Was ist Geometrie?

Vom Wortursprung – griechisch \(\gamma \varepsilon \omega \mu \varepsilon \tau \rho \acute{\iota } \alpha \) – bedeutet Geometrie »Vermessung der Erde«, und die Vermessung (von Teilen) der Erde und des Universums war eine Aufgabe, die maßgeblich zur Entwicklung der mathematischen Theorie der Geometrie und der Mathematik insgesamt beigetragen hat. Und zwar schon vor mehreren Tausend Jahren; aber auch Gauß hat sich intensiv mit der Landvermessung (konkret der Vermessung des Königreichs Hannover) beschäftigt, und wurde dadurch zu wichtigen Ergebnissen der Differentialgeometrie von Flächen motiviert, insbesondere zu dem Begriff der Krümmung, der heute nach ihm benannt ist. Die Berechnung der Planetenbahnen ist ein anderes Beispiel für ein historisch bedeutsames Einsatzgebiet der Geometrie. Auch heutzutage sind ähnliche Fragen von praktischer Relevanz, Stichwort (zum Beispiel): GPS.

Es ist allerdings nicht ganz einfach, in ein oder zwei Sätzen zu beschreiben, was »Geometrie« im mathematischen Sinne eigentlich ist. Vielleicht auch deshalb, weil es mehrere Gebiete der Geometrie gibt, die zwar gewisse Gemeinsamkeiten haben, sich aber zum Teil auch sehr unterscheiden. Hier eine – unvollständige – Liste:

Analytische Geometrie – die analytische Geometrie ist die »Geometrie des Koordinatensystems«, d.h. Punkte, Geraden, Ebenen … werden in Termen des Koordinatensystems in \(\mathbb R^n\) (oder allgemeiner: eines geeigneten Koordinatensystems) beschrieben. Man kann dann Abstände und Winkel definieren, geometrische Zusammenhänge »algebraisch« ausdrücken und mit diesen Objekten »rechnen«.

Affine, projektive Geometrie – unter affiner Geometrie versteht man zunächst die Geometrie des Raums \(\mathbb R^n\) (oder unter Umständen des \(K^n\) für irgendeinen Körper \(K\)). Man kann außerdem aus den essenziellen Eigenschaften dieser Räume ein Axiomensystem ableiten und dann darin arbeiten, ohne noch auf den konkreten Raum \(\mathbb R^n\) (oder überhaupt auf einen Grundkörper) Bezug zu nehmen. Man spricht dann auch von synthetischer (oder: axiomatischer) Geometrie. In der projektiven Geometrie wird dabei der »affine Raum« ersetzt durch den größeren »projektiven Raum«, der zwar nicht mehr direkt dem Anschauungsraum entspricht, sich aber aus geometrischer Sicht in mancherlei Hinsicht besser (und einfacher) verhält. Zum Beispiel gilt, dass sich je zwei verschiedene Geraden in der projektiven Ebene in genau einem Punkt schneiden; den Sonderfall der parallelen Geraden gibt es also nicht mehr. Man erreicht das, indem man der affine Ebene in geeigneter Weise zusätzliche Punkte hinzufügt, die man die Punkte »im Unendlichen« nennt.

Was ist Geometrie (Fortsetzung)

Differentialgeometrie – in der Differentialgeometrie untersucht man »differenzierbare Mannigfaltigkeiten«, also geometrische Objekte, die lokal aussehen wie offene Teilmengen von \(\mathbb R^n\), und die »aus solchen Stücken durch differenzierbare Übergangsabbildungen zusammengeklebt« werden können. (Wenn man zusätzliche Strukturen betrachtet, kommt man zu Varianten wie der Riemannschen Geometrie oder der symplektischen Geometrie.)

Komplexe Geometrie – die komplexe Geometrie ist das Analogon der Differentialgeometrie über den komplexen Zahlen, d.h. der »übliche« Begriff der differenzierbaren Abbildung wird ersetzt durch den Begriff der komplex differenzierbaren (oder: holomorphen) Funktion.

Algebraische Geometrie – in der algebraischen Geometrie beschäftigt man sich, grob gesprochen, mit geometrischen Objekten, die als Lösungsmengen von Gleichungssystemen von Polynomgleichungen (in mehreren Unbestimmten) beschrieben werden können. Über den reellen und komplexen Zahlen lassen sich die Techniken der Differentialgeometrie und der komplexen Geometrie anwenden, aber die Klasse der »algebraischen« Objekte, die hier betrachtet werden, ist wesentlich kleiner. Weil man Polynome über jedem Körper betrachten kann (auch ohne einen Grenzwert- und Ableitungsbegriff zur Verfügung zu haben), ist die algebraische Geometrie auch nützlich, um Fragen über (beispielsweise) endliche Körpern zu studieren und eröffnet insbesondere die Möglichkeit, zahlentheoretische Fragen mit geometrischen Methoden zu untersuchen. Dieser Einfluß hat die Zahlentheorie in den letzten 60 Jahren wesentlich geprägt.

Rigide Geometrie – die rigide (oder: rigid-analytische) Geometrie ist ein Analogon der komplexen Geometrie über gewissen anderen Grundkörpern als den komplexen Zahlen, insbesondere über dem Körper \(\mathbb Q_p\) der »\(p\)-adischen Zahlen«. Die von Scholze eingeführten »perfektoiden Räume«, die den Grundstein für die Ergebnisse bilden, für die er 2018 die Fields-Medaille bekommen hat, sind Objekte der rigiden Geometrie.