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3.9 Teilmengen, Konstruktionen von Mengen

Definition 3.18

Sei \(X\) eine Menge. Wir sagen, eine Menge \(Y\) sei eine Teilmenge von \(X\) und schreiben \(Y\subseteq X\), wenn für alle \(y\in Y\) gilt: \(y\in X\).

Statt des Begriffs Teilmenge verwendet man auch den Begriff Untermenge, oder sagt einfach, die Menge \(Y\) sei in \(X\) enthalten (Wenn die Elemente von \(X\) selbst Mengen sind, muss man unter Umständen etwas aufpassen: \(Y\subseteq X\) und \(Y\in X\) sind zwei sehr unterschiedliche Aussagen.) Wir schreiben \(Y\subsetneq X\), wenn \(Y\subseteq X\) und \(Y\ne X\); in dieser Situation sagt man auch, \(Y\) sei eine echte Teilmenge von \(X\).

Wie üblich wird das entsprechende Symbol mit einem Schrägstrich durchgestrichen, um die entsprechende Aussage zu verneinen (wie bei \(=\) gleich, \(\ne \) ungleich). Also bedeutet \(Y\not \subseteq X\), dass \(Y\) keine Teilmenge von \(X\) ist.

\includegraphics[width=7.9cm]{figures/teilmenge}
Statt \(Y\subseteq X\) wird oft auch \(Y\subset X\) geschrieben, d.h. auch das Symbol \(\subset \) schließt in den meisten mathematischen Texten die Gleichheit \(Y=X\) als eine Möglichkeit ein. (Die Situation ist also anders als beim Kleiner-/Größer-Zeichen.) In manchen Quellen wird das Zeichen \(\subset \) allerdings auch im Sinne von \(\subsetneq \) verwendet. Ich bemühe mich, das Symbol \(\subset \) dann zu verwenden, wenn die Gleichheit zwar nicht formal ausgeschlossen ist, aber dieser Fall nicht relevant ist bzw. aus dem Kontext klar ist, dass er nicht auftreten kann.

Statt \(Y\subseteq X\) kann man auch \(X \supseteq Y\) schreiben, und man kann dies auch lesen als »\(X\) ist eine Obermenge von \(Y\)«. Entsprechendes gilt für \(\supset \) und \(\supsetneq \).

Wir können damit die Gleichheit zweier Mengen \(M\), \(M^\prime \) formulieren als

\[ M = M^\prime \quad \text{genau dann, wenn}\quad M\subseteq M^\prime , M^\prime \subseteq M. \]

Oft zeigt man eine Gleichheit \(M=M’\) von Mengen, indem man die beiden Inklusionen \(M\subseteq M^\prime \) und \(M^\prime \subseteq M\) beweist.

Definition 3.19

Seien \(X\) und \(Y\) Mengen.

  1. Der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) von \(X\) und \(Y\) ist

    \[ X\cap Y = \{ m;\ m\in X\ \text{und}\ m\in Y \} . \]
  2. Die Vereinigung von \(X\) und \(Y\) ist

    \[ X\cup Y = \{ m;\ m\in X \ \text{oder}\ m\in Y \} . \]
  3. Die Differenz von \(X\) und \(Y\) ist

    \[ X\setminus Y = \{ m\in X;\ m\not \in Y \} . \]
  4. Ist \(X\) eine Teilmenge einer Menge \(M\), dann ist das Komplement von \(X\) in \(M\) die Menge

    \[ X^c = M \setminus X = \{ m\in M;\ m\not \in X\} . \]

\includegraphics[width=14cm]{figures/durchschnittetc}

Allgemeiner können wir Durchschnitte und Vereinigungen von mehr als zwei Mengen bilden:

Definition 3.20

Sei \(I\) eine Menge, und sei für jedes \(i\in I\) eine Menge \(M_i\) gegeben.

  1. Der Durchschnitt der Teilmengen \(M_i\) ist

    \[ \bigcap _{i\in I} M_i = \{ m;\ m\in M_i\ \text{für alle}\ i\in I\} . \]
  2. Die Vereinigung der Teilmengen \(M_i\) ist

    \[ \bigcup _{i\in I} M_i = \{ m;\ \text{es gibt ein\ } i\in I\ \text{mit}\ m\in M_i \} . \]

Wir nennen zwei Teilmengen \(M_1\), \(M_2\) einer Menge \(M\) disjunkt, wenn \(M_1\cap M_2=\emptyset \).