Die Äquivalenz von (i) und (ii) ist einfach: Für \(G=\{ g^i;\ i\in \mathbb Z\} \) ist \(\mathbb Z\to G\), \(i\mapsto g^i\) ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Ist andererseits \(G\) eine Gruppe, für die ein surjektiver Gruppenhomomorphismus \(\varphi \colon \mathbb Z\to G\) existiert, so gilt \(G=\langle \varphi (1)\rangle \).

Aus (ii) folgt (iii), denn ist \(f\colon \mathbb Z\to G\) ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, so impliziert der Homomorphiesatz, dass \(G\cong \mathbb Z/\operatorname{Ker}(f)\) ist, und die einzigen Untergruppen von \(\mathbb Z\) sind die Mengen der Form \(n\mathbb Z\) mit \(n\in \mathbb Z\), und dabei können wir ohne Einschränkung \(n\in \mathbb N\) wählen. (Siehe Beispiel 2.20.)

Andererseits sind offenbar die in (iii) genannten Gruppen sämtlich zyklisch, sie werden erzeugt von (der Restklasse von) \(1\).

Mit Charakterisierung (ii) in Satz 2.40 ist klar, dass Quotienten zyklischer Gruppen zyklisch sind. Ist \(G\) zyklisch, \(\varphi \colon \mathbb Z\to G\) ein surjektiver Gruppenhomomorphismus und \(H\subseteq G\) eine Untergruppe, so ist \(\varphi ^{-1}(H)\to H\) ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, und \(\varphi ^{-1}(H)\) ist entweder die triviale Gruppe oder isomorph zu \(\mathbb Z\). In beiden Fällen folgt, dass \(H\) zyklisch ist. Der Zusatz folgt aus dem ersten Teil.

Teil (1) ist unmittelbar klar. Zu (2): Die Restklasse von \(r\) ist genau dann ein Erzeuger von \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\), wenn (die Restklasse von) \(1\) in ihrem Erzeugnis liegt, also wenn \(a, b\in \mathbb Z\) existieren mit \(ar+bn = 1\). Das ist dazu äquivalent, dass \(r\) eine Einheit in \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\) ist und auch dazu dass \(r\) und \(n\) teilerfremd sind (siehe auch Satz LA1.4.16).

zu (1). Seien \(m\) und \(n\) teilerfremd. Der Chinesische Restsatz (Satz LA2.15.61, Satz LA2.18.36, siehe auch Satz 15.61 unten) liefert uns, dass der Ringhomomorphismus

wobei wir die Restklasse von \(a\in \mathbb Z\) in \(\left.\mathbb Z\middle /mn\right.\), \(\left.\mathbb Z\middle /m\right.\) und \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\) jeweils einfach wieder mit \(a\) bezeichnen, ein Isomorphismus ist. Dieser induziert einen Isomorphismus

und wegen \(\varphi (n) = \# (\left.\mathbb Z\middle /n\right.)^\times \) (und entsprechend für \(m\) und \(n\)) erhalten wir die Behauptung.

zu (2). Es ist klar, dass \(\varphi (p) = p-1\) für jede Primzahl \(p\) gilt. Auch für eine Primzahlpotenz \(p^r\) ist das Abzählen relativ leicht, weil eine Zahl \(a\) zwischen \(1\) und \(p^r-1\) genau dann zu \(p^r\) teilerfremd ist, wenn Sie nicht durch \(p\) teilbar ist. Die durch \(p\) teilbaren Zahlen sind \(p\), …, \(p^r-p\), und dies sind genau \(p^{r-1}-1\) Zahlen, es folgt also

zu (3). Sei \(n\in \mathbb N_{{\gt} 0}\). Wir betrachten die zyklische Gruppe \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\).

Behauptung. Sei \(d\) ein Teiler von \(n\). Dann haben genau \(\varphi (d)\) Elemente von \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\) die Ordnung \(d\).

