5.7 Wie untersucht man einen Körper? *
Im Grunde lässt sich auf die Frage in der Überschrift keine sinnvolle umfassende Antwort geben, aber es gibt einige Klassen von Körpern, die besonders wichtig bzw. interessant sind, und für deren Untersuchung entsprechende Methoden entwickelt wurden.
Eine wichtige und ganz grundlegende Eigenschaft eines Körpers ist seine Charakteristik, bzw. äquivalent die Isomorphieklasse seines Primkörpers. In vielerlei Hinsicht verhalten sich Körper von Charakteristik \(0\) anders als solche von positiver Charakteristik.
Eine »Klassifikation« von Körpern ist nur in sehr speziellen Fällen möglich.
Oft interessiert man sich für die Lösbarkeit von Polynomgleichungen (auch in mehreren Variablen) in Körpern, ein Stichwort ist der Begriff des \(C_k\)-Körpers.
In der Algebraischen Zahlentheorie werden Zahlkörper untersucht, d.h. endliche Erweiterungskörper \(K\) des Körpers \(\mathbb Q\) der rationalen Zahlen. Zum Beispiel möchte man die Struktur der (unendlichen) Galois-Gruppe \(\operatorname{Gal}(\left.\overline{K}\middle /K\right.)\) verstehen, wobei \(\overline{K}\) ein algebraischer Abschluss von \(K\) ist. Auch für \(K=\mathbb Q\) ist dies ein schwieriges Problem, das Gegenstand aktueller Forschung ist. Natürlich muss man hier geeignet präzisieren, das man darunter versteht, die »Struktur dieser Gruppe zu verstehen«. Eine solche Präzisierung erfolgt (im Prinzip) im Rahmen des Langlands-Programms.
Ein wichtiges Hilfsmittel für das Studium eines Zahlkörpers \(K\) ist die Betrachtung des sogenannten Rings der ganzen Zahlen von \(K\), das heißt des Rings
(Es ist nicht trivial, dass dies ein Unterring von \(K\) ist.) Zum Beispiel ist eine interessante Eigenschaft des Körpers \(K\), ob dieser Ring faktoriell ist.
Die Grundidee der Galois-Theorie (in der heutigen Formulierung), gewisse Strukturen durch ihre Automorphismengruppen zu beschreiben, ist ein wichtiges Prinzip, das auch in anderen Bereichen der Mathematik eine Rolle spielt. Speziell zum Beispiel in der »Überlagerungstheorie« von Riemannschen Flächen, algebraischen Kurven oder höherdimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten oder algebraischen Varietäten. Siehe [ Soe ] 8.2 für weitere Bemerkungen in diese Richtung.
Eine andere analoge Theorie ist die sogenannte differentielle Galois-Theorie, eine algebraische Theorie zur Untersuchung gewisser Differentialgleichungen, in der statt Körpern und Körpererweiterungen wie in der klassischen Theorie Körper (von gewissen Funktionen) zusammen mit einer Ableitungsfunktion und Erweiterungen von solchen untersucht werden.