Inhalt

3.1 Ringe, Ringhomomorphismen und Ideale

3.1.1 Vorkenntnisse

Wir haben in der Linearen Algebra 2 den Begriff des Rings eingeführt. Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Ringmultiplikation kommutativ ist, und dies wollen wir wie gesagt stets voraussetzen, wenn nicht explizit etwas anderes gesagt wird. Ähnlich wie für Gruppen haben wir die Begriffe des Ringhomomorphismus und des Ringisomorphismus, sowie des Unterrings. Ist \(R\) ein Ring, so bezeichnen wir mit \(R^\times \) die Teilmenge von \(R\), die aus allen denjenigen Elementen besteht, die ein multiplikatives Inverses besitzen. Dies ist eine Gruppe bezüglich der Ringmultiplikation, die sogenannte Einheitengruppe \(R^\times \) von \(R\). Ihre Elemente nennt man die Einheiten von \(R\). Ein Körper ist ein (kommutativer) Ring \(K\), für den \(K^\times = K\setminus \{ 0\} \) gilt. Der einzige Ring mit nur einem einzigen Element heißt der Nullring (genau genommen ist dieser natürlich nur bis auf eindeutigen Isomorphismus eindeutig bestimmt). Siehe Abschnitt LA2.15.1.

Sei \(R\) ein Ring. Ein Element \(x\in R\) heißt Nullteiler, wenn \(y\in R\setminus \{ 0\} \) mit \(xy=0\) existiert. Ist \(R\) ein Ring, der vom Nullring verschieden ist und in dem \(0\) der einzige Nullteiler ist, dann nennen wir \(R\) einen Integritätsring.

Beispiel 3.1

Einige Ringe, die in der Algebra wichtig sind

  1. Körper,

  2. der Polynomring \(K[X]\) über einem Körper \(K\) in einer Unbestimmten,

  3. der Ring \(\mathbb Z\) der ganzen Zahlen.

Alle diese Ringe sind Integritätsringe.

Beispiel 3.2 Beispiele von Ringhomomorphismen
  1. Sei \(R\) ein Ring. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus \(f\colon \mathbb Z\to R\). Dabei wird für eine natürliche Zahl \(n\in \mathbb N\) die Zahl \(n\) abgebildet auf \(1+\cdots +1\) (\(n\) Summanden, Summe in \(R\)), und \(-n\) auf \(-f(n)\) abgebildet. Es ist leicht zu sehen, dass dies einen Ringhomomorphismus definiert. Weil per Definition jeder Ringhomomorphismus \(1\) auf \(1\) abbildet, kann es keine anderen Ringhomomorphismen \(\mathbb Z\to R\) geben. Der so definierte Ringhomomorphismus ist im Allgemeinen nicht injektiv. Trotzdem schreiben wir oft \(n\) statt \(f(n)\) und fassen so ganze Zahlen als Elemente des Rings \(R\) auf. Insbesondere im Fall von Ringen, für die \(f\) nicht injektiv ist, muss man dann aber genau unterscheiden, wo jeweils eine Gleichheit gilt – zum Beispiel gilt \(2=0\) in \(\left.\mathbb Z\middle /2\right.\), aber natürlich sind \(0\) und \(2\) als ganze Zahlen nicht gleich.

  2. (Der Frobenius-Homomorphismus.) Sei \(R\) ein Ring, in dem (im Sinne von Teil (1)) \(p=0\) gilt. Dann ist die Abbildung

    \[ \operatorname{Frob}_p\colon R\to R,\quad x\mapsto x^p, \]

    ein Ringhomomorphismus.

    Es ist klar, dass \(\operatorname{Frob}_p(1) = 1\) und \(\operatorname{Frob}_p(xy) = \operatorname{Frob}_p(x)\operatorname{Frob}_p(y)\) gilt (hier wird die Voraussetzung, dass \(p=0\) in \(R\) gilt, gar nicht benötigt).

    Zu zeigen bleibt die Additivität, also dass

    \[ (x+y)^p = x^p + y^p \]

    für alle \(x,y\in R\) gilt.

