Das Polynom \(f\) hat genau dann eine mehrfache Nullstelle, etwa \(\alpha \), in einem algebraischen Abschluss \(\overline{K}\) von \(K\), wenn \(f\) und \(f'\) eine gemeinsame Nullstelle haben, oder mit anderen Worten: Wenn es einen Linearfaktor \(X-\alpha \) gibt, der \(f\) und \(f'\) teilt. Das ist genau dann der Fall, wenn der größte gemeinsame Teiler von \(f\) und \(f'\) nicht-konstant ist. Diese Eigenschaft können wir aber genausogut in \(K[X]\) überprüfen wie in \(\overline{K}[X]\), denn der größte gemeinsame Teiler ist in beiden Ringen derselbe. Das kann man damit begründen, dass der größte gemeinsame Teiler mit dem euklidische Algorithmus (siehe Bemerkung LA2.15.43) berechnet werden kann, und diese Berechnung findet vollständig im Ring \(K[X]\) statt, wenn die beiden betrachteten Polynom in \(K[X]\) liegen, wie es hier der Fall ist. Weil \(f\) irreduzibel ist, folgt dann, dass sich \(f\) und der ggT von \(f\) und \(f'\) nur durch Multiplikation mit einer Konstanten in \(K^\times \) unterscheiden. Andererseits gilt \(\deg (f') {\lt} \deg (f)\). Weil der ggT von \(f\) und \(f'\) auch ein Teiler von \(f'\) ist, muss \(f' = 0\) gelten. Ist andererseits \(f' = 0\), dann ist jede Nullstelle von \(f\) eine mehrfache Nullstelle.

Wenn man vermeiden möchte, auf den euklidischen Algorithmus zurückzugreifen, den wir in der Algebra-Vorlesung nicht wiederholt haben, kann man wie folgt argumentieren: Wenn \(\alpha \) eine gemeinsame Nullstelle von \(f\) und \(f'\) ist, dann ist \(\operatorname{minpol}_{\alpha , K}\) ein gemeinsamer Teiler von \(f\) und \(f'\) in \(K[X]\). Aus der Irreduzibilität von \(f\) folgt dann, dass sich \(f\) und \(\operatorname{minpol}_{\alpha , K}\) höchstens um ein Skalar in \(K^\times \) unterscheiden. Damit sehen wir, wie im vorherigen Argument, dass \(f\) ein Teiler von \(f'\) ist, was aus Gradgründen nur möglich ist, wenn \(f' = 0\) gilt.

Es ist klar, dass \(g\) durch die angegebene Beschreibung eindeutig bestimmt ist. Hätte \(g\) eine Zerlegung als Produkt von nicht-konstanten Polynomen, so würden wir durch Einsetzen von \(X^{p^r}\) für \(X\) eine nicht-triviale Zerlegung von \(f\) erhalten, im Widerspruch zur Irreduzibilität von \(f\). Wegen der Maximalität von \(r\) ist nicht jede Potenz von \(X\), die in \(g\) mit Koeffizient \(\ne 0\) auftritt, durch \(p\) teilbar. Daher ist \(g'\) nicht das Nullpolynom. Weil \(g\) irreduzibel ist, ist \(g\) nach Satz 5.9 separabel.

Offenbar gilt \(f(\alpha ) = 0\) genau dann, wenn \(g(\alpha ^{p^r}) = 0\) ist. Wir schreiben \(g = \gamma (X-\beta _1)\cdots (X-\beta _s)\) mit \(\gamma , \beta _i\in \overline{K}\). Sei \(\alpha _i\in \overline{K}\) das eindeutig bestimmte Element mit \(\alpha _i^{p^r} = \beta _i\). Es folgt

und wir sehen, dass jede Nullstelle von \(f\) (in \(\overline{K}\)) Vielfachheit \(p^r\) hat. (Diese Aussage gilt auch, wenn diese Nullstellen von \(f\) in Teilkörpern von \(\overline{K}\) betrachtet werden.)

Trivialerweise folgt (ii) aus (i). Nun gelte (ii). Um (iii) zu zeigen, betrachten wir \(y\in K\). Das Polynom \(X^p-y\) hat in einem endlichen Erweiterungskörper \(L\) eine Nullstelle \(x\). Es gilt dann \(\operatorname{minpol}_{x, K}\, |\, (X^p-y)\) und andererseits \(X^p-y = X^p-x^p = (X-x)^p\). Weil die Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) separabel ist, hat \(\operatorname{minpol}_{x, K}\) nur einfache Nullstellen. Insgesamt folgt \(\operatorname{minpol}_{x, K} = X-x\), also \(x\in K\). Somit liegt \(y\) im Bild des Frobenius-Homomorphismus.

