Wir schreiben \(f = c (X-\alpha _1)\cdots (X-\alpha _d)\) mit \(c\in K\), \(\alpha _i\in E\), \(d = \deg (f)\). Der Homomorphismus \(\sigma \colon E\to E'\) induziert einen Ringhomomorphismus \(E[X]\to E'[X]\), der dadurch gegeben ist, dass auf alle Koeffizienten eines gegebenen Polynoms in \(E[X]\) der Homomorphismus \(\sigma \) angewendet wird. (Wir können das als Einsetzungshomomorphismus mit \(X\mapsto X\) sehen, wenn wir \(E'\) mittels \(\sigma \) als \(E\)-Algebra betrachten.)

Unter dieser Abbildung wird \(f\) auf \(f\) abgebildet, weil \(f\in K[X]\) ist und \(\sigma \) ein \(K\)-Homomorphismus ist. Andererseits wird das Produkt \(c (X-\alpha _1)\cdots (X-\alpha _d)\), weil es sich hier um einen Ringhomomorphismus handelt, auf \(c (X-\sigma (\alpha _1))\cdots (X-\sigma (\alpha _d))\in E'[X]\) abgebildet. Das bedeutet aber genau, dass \(\sigma (\alpha _1), \dots , \sigma (\alpha _d)\) die Nullstellen von \(f\) in \(E'\) sind. Insbesondere schränkt sich \(\sigma \) zu einer Abbildung \(V(f, E)\to V(f, E')\) ein und diese ist surjektiv. Als Einschränkung der injektiven Abbildung \(\sigma \colon E\to E'\) ist sie auch injektiv.

Zu (1). Für endlich viele Polynome haben wir das schon bewiesen (Korollar 4.24). Im allgemeinen Fall verwenden wir, dass \(K\) einen algebraischen Abschluss \(\overline{K}\) besitzt (Theorem 4.31). Sei \(L\subseteq \overline{K}\) dann der von den Nullstellen aller \(f_i\) erzeugte Erweiterungskörper von \(K\). Es ist klar, dass \(L\) ein Zerfällungskörper der Familie \((f_i)_i\) ist.

Zu (2). Sei \(\overline{L'}\) ein algebraischer Abschluss von \(L'\). Weil die Erweiterung \(\left.L'\middle /K\right.\) algebraisch ist, ist dann \(\overline{L'}\) auch ein algebraischer Abschluss von \(K\). Nach Satz 4.33 gibt es einen \(K\)-Homomorphismus \(\sigma \colon L\to \overline{L'}\). Für jedes Polynom \(f_i\) sind nach dem vorherigen Lemma die Bilder der Nullstellen von \(f_i\) die Nullstellen von \(f_i\) in \(L'\). Weil diese Nullstellen die Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) erzeugen, liegt das Bild von \(\sigma \) in \(L'\). Weil \(L'\) von den Nullstellen der \(f_i\) erzeugt wird und das Bild von \(\sigma \) ein Teilkörper von \(L'\) ist, der alle diese Nullstellen enthält, ist \(\operatorname{Im}(\sigma )=L'\). Also induziert \(\sigma \) einen Isomorphismus \(L\to L'\).

(i) \(\Rightarrow \) (ii). Sei \((f_i)_i\) eine Familie von Polynomen, für die \(L\) ein Zerfällungskörper ist, und sei \(\sigma \) wie in (ii). Nach Lemma 5.2 liegen die Bilder aller Nullstellen der \(f_i\) unter \(\sigma \) in \(L\). Weil diese Nullstellen \(L\) über \(K\) erzeugen, gilt \(\operatorname{Im}(\varphi )\subseteq L\). (Genauer gilt sogar \(\operatorname{Im}(\varphi )=L\), denn alle Nullstellen der \(f_i\) in \(\overline{L}\) liegen ja in \(\operatorname{Im}(\varphi )\).)

