Der Ringhomomorphismus \(\mathbb Z\to K\) kann nicht injektiv sein, weil \(K\) endlich ist. Folglich hat \(K\) positive Charakteristik \(p\). Dann ist der Primkörper von \(K\) (isomorph zu) \(\mathbb F_p\) und damit ist \(K\) ein \(\mathbb F_p\)-Vektorraum. Weil \(K\) endlich ist, ist \(K\) als \(\mathbb F_p\)-Vektorraum endlichdimensional und hat folglich \(p^{\dim _{\mathbb F_p} K}\) Elemente.

Ist \(x\in K^\times \), so teilt die Ordnung von \(x\) als Element der Gruppe \(K^\times \) die Ordnung dieser Gruppe, also \(q-1\). Das bedeutet \(x^{q-1} = 1\). Also gilt \(x^q = x\), und diese Gleichheit gilt natürlich auch für \(x=0\).

Sei \(\overline{\mathbb F}_p\) ein algebraischer Abschluss von \(\mathbb F_p\). Die Menge

bildet einen Teilkörper von \(\overline{\mathbb F}_p\), wie man leicht nachprüft. Es handelt sich nämlich genau um die Menge der Elemente von \(\overline{\mathbb F}_p\), die unter dem \(q\)-Frobenius-Homomorphismus \(x\mapsto x^q\) (Beispiel 3.2) auf sich selbst abgebildet werden. Vergleiche Satz 5.43.

Die Ableitung des Polynoms \(X^q-X\) ist \(-1\), also hat \(X^q-X\) nur einfache Nullstellen, und es folgt \(\# K = q\). Aus der Definition folgt auch direkt, dass \(K\) der Zerfällungskörper von \(X^q-X\) in \(\overline{\mathbb F}_p\) ist. Aus dieser Charakterisierung folgt auch die Eindeutigkeit bis auf Isomorphismus (siehe Satz 5.3).

Sei \(q = p^r\). Die Nullstellenmenge von \(X^q-X\) in \(\overline{\mathbb F}_p\) bildet einen Teilkörper mit \(q\) Elementen. Andererseits gilt für jedes Element \(x\) eines (Teil-)Körpers mit \(q\) Elementen, dass \(x^q=x\), also dass \(x\) eine Nullstelle von \(X^q-X\) ist. Das zeigt die Eindeutigkeit.

Wenn \(\mathbb F_{p^r}\subseteq \mathbb F_{p^s}\), dann ist \(\mathbb F_{p^s}\) ein endlichdimensionaler \(\mathbb F_{p^r}\)-Vektorraum, hat also Kardinalität \(p^s =p^{rd}\), wobei \(d\) die Dimension bezeichne. Ist andererseits \(r\) ein Teiler von \(s\), etwa \(s = rd\) und daher \(p^s = (p^r)^d\), und \(x\in \mathbb F_{p^r}\), dann gilt \(x^{p^s} = x^{(p^r)^d} = (\cdots (x^{p^r})^{p^r})\cdots )^{p^r} = x\), also \(x\in \mathbb F_{p^s}\). Es folgt \(\mathbb F_{p^r}\subseteq \mathbb F_{p^s}\).

Weil \(L\) endlich ist, ist \(L\) als \(K\)-Vektorraum endlich erzeugt, die Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) also notwendigerweise endlich. Wir haben bereits gesehen (Korollar 5.16), dass endliche Körper vollkommen sind. Ist schließlich \(\# L = q\) und \(p\) die Charakteristik von \(K\) und \(L\), dann ist \(L\) der Zerfällungskörper von \(X^q-X\in \mathbb F_p[X]\subseteq K[X]\), also ist \(L\) normal über \(K\).