    In jedem (kommutativen) Ring gilt der binomische Lehrsatz

    \[ (x+y)^p = \sum _{i=0}^p \binom {p}{i}x^i \, y^{p-i}. \]

    Dies ist als Gleichung in \(R\) zu interpretieren, indem die natürlichen Zahlen \(\binom {p}{i}\) mit dem Ringhomomorphismus \(\mathbb Z\to R\) nach \(R\) abgebildet werden. Weil dieser Ringhomomorphismus nach Voraussetzung \(p\) auf \(0\) abbildet, genügt es zu zeigen, dass für alle \(i=1,\dots , p-1\) der Binomialkoeffizient \(\binom {p}{i} = \frac{p!}{i! (p-i)!}\) durch \(p\) teilbar ist. Nun ist der Zähler dieses Bruchs durch \(p\) teilbar, der Nenner (weil \(p\) eine Primzahl ist) aber nicht.

3.1.2 Der Quotientenkörper eines Integritätsrings

Sei \(R\) ein Integritätsring. In der Linearen Algebra 2 haben wir zu \(R\) seinen Quotientenkörper \(\operatorname{Quot}(R)\) konstruiert, Abschnitt LA2.15.5. Dies können wir in dem folgenden Satz zusammenfassen.

Satz 3.3

Sei \(R\) ein Integritätsring. Dann existiert ein Körper \(K\) zusammen mit einem injektiven Ringhomomorphismus \(\iota \colon R\to K\), so dass jedes Element von \(K\) sich in der Form \(\iota (a)\iota (b)^{-1}\) mit \(a, b\in R\), \(b\ne 0\), schreiben lässt. Für \(a, b\in R\), \(b\ne 0\), schreiben wir auch \(\frac ab\) statt \(\iota (a)\iota (b)^{-1}\) und \(a\) statt \(\frac a1 = \iota (a)\).

Der Körper \(K\) ist durch \(R\) im folgenden Sinne bis auf eindeutigen Isomorphismus eindeutig bestimmt: Seien \(K\) und \(K^\prime \) mit injektiven Ringhomomorphismen \(\iota \colon R\to K\), \(\iota ^\prime \colon R\to K^\prime \) wie im Satz. Dann existiert ein eindeutig bestimmter Isomorphismus \(\varphi \colon K\to K^\prime \) von Ringen mit \(\iota ^\prime = \varphi \circ \iota \). Wir nennen einen Körper wie im Satz (zusammen mit der Einbettung von \(R\)) daher den Quotientenkörper von \(R\).

Im Quotientenkörper eines Rings gelten die »üblichen Bruchrechenregeln« – das folgt aus den Körperaxiomen.

Um die Existenz des Quotientenkörpers zu zeigen, konstruiert man ihn als die Menge der Äquivalenzklassen der Menge \(R\times (R\setminus \{ 0\} )\) bezüglich der Äquivalenzrelation

\[ (a,b)\sim (c,d)\quad \Longleftrightarrow \quad ad = bc, \]

die die übliche Gleichheit von Brüchen beschreibt, die durch Erweitern bzw. Kürzen auseinander hervorgehen. Es ist dann die Wohldefiniertheit der Addition und Multiplikation von Brüchen (die man durch die gewohnten Formeln definiert) zu prüfen.

3.1.3 Ideale

Sei \(R\) ein (wie immer: kommutativer) Ring. Wir haben in der Linearen Algebra 2 den Begriff des Ideals definiert, den wir hier wiederholen.

Definition 3.4

Sei \(R\) ein Ring. Eine Teilmenge \(\mathfrak a\subseteq R\) heißt Ideal, wenn \(\mathfrak a\) eine Untergruppe bezüglich der Addition ist und für alle \(x\in R\), \(a\in \mathfrak a\) gilt, dass \(xa\in \mathfrak a\) ist.

In jedem Ring \(R\) sind \(0 = \{ 0\} \) (das Nullideal) und \(R\) (das Einsideal) Ideale. Ist \(\mathfrak a\subset R\) ein Ideal, das eine Einheit \(u\in R^\times \) enthält, so ist auch \(1 = u^{-1}u\in \mathfrak a\) und in diesem Fall folgt \(\mathfrak a = R\). Insbesondere sind in einem Körper das Nullideal und das Einsideal die einzigen Ideale.

Der Kern eines Ringhomomorphismus ist stets ein Ideal. Als Folgerung dieser Bemerkungen sehen wir:

Lemma 3.5

Seien \(K\) ein Körper, \(R\ne 0\) ein Ring und \(\varphi \colon K\to R\) ein Ringhomomorphismus. Dann ist \(\varphi \) injektiv.