Nun gelte (iii). Wir zeigen, dass jede Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) separabel ist. Sei \(\alpha \in L\) und \(f = \operatorname{minpol}_{\alpha , K}\). Seien \(r\) und \(g\) wie in Satz 5.10 definiert, also \(f = g(X^{p^r})\) und \(g\) hat nur einfache Nullstellen. Wir wollen zeigen, dass \(r=0\) (also \(g=f\)) gilt. Wir schreiben \(g = \sum _{i=0}^n b_iX^i\) und wählen \(a_i\in K\) mit \(a_i^{p^r} = b_i\). (Weil die Abbildung \(x\mapsto x^p\) und damit auch die Abbildung \(x\mapsto x^{p^r}\) surjektiv ist, ist das möglich.) Dann ist

Weil \(f\) irreduzibel ist, impliziert das \(p^r = 1\), also \(r=0\), wie gewünscht.

Weil der Frobenius-Homomorphismus wie jeder Homomorphismus zwischen Körpern injektiv ist und ein endlicher Körper gegeben ist, ist der Frobenius-Homomorphismus auch surjektiv. Aus der Charakterisierung perfekter Körper im vorherigen Satz folgt die Behauptung.

Nach Satz 4.25 ist \([L:K]_s\) gerade die Anzahl der Nullstellen von \(\operatorname{minpol}_{\alpha , K}\). Nach Lemma 4.17 ist \(\deg (\operatorname{minpol}_{\alpha , K})=[L:K]\). Daraus folgt die Behauptung.

Sei \(\overline{K}\) ein algebraischer Abschluss von \(K\). Durch Einschränkung von \(K\)-Homomorphismen erhalten wir eine Abbildung

Wir untersuchen die Fasern dieser Abbildung. Für \(\tau \in \operatorname{Hom}_K(E, \overline{K})\) lässt sich \(\tau \) nach Satz 4.33 zu einem \(K\)-Homomorphismus \(L\to \overline{K}\) fortsetzen, also ist die Faser \(R^{-1}(\tau )\) nicht-leer. Ist \(\sigma _0\in R^{-1}(\tau )\) ein fixiertes Element, das wir fortsetzen zu \(\tilde{\sigma }_0\colon \overline{K}\to \overline{K}\) (wieder mit Satz 4.33, dessen zweiter Teil zeigt, dass \(\tilde{sigma}_0\) ein Isomorphismus ist), dann ist die Abbildung

bijektiv. Jedenfalls ist \(\tilde{\sigma }_0^{-1}\circ \sigma \) ein \(E\)-Homomorphismus, denn für \(\alpha \in E\) gilt

Die Bijektivität folgt, weil die Abbildung eine Umkehrabbildung hat, nämlich \(\sigma \mapsto \tilde{\sigma }_0\circ \sigma \).) Jede Faser \(R^{-1}(\tau )\) von \(R\) hat also \([L:E]_s\) Elemente. Weil \(\operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})\) die disjunkte Vereinigung der Fasern von \(R\) ist und es \(\# \operatorname{Hom}_K(E, \overline{K}) = [E:K]_s\) Fasern gibt, folgt die behauptete Gleichheit.

Wegen der Multiplikativät des Separabilitätsgrades in einem Turm von Erweiterungen genügt es, die Behauptung für einfache Erweiterungen zu zeigen. In diesem Fall haben wir die Aussage aber bereits in Lemma 5.18 notiert.

Wenn (i) gilt, dann folgt (ii) – wir können ein beliebiges endliches Erzeugendensystem der Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) hernehmen. Ist (ii) gegeben, so erhalten wir (iii) aus Lemma 5.18, indem wir die Multiplikativität des Separabilitätsgrades ausnutzen für die Kette

(Nach Voraussetzung ist \(\alpha _i\) separabel über \(K\), also erst recht über jedem Erweiterungskörper \(E\) von \(K\), denn \(\operatorname{minpol}_{\alpha , E}\, |\, \operatorname{minpol}_{\alpha , K}\).)

