ungleich). Also bedeutet $Y\not\subseteq X$, dass $Y$ keine Teilmenge von $X$ ist.

\includegraphics[width=7.9cm]{figures/teilmenge}
Statt $Y\subseteq X$ wird oft auch $Y\subset X$ geschrieben, d.h. auch das Symbol $\subset $ schließt in den meisten mathematischen Texten die Gleichheit $Y=X$ als eine Möglichkeit ein. (Die Situation ist also anders als beim Kleiner-/Größer-Zeichen.) In manchen Quellen wird das Zeichen $\subset $ allerdings auch im Sinne von $\subsetneq $ verwendet. Ich bemühe mich, das Symbol $\subset $ dann zu verwenden, wenn die Gleichheit zwar nicht formal ausgeschlossen ist, aber dieser Fall nicht relevant ist bzw. aus dem Kontext klar ist, dass er nicht auftreten kann.

Statt $Y\subseteq X$ kann man auch $X \supseteq Y$ schreiben, und man kann dies auch lesen als »$X$ ist eine Obermenge von $Y$«. Entsprechendes gilt für $\supset $ und $\supsetneq $.

Wir können damit die Gleichheit zweier Mengen $M$, $M^\prime $ formulieren als

\[ M = M^\prime \quad \text{genau dann, wenn}\quad M\subseteq M^\prime , M^\prime \subseteq M. \]

Oft zeigt man eine Gleichheit $M=M’$ von Mengen, indem man die beiden Inklusionen $M\subseteq M^\prime $ und $M^\prime \subseteq M$ beweist.

Definition 3.19

Seien $X$ und $Y$ Teilmengen einer Menge $M$.

  1. Der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) von $X$ und $Y$ ist

    \[ X\cap Y = \{ m\in M;\ m\in X\ \text{und}\ m\in Y \} . \]

  2. Die Vereinigung von $X$ und $Y$ ist

    \[ X\cup Y = \{ m\in M;\ m\in X \ \text{oder}\ m\in Y \} . \]

  3. Die Differenz von $X$ und $Y$ ist

    \[ X\setminus Y = \{ m\in M;\ m\in X\ \text{und}\ m\not\in Y \} . \]

  4. Das Komplement von $X$ in $M$ ist

    \[ X^c = M \setminus X = \{ m\in M;\ m\not\in X\} . \]

\includegraphics[width=14cm]{figures/durchschnittetc}

Allgemeiner können wir Durchschnitte und Vereinigungen von mehr als zwei Mengen bilden:

Definition 3.20

Seien $M$ und $I$ Mengen, und sei für jedes $i\in I$ eine Teilmenge $M_i \subseteq M$ gegeben.

  1. Der Durchschnitt der Teilmengen $M_i$ ist

    \[ \bigcap _{i\in I} M_i = \{ x\in M;\ x\in M_i\ \text{für alle}\ i\in I\} . \]

  2. Die Vereinigung der Teilmengen $M_i$ ist

    \[ \bigcup _{i\in I} M_i = \{ x\in M;\ \text{es gibt ein\ } i\in I\ \text{mit}\ x\in M_i \} . \]

Wir nennen zwei Teilmengen $M_1$, $M_2$ einer Menge $M$ disjunkt, wenn $M_1\cap M_2=\emptyset $.