Beweis

Der Kern von \(\varphi \) ist ein Ideal, das \(\ne K\) ist, weil \(1\in K\) unter \(\varphi \) auf \(1\in R\) abgebildet wird. Ein Ringhomomorphismus mit trivialem Kern ist injektiv.

3.1.4 Konstruktionen von Idealen

Wie man leicht sieht, ist der Durchschnitt von Idealen ein Ideal.

Lemma 3.6

Seien \(R\) ein Ring und \(I\) eine Menge. Sind \(\mathfrak a_i\), \(i\in I\), Ideale, so ist auch der Durchschnitt \(\bigcap _{i\in I}\mathfrak a_i\) ein Ideal.

Definition 3.7 Von einer Teilmenge erzeugtes Ideal

Sei \(R\) ein Ring.

  1. Sei \(M\subseteq R\) eine Teilmenge. Der Durchschnitt aller Ideale von \(R\), die \(M\) enthalten ist das kleinste Ideal von \(R\), das \(M\) enthält und wird das von \(M\) erzeugte Ideal genannt und mit \((M)\) bezeichnet.

    Statt \((\{ a_1,\dots , a_n\} )\) schreiben wir auch \((a_1, \dots , a_n)\).

  2. Ein Ideal \(\mathfrak a\) von \(R\) heißt endlich erzeugt, wenn eine endliche Teilmenge \(M\subseteq R\) mit \(\mathfrak a = (M)\) existiert.

  3. Ein Ideal der Form

    \[ (a) = \{ xa;\ x\in R\} ,\quad a\in R, \]

    heißt Hauptideal.

Explizit gilt

\[ (a_1,\dots , a_n) = \left\{ \sum _{i=1}^n x_ia_i;\ x_i\in R \right\} , \]

denn offenbar gilt \(\supseteq \) und die rechte Seite ist ein Ideal, das alle \(a_i\) enthält.

Das Nullideal \(\{ 0\} = (0)\) und das Einsideal \(R=(1)\) sind in jedem Ring \(R\) Hauptideale. Das Ideal \((2,X)\) im Ring \(\mathbb Z[X]\) ist kein Hauptideal.

Wir nennen Elemente \(x, y\) eines Integritätsrings zueinander assoziiert, wenn \((x)=(y)\) gilt, wenn also \(x\) und \(y\) dasselbe Hauptideal erzeugen. Das ist dazu äquivalent, dass eine Einheit \(u\in R^\times \) mit \(y=ux\) existiert. Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation auf \(R\).

Definition 3.8

Ein Hauptidealring ist ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist.

Beispiel 3.9

Wir haben in der Linearen Algebra 2 gesehen, dass jeder euklidische Ring ein Hauptidealring ist. Insbesondere sind die Ringe \(\mathbb Z\) und \(K[X]\) (\(K\) ein Körper) Hauptidealringe.

Definition 3.10

Sei \(R\) ein Ring.

  1. Seien \(\mathfrak a,\mathfrak b\subseteq R\) Ideale. Die Summe von \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\) ist das Ideal

    \[ \mathfrak a+\mathfrak b = (\mathfrak a\cup \mathfrak b) = \{ a+b;\ a\in \mathfrak a,\ b\in \mathfrak b\} , \]

    d.h. das von \(\mathfrak a\cup \mathfrak b\) erzeugte Ideal.

  2. Seien \(I\) eine Menge und \(\mathfrak a_i\), \(i\in I\), Ideale in \(R\). Die Summe der Ideale ist das Ideal

    \[ \sum _{i\in I} \mathfrak a_i = \left(\bigcup _{i\in I} a_i\right) = \left\{ \sum _{i\in I} a_i;\ a_i\in \mathfrak a_i,\ \text{nur endlich viele}\ a_i\ne 0\right\} . \]

Definition 3.11

Sei \(R\) ein Ring. Seien \(\mathfrak a,\mathfrak b\subseteq R\) Ideale. Das Produkt von \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\) ist

\[ \mathfrak a\mathfrak b = \left(\{ ab;\ a\in \mathfrak a,\ b\in \mathfrak b\} \right), \]

d.h. das von allen Produkten von Elementen aus \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\) erzeugte Ideal.

Analog definiert man das Produkt einer endlichen Familie von Idealen.