Schließlich zeigen wir die Implikation (iii) \(\Rightarrow \) (i). Sei \(\alpha \in L\). Aus

und der Multiplikativität von Separabilitätsgrad und gewöhnlichem Grad folgt mit der Voraussetzung (iii), dass \([K(\alpha ):K]_s = [K(\alpha ):K]\) gilt. Also ist das Element \(\alpha \) separabel über \(K\) (Lemma 5.18).

Das folgt aus den vorherigen Ergebnissen, weil jedes Element von \(K(M)\) in einem Teilkörper von \(K(M)\) enthalten ist, der von einer geeignet gewählten endlichen Teilmenge von \(M\) erzeugt wird. Vergleiche den Beweis von Korollar 4.19.

Wenn \(\left.L\middle /K\right.\) endlich ist, folgt die Behauptung direkt aus dem oben Gesagten, indem wir Grad und Separabilitätsgrad dieser Erweiterungen betrachten. Den allgemeinen Fall können wir wie folgt darauf zurückführen. Dass (ii) aus (i) folgt, ist einfach. Sei nun (ii) gegeben und \(\alpha \in L\). Sei \(\operatorname{minpol}_{\alpha , E} = \sum _{i=0}^d a_iX^i\), \(a_i\in E\) und \(E' = K(a_1, \dots , a_d)\). Weil \(\alpha \) über \(E\) separabel ist, hat \(\operatorname{minpol}_{\alpha , E}\) nur einfache Nullstellen. Deshalb ist \(\alpha \) auch separabel über \(E'\), denn das Minimalpolynom von \(\alpha \) über \(E'\) ist dasselbe Polynom. Weil \(E\) über \(K\) separabel ist, ist auch \(E'\) separabel über \(K\). Weil die Erweiterungen \(\left.E'(\alpha )\middle /E'\right.\) und \(\left.E'\middle /K\right.\) endlich und separabel sind, ist auch \(\left.E'(\alpha )\middle /K\right.\) separabel, insbesondere ist \(\alpha \) separabel über \(K\).

Wenn \(K\) und damit auch \(L\) endlich ist, können wir für \(\alpha \) irgendeinen Erzeuger der multiplikativen Gruppe \(L^\times \) wählen (nach Korollar 2.49 ist diese Gruppe zyklisch). Sei nun \(K\) unendlich und sei \(\overline{K}\) ein algebraischer Abschluss von \(K\).

Jedenfalls ist \(L\) über \(K\) endlich erzeugt, und per Induktion können wir uns auf den Fall beschränken, dass \(L=K(\beta , \gamma )\) von zwei Elementen erzeugt wird.

Es genügt nun, ein Element \(\alpha \) mit \([K(\alpha ):K]_s = [L:K]_s = [L:K]\) zu finden, oder mit anderen Worten ein Element \(\alpha \in L\), für das die Einschränkungsabbildung \(\operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})\to \operatorname{Hom}_K(K(\alpha ), \overline{K})\) injektiv ist. (Wir wissen ja bereits, dass diese Abbildung immer surjektiv ist.) Die Injektivität ist dazu äquivalent, dass die Bilder \(\sigma (\alpha )\) von \(\alpha \) für \(\sigma \in \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})\) paarweise verschieden sind.

Wir machen den Ansatz \(\alpha = b\beta + \gamma \) für ein Element \(b \in K\), das noch geeignet zu wählen ist. Die Bedingung, die \(b\) erfüllen muss, ist

oder mit anderen Worten

(Das Produkt wird hier und im Folgenden über alle \(\sigma \ne \tau \in \operatorname{Hom}_K(L,\overline{K})\) gebildet.) Das heißt, dass \(b\) keine Nullstelle des Polynoms

ist. Wenn \(\sigma (\beta )=\tau (\beta )\) und \(\sigma (\gamma )=\tau (\gamma )\) gilt, dann folgt \(\sigma =\tau \), weil \(L\) von \(\beta \) und \(\gamma \) erzeugt wird. Faktoren mit \(\sigma =\tau \) treten im Produkt nicht auf; also ist \(f\ne 0\). Daher hat \(f\) höchstens endlich viele Nullstellen in \(K\). Weil \(K\) unendlich ist, existiert also \(b\in K\) mit \(f(b)\ne 0\) und dann ist \(b\beta +\gamma \) ein Element von \(L\), das \(L\) über \(K\) erzeugt.