Bevor wir die Behauptung zeigen, begründen wir, dass daraus die gewünschte Aussage folgt. Denn \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\) hat \(n\) Elemente, und jedes Element hat als Ordnung einen Teiler von \(n\). Indem wir die Elemente von \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\) also »gemäß ihrer Ordnung als Gruppenelement sortiert« zählen, erhalten wir die Summendarstellung von \(n\) aus dem Lemma.

Begründung. Dass die Restklasse von \(r\in \mathbb Z\) in \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\) eine Untergruppe mit \(d\) Elementen erzeugt, ist dazu äquivalent, dass \(rd\) durch \(n\) teilbar ist, aber \(rd'\) für jeden echten Teiler \(d'\) von \(d\) nicht durch \(n\) teilbar ist, oder mit anderen Worten, dass \(r \equiv a\frac nd\mod n\) für ein \(a\in \{ 1, \dots , d-1\} \) ist, das zu \(d\) teilerfremd ist. Es gibt also genau \(\varphi (d)\) solcher Elemente.

(i) \(\Rightarrow \) (ii). Ist \(G\) eine endliche zyklische Gruppe, die von einem Element \(g\in G\) erzeugt wird und ist \(d\) ein Teiler von \(n:=\# G\), so ist \(\langle g^{n/d}\rangle \) eine Untergruppe von \(G\) mit \(d\) Elementen.

Ist andererseits \(H\) eine Untergruppe von \(G\) mit \(d\) Elementen, so hat der Quotient \(G/H\) genau \(\frac nd\) Elemente, und es folgt \(g^{n/d}\in H\). Weil wir bereits wissen, dass \(\# \langle g^{n/d}\rangle = d\) gilt, folgt die Gleichheit.

Die Implikationen (ii) \(\Rightarrow \) (iii), (iv) \(\Rightarrow \) (v) und (vi) \(\Rightarrow \) (vii) sind klar.

(iii) \(\Rightarrow \) (vii). Ist \(x\) ein Element mit \(\operatorname{ord}(x) = d\), so gilt also \(\# \langle x\rangle = d\), und die (zyklische) Gruppe \(\langle x\rangle \) enthält \(\varphi (d)\) Elemente der Ordnung \(=d\) (die alle diese Gruppe erzeugen). Gäbe es mehr als \(\varphi (d)\) Elemente der Ordnung \(d\), so könnten diese nicht alle in der Untergruppe \(\langle x\rangle \) liegen. Da es höchstens eine Untergruppe der Ordnung \(d\) gibt, ist das unmöglich. Dasselbe Argument zeigt auch die Implikation (v) \(\Rightarrow \) (vii).

(vii) \(\Rightarrow \) (vi) \(\Rightarrow \) (i). Wir haben in Lemma 2.44 gesehen, dass \(\sum _{d\, |\, n}\varphi (n) = n\) gilt (wobei über alle positiven Teiler von \(n\) summiert werde). Da jedes Element von \(G\) als Ordnung einen Teiler der Gruppenordnung hat, kann (vii) nur gelten, wenn für jedes \(d\) Gleichheit gilt (also (vi) gilt), und dann existieren insbesondere Elemente der Ordnung \(n = \# G\), also Elemente die \(G\) erzeugen.

Für die Implikation (i) \(\Rightarrow \) (iv) genügt es, die (additive) Gruppe \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\) zu betrachten, und hier sind genau die Restklassen von \(0, \frac nd, \dots , (d-1)\frac nd\) die Elemente \(x\) mit \(dx = 0\).

Sei \(n = \# G\) und sei \(d\) ein Teiler von \(n\). Alle Elemente \(x\in G\) mit \(x^d = 1\) sind dann Nullstellen des Polynoms \(X^d - 1\). Wir wissen, dass dieses Polynom in \(K\) höchstens \(d\) Nullstellen hat. Die Bedingung (v) in Theorem 2.47 ist also erfüllt und es folgt, dass \(G\) zyklisch ist.