Für Ideale \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\) eines Rings \(R\) gilt

\[ \mathfrak a\mathfrak b\subseteq \mathfrak a\cap \mathfrak b. \]

Überlegen Sie sich ein Beispiel, in dem diese Inklusion echt ist.

3.1.5 Der Quotient eines Rings nach einem Ideal

Ähnlich wie den Quotienten einer Gruppe nach einem Normalteiler haben wir den Quotientenring eines Rings nach einem Ideal (siehe auch Abschnitt LA2.18.4). Ist \(R\) ein Ring und \(\mathfrak a\) ein Ideal, so ist insbesondere \(\mathfrak a\subseteq R\) eine Untergruppe bezüglich der Addition, und sogar ein Normalteiler, weil die Addition kommutativ ist. Wir haben daher den Gruppenquotienten \(\left.R\middle /\mathfrak a\right.\), eine additive Gruppe zusammen mit der kanonischen Projektion, einem surjektiven Gruppenhomomorphismus \(\pi \colon R\to \left.R\middle /\mathfrak a\right.\) mit Kern \(\mathfrak a\). Aus der Idealeigenschaft folgt dann leicht, dass die Multiplikation von \(R\) auf \(\left.R\middle /\mathfrak a\right.\) eine Multiplikation induziert, so dass \(\pi \) ein Ringhomomorphismus ist.

Auch für diese Quotientenbildung gilt der Homomorphiesatz. Weil wir später viel mit Quotienten von Ringen (insbesondere vom Polynomring in einer Variablen über einem Körper \(K\)) arbeiten werden, geben wir ihn noch einmal explizit an.

Satz 3.12 Homomorphiesatz für Ringe

Sei \(R\) ein Ring, \(\mathfrak a\subseteq R\) ein Ideal und \(\pi \colon R\to \left.R\middle /\mathfrak a\right.\) die kanonische Projektion.

Sei \(T\) ein Ring und sei \(f\colon R\rightarrow T\) ein Ringhomomorphismus. Es existiert genau dann ein Ringhomomorphismus \(\varphi \colon \left.R\middle /\mathfrak a\right.\rightarrow T\) mit \(\varphi \circ \pi = f\), wenn \(\mathfrak a\subseteq \operatorname{Ker}f\) ist. In diesem Fall ist \(\varphi \) eindeutig bestimmt und es gilt: \(\operatorname{Im}\varphi = \operatorname{Im}f\). Die Abbildung \(\varphi \) ist genau dann injektiv wenn \(\mathfrak a=\operatorname{Ker}f\) gilt.

Beweis

Man kann auf die zugrundeliegenden additiven Gruppen den Homomorphiesatz für Gruppen anwenden. Es ist dann nur noch zu überprüfen, dass im Fall ihrer Existenz (als Gruppenhomomorphismus) die Abbildung \(\varphi \) automatisch ein Ringhomomorphismus ist. Das folgt leicht daraus, dass \(\pi \) surjektiv und \(f\) ein Ringhomomorphismus ist.

Der folgende Satz gibt eine Beziehung zwischen den Idealen im Quotientenring \(\left.R\middle /\mathfrak a\right.\) und Idealen in \(R\) (nämlich denjenigen, die \(\mathfrak a\) enthalten) an. Man vergleiche Lemma 2.16 (6).

Satz 3.13

Sei \(R\) ein Ring und sei \(\mathfrak a\subseteq R\) ein Ideal. Sei \(\pi \colon R\to R/\mathfrak a\) die kanonische Projektion. Dann sind die Abbildungen

\begin{align*} \{ \mathfrak b\subseteq R\ \text{Ideal};\ \mathfrak a\subseteq \mathfrak b\} & \stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}\{ \mathfrak c\subseteq R/\mathfrak a\ \text{Ideal}\} \\ \mathfrak b & \mapsto \pi (\mathfrak b),\\ \pi ^{-1}(\mathfrak c) & \mathrel {\reflectbox {\ensuremath{\mapsto }}}\mathfrak c, \end{align*}

zueinander inverse, inklusionserhaltende Bijektionen.

Beweis

Es ist zu überprüfen, dass die beiden Abbildungen die angegebenen Mengen in sich abbilden und zueinander invers sind. Wir lassen die Details aus.

