3.8 Teilmengen, Konstruktionen von Mengen
Sei $X$ eine Menge. Wir sagen, eine Menge $Y$ sei eine Teilmenge von $X$ und schreiben $Y\subseteq X$, wenn für alle $y\in Y$ gilt: $y\in X$.
Statt des Begriffs Teilmenge verwendet man auch den Begriff Untermenge, oder sagt einfach, die Menge $Y$ sei in $X$ enthalten (Wenn die Elemente von $X$ selbst Mengen sind, muss man unter Umständen etwas aufpassen: $Y\subseteq X$ und $Y\in X$ sind zwei sehr unterschiedliche Aussagen.) Wir schreiben $Y\subsetneq X$, wenn $Y\subseteq X$ und $Y\ne X$; in dieser Situation sagt man auch, $Y$ sei eine echte Teilmenge von $X$.
Wie üblich wird das entsprechende Symbol mit einem Schrägstrich durchgestrichen, um die entsprechende Aussage zu verneinen (wie bei $=$ gleich, $\ne $ ungleich). Also bedeutet $Y\not\subseteq X$, dass $Y$ keine Teilmenge von $X$ ist.
![\includegraphics[width=7.9cm]{figures/teilmenge}](images/img-0006.png)
Statt $Y\subseteq X$ kann man auch $X \supseteq Y$ schreiben, und man kann dies auch lesen als »$X$ ist eine Obermenge von $Y$«. Entsprechendes gilt für $\supset $ und $\supsetneq $.
Wir können damit die Gleichheit zweier Mengen $M$, $M^\prime $ formulieren als
Oft zeigt man eine Gleichheit $M=M’$ von Mengen, indem man die beiden Inklusionen $M\subseteq M^\prime $ und $M^\prime \subseteq M$ beweist.
Seien $X$ und $Y$ Teilmengen einer Menge $M$.
Der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) von $X$ und $Y$ ist
\[ X\cap Y = \{ m\in M;\ m\in X\ \text{und}\ m\in Y \} . \]Die Vereinigung von $X$ und $Y$ ist
\[ X\cup Y = \{ m\in M;\ m\in X \ \text{oder}\ m\in Y \} . \]Die Differenz von $X$ und $Y$ ist
\[ X\setminus Y = \{ m\in M;\ m\in X\ \text{und}\ m\not\in Y \} . \]Das Komplement von $X$ in $M$ ist
\[ X^c = M \setminus X = \{ m\in M;\ m\not\in X\} . \]
![\includegraphics[width=14cm]{figures/durchschnittetc}](images/img-0008.png)
Allgemeiner können wir Durchschnitte und Vereinigungen von mehr als zwei Mengen bilden:
Seien $M$ und $I$ Mengen, und sei für jedes $i\in I$ eine Teilmenge $M_i \subseteq M$ gegeben.
Wir nennen zwei Teilmengen $M_1$, $M_2$ einer Menge $M$ disjunkt, wenn $M_1\cap M_2=\emptyset $.