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10 Eigenwerte

Seien \(K\) ein Körper und \(V\) ein endlichdimensionaler \(K\)-Vektorraum. Wir greifen nun noch einmal die Frage auf, wie man Endomorphismen \(f\colon V\rightarrow V\) gut verstehen bzw. gut beschreiben kann.

Ein Beispiel für eine besonders einfache Situation ist die, dass der Endomorphismus durch eine Diagonalmatrix beschrieben werden kann, also im Sinne der folgenden Definition diagonalisierbar ist.

Definition 10.1

Seien \(K\) ein Körper und \(V\) ein endlichdimensionaler \(K\)-Vektorraum. Ein Endomorphismus \(f\) von \(V\) heißt diagonalisierbar, wenn eine Basis \(\mathscr B\) von \(V\) existiert, so dass \(M^{\mathscr B}_{\mathscr B}(f)\) eine Diagonalmatrix ist.

Es ist entscheidend, dass hier nur eine Basis von \(V\) verwendet wird. (Es ist immer möglich, Basen \(\mathscr B\) und \(\mathscr C\) von \(V\) zu finden, so dass \(M^\mathscr B_\mathscr C(f)\) eine Diagonalmatrix ist, siehe Satz 7.36; das ist also weit weniger interessant.) Dass \(f\) diagonalisierbar ist, bedeutet geometrisch, dass eine Basis (ein »Koordinatensystem«) existiert, so dass \(f\) eine Streckung entlang der Koordinatenachsen ist (möglicherweise mit unterschiedlichen Streckfaktoren). Siehe Beispiel 7.37.

Analog haben wir den Begriff der Diagonalisierbarkeit von Matrizen.

Definition 10.2

Eine Matrix \(A\in M_{n\times n}(K)\) heißt diagonalisierbar, wenn \(A\) zu einer Diagonalmatrix konjugiert ist, d.h. wenn \(S\in GL_n(K)\) existiert, so dass \(SAS^{-1}\) eine Diagonalmatrix ist.

Es ist also \(A\) genau dann diagonalisierbar, wenn \(\mathbf f_A\colon K^n\rightarrow K^n\), \(x\mapsto Ax\), diagonalisierbar ist. Ein Endomorphismus \(f\colon V\to V\) eines endlichdimensionalen Vektorraums \(V\) ist genau dann diagonalisierbar, wenn für irgendeine (äquivalent: für jede) Basis \(\mathscr B\) die Matrix \(M^\mathscr B_\mathscr B(f)\) diagonalisierbar ist. Wir sehen auch, dass es für zueinander konjugierte Matrizen \(A\) und \(B\) äquivalent ist, dass einerseits \(A\) und andererseits \(B\) diagonalisierbar ist.

Dass Diagonalmatrizen einfacher zu behandeln sind als »allgemeine« Matrizen, ist recht offensichtlich. Aber auch die Diagonalisierbarkeit ist eine Eigenschaft, die unter anderem einige konkrete Rechnungen einfacher macht – zum Beispiel, Potenzen einer Matrix zu berechnen. Denn für Diagonalmatrizen ist das einfach, und ist \(D = SAS^{-1}\) eine Diagonalmatrix, so gilt \(A = S^{-1}DS\) und damit \(A^n = S^{-1} D^n S\). In Beispiel 10.19 leiten wir mithilfe dieser Beobachtung nochmals eine explizite Formel für die \(n\)-te Fibonacci-Zahl her. Siehe Ergänzung 10.28 für eine Skizze, wie man ein System linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen mit einer diagonalisierbaren konstanten Koeffizientenmatrix löst.

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