Satz 3.14 Chinesischer Restsatz

Seien \(R\) ein Ring und \(\mathfrak a_1, \dots , \mathfrak a_r\subseteq R\) Ideale, so dass \(\mathfrak a_i + \mathfrak a_j = R\) für alle \(i\ne j\) gilt. Sei \(\mathfrak a = \bigcap _{i=1}^r \mathfrak a_i\). Dann ist der natürliche Ringhomomorphismus

\[ R\to \left.R\middle /\mathfrak a_1\right.\times \cdots \times \left.R\middle /\mathfrak a_r\right.,\quad x\mapsto (\overline{x}, \dots , \overline{x}), \]

wobei \(\overline{x}\) die Restklasse von \(x\) im jeweiligen Quotienten bezeichne, surjektiv mit Kern \(\mathfrak a\) und induziert folglich einen Isomorphismus

\[ \left.R\middle /\mathfrak a\right.\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}\left.R\middle /\mathfrak a_1\right.\times \cdots \times \left.R\middle /\mathfrak a_r\right.. \]

Beweis

Wir erhalten die gesuchte Abbildung aus dem Homomorphiesatz, und dieser zeigt auch die Injektivität. Die Surjektivität folgt aus der Surjektivität der ursprünglichen Abbildung. Um diese zu zeigen, genügt es, wie man leicht einsieht, zu zeigen, dass die »Standardbasisvektoren«, d.h. die Elemente \(e_i := (0, \dots , 0, 1, 0,\dots , 0)\) (mit der \(1\) an der \(i\)-ten Stelle) im Bild liegen.

Um die Notation zu vereinfachen, zeigen wir, dass \(e_1\) im Bild liegt. Für allgemeines \(i\) lässt sich dasselbe Argument verwenden. Wir schreiben \(1 = b_j + a_j\) mit \(b_j\in \mathfrak a_1\), \(a_j\in \mathfrak a_j\), \(j=2,\dots , r\). Es folgt

\[ 1 = \prod _{j=2}^r (b_j+a_j) \]

und durch Ausmultiplizieren erhalten wir einen Ausdruck der Form

\[ 1 = b + a \]

mit \(b\in \mathfrak a_1\) (\(b\) ist die Summe aller Faktoren, in denen wenigstens ein \(b_j\) vorkommt) und \(a := a_2\cdot \cdots \cdot a_r\in \bigcap _{j=2}^r\mathfrak a_j\).

Das Bild von \(a = 1-b\) ist dann das oben definierte Element \(e_1\).

Bemerkung 3.15
  1. Sei \(K\) ein Körper und \(f\) ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen \(K\)-Vektorraums \(V\). Der Einsetzungshomomorphismus \(K[X]\to \operatorname{End}_K(V)\) vom Polynomring in den (nicht-kommutativen) Endomorphismenring von \(V\) faktorisiert über den Quotienten \(K[X]/(\operatorname{minpol}_f)\) (das ist mehr oder weniger die Definition des Minimalpolynoms von \(f\)) und liefert so einen Isomorphismus

    \[ K[X]/(\operatorname{minpol}_f) \cong K[f]:=\left\{ \sum _{i=0}^n a_if^i;\ n\in \mathbb N,\ a_i\in K\right\} \subseteq \operatorname{End}_K(V). \]
  2. Sei \(L\) ein Körper und \(K\subseteq L\) ein Teilkörper von \(L\). Sei \(\alpha \in L\). Wir betrachten nun den Einsetzungshomomorphismus \(\Phi \colon K[X]\to L\), \(X\mapsto \alpha \).

    1. Fall: \(\Phi \) ist nicht injektiv. Dann ist \(\operatorname{Ker}(\Phi )\ne 0\), also von der Form \((f)\), \(f\ne 0\), und \(K[X]/(f) \to L\) ist injektiv. Folglich ist \(K[X]/(f)\) ein Integritätsring, der \(K\) als Unterring enthält, und gleichzeitig ein endlichdimensionaler \(K\)-Vektorraum, also ein Körper.

    Es gilt dann \(K[\alpha ] := \operatorname{Im}(\Phi ) \cong K[X]/(f)\), also ist \(K[\alpha ]\) ein Teilkörper von \(L\).

    2. Fall: \(\Phi \) ist injektiv. In diesem Fall ist \(K[\alpha ] := \operatorname{Im}(\Phi )\) isomorph zum Polynomring \(K[X]\) und insbesondere kein Körper.

    Auf diese Überlegungen werden wir noch ausführlich zurückkommen, siehe Abschnitt 4.2, Definition 4.9.