(ii) \(\Rightarrow \) (iii). Sei \(f\in K[X]\) irreduzibel. Sind \(\alpha \in L\) und \(\beta \in \overline{L}\) Nullstellen von \(f\), dann gibt es nach Satz 4.25 (genau) einen \(K\)-Homomorphismus \(K[\alpha ]\to \overline{L}\) mit \(\alpha \mapsto \beta \). Diesen können wir nach Satz 4.33 zu einem \(K\)-Homomorphismus \(\varphi \colon L\to \overline{L}\) fortsetzen, der nach (ii) Bild in \(L\) hat. Da \(\beta =\sigma (\alpha )\) im Bild liegt, folgt \(\beta \in L\).

(iii) \(\Rightarrow \) (i). Unter Voraussetzung (iii) ist \(L\) der Zerfällungskörper aller irreduziblen Polynome auf \(K[X]\), die in \(L\) eine Nullstelle besitzen: Nach Voraussetzung zerfallen alle diese Polynome über \(L\) vollständig in Linearfaktoren. Dass ihre Nullstellen \(L\) erzeugen ist klar, denn jedes Element von \(L\) ist Nullstelle eines irreduziblen Polynoms über \(K\), nämlich seines Minimalpolynoms.

Ist \(L\) ein Zerfällungskörper einer Familie von Polynomen mit Koeffizienten in \(K\), so ist \(L\) auch Zerfällungskörper derselben Familie von Polynomen, nun aufgefasst als Polynome mit Koeffizienten in \(E\).

Wir beginnen mit Teil (3) und beweisen zunächst:

Behauptung. Der in (3) beschriebene Körper \(L'\) ist der Teilkörper \(L''\) von \(M\), der von den Nullstellen aller Minimalpolynome von Elementen von \(L\) (über \(K\)) erzeugt wird.

Begründung. Weil alle Minimalpolynome von Elementen von \(L\) über \(K\) irreduzibel sind und eine Nullstelle in \(L\subseteq M\) besitzen, zerfallen sie über dem normalen Erweiterungskörper \(M\) von \(K\) vollständig in Linearfaktoren.

Die Inklusion \(L' \subseteq L''\) gilt, weil jeder \(K\)-Homomorphismus \(\sigma \) Nullstellen von Polynomen in \(K[X]\) auf Nullstellen desselben Polynoms abbildet. Die Inklusion \(L''\subseteq L'\) folgt, weil es zu jeder Nullstelle \(\beta \in M\) von \(\operatorname{minpol}_{\alpha , K}\), \(\alpha \in L\), einen \(K\)-Homomorphismus \(L\to M\) mit \(\sigma (\alpha )=\beta \) gibt (Satz 4.25, Satz 4.33, Satz 5.4).

Damit ist klar, dass \(L'\) über \(K\) normal ist. Weil die Minimalpolynome aller Elemente von \(L\) in jedem Erweiterungskörper von \(L\), der über \(K\) normal ist, zerfallen müssen, kann es keinen kleineren Erweiterungskörper von \(L\) mit dieser Eigenschaft geben als \(L'\).

Zu (1). Nachdem wir Teil (3) bereits bewiesen haben, ist nur noch die Eindeutigkeit zu zeigen. Jedes \(L'\) wie in (1) ist der Zerfällungskörper aller Minimalpolynome (über \(K\)) von Elementen von \(L\). Daher folgt die Eindeutigkeitsaussage aus der entsprechenden Eindeutigkeitsaussage für den Zerfällungskörper einer Familie von Polynomen (Satz 5.3 (2)).

Zu (2). Wird \(L\) über \(K\) erzeugt von \(\alpha _1, \dots , \alpha _n\), so ist der Teilkörper eines algebraischen Abschlusses von \(L\), der von allen Nullstellen der Minimalpolynome der \(\alpha _i\) erzeugt wird, als Zerfällungskörper einer Familie von Polynomen normal über \(K\) und daher eine normale Hülle von \(\left.L\middle /K\right.\). Da es sich hier nur um endlich viele Polynome handelt, ist dieser Erweiterungskörper endlich erzeugt über \(K\), also auch endlich, weil die Erweiterung algebraisch ist.