6.2 Norm und Spur, Hilbert 90 *
Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche Körpererweiterung und sei \(\alpha \in L\). Das Minimalpolynom \(\operatorname{minpol}_{\alpha , K}\) ist, wie man leicht sieht, genau das Minimalpolynom des \(K\)-Vektorraum-Endomorphismus \(m_\alpha \colon L\to L\), \(x\mapsto \alpha x\). Entsprechend kann man andere Begriffe aus der Linearen Algebra »in die Algebra übertragen« und speziell im Kontext von Körpererweiterungen untersuchen. In diesem Abschnitt wollen wir das mit der Spur und der Determinante eines Endomorphismus tun. Natürlich gelten die Eigenschaften aus der Linearen Algebra insbesondere in dieser speziellen Situation, aber man kann noch etwas mehr sagen (für das Minimalpolynom haben wir beispielsweise gesehen, dass ein Minimalpolynom im Sinne der Algebra immer irreduzibel ist).
Wir definieren unten die Spur \(\operatorname{Spur}_{\left.L\middle /K\right.}(\alpha )\) von \(\alpha \) als die Spur des Endomorphismus \(m_\alpha \) und die Norm \(N_{\left.L\middle /K\right.}(\alpha )\) als die Determinante von \(m_\alpha \). Der Begriff »Determinante« wird also durch dem Term »Norm« ersetzt (im speziellen Fall der Erweiterung \(\left.\mathbb C\middle /\mathbb R\right.\) gilt \(N_{\left.\mathbb C\middle /\mathbb R\right.}(z) = z\overline{z} = \lvert z\rvert ^2\), es gibt also einen (schwachen) Zusammenhang zur Norm des Vektors \(z\in \mathbb C=\mathbb R^2\)), aber darüberhinaus haben diese beiden mathematischen Bedeutungen des Worts Norm nicht viel miteinander zu tun.
Einfache konkrete Anwendungen von Spur und Norm sind (Beispiel 6.12), dass man die Spur manchmal benutzen kann, um zu zeigen, dass gewisse Elemente (eines algebraischen Abschlusses von \(K\)) nicht in einem gegebenen Erweiterungkörper \(L\) eines Körpers \(K\) liegen, und mit der Normabbildung manchmal zeigen kann, dass ein Element \(\alpha \in L\) keine \(n\)-te Potenz in \(L\) ist. Vor allem sind Norm und Spur aber nützliche technische Hilfsmittel für strukturelle Untersuchungen von endlichen Körpererweiterungen. Siehe die Sätze am Ende dieses Abschnitts.
Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche Körpererweiterung. Wir betrachten \(L\) als \(K\)-Vektorraum und für jedes Element \(\alpha \in L\) die Multiplikation mit \(\alpha \) als Element \(m_\alpha \in \operatorname{End}_K(L)\). Dann heißt \(N_{\left.L\middle /K\right.}(\alpha ):=\det (\alpha )\) die Norm und \(\operatorname{Spur}_{\left.L\middle /K\right.}(\alpha ):=\operatorname{Spur}(m_\alpha )\) die Spur von \(\alpha \).
Die Normabbildung \(N_{\left.L\middle /K\right.}\colon L\to K\) ist multiplikativ, d.h. es gilt \(N_{\left.L\middle /K\right.}(\alpha \beta ) = N_{\left.L\middle /K\right.}(\alpha )N_{\left.L\middle /K\right.}(\beta )\) für alle \(\alpha , \beta \in L\). Insbesondere erhalten wir einen Gruppenhomomorphismus
Die Spur ist ein \(K\)-Vektorraumhomomorphismus
die sogenannte Spurabbildung der Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\).
Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche Körpererweiterung, \(n=[L:K]\). Für \(a\in K\) gilt dann \(\operatorname{Spur}_{\left.L\middle /K\right.}(a) = na\), \(N_{\left.L\middle /K\right.}(a) = a^n\).
Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche Körpererweiterung, \(n=[L:K]\), und sei \(\alpha \in L\) mit \(L=K(\alpha )\). Dann das Minimalpolynom der linearen Abbildung \(M_\alpha \) stimmt mit dem charakteristischen Polynom von \(m_\alpha \) überein und ist gleich \(\operatorname{minpol}_{\alpha , K}\). Schreiben wir \(\operatorname{minpol}_{\alpha , K} = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_0\), so folgt \(\operatorname{Spur}_{\left.K(\alpha )\middle /K\right.}(\alpha ) = -a_{n-1}\) und \(N_{\left.K(\alpha )\middle /K\right.}(\alpha )= (-1)^n a_0\).
Die Elemente \(1, \alpha , \dots , \alpha ^{n-1}\) bilden eine Basis von \(L\) als \(K\)-Vektorraum, und die Matrix, die den Endomorphismus \(m_\alpha \) bezüglich dieser Basis beschreibt, ist die Begleitmatrix von \(\operatorname{minpol}_{\alpha , K}\), Definition LA2.16.18.
Seien \(\left.L\middle /E\right.\) und \(\left.E\middle /K\right.\) endliche Körpererweiterungen.
Es gilt \(\operatorname{Spur}_{\left.L\middle /K\right.} = \operatorname{Spur}_{\left.E\middle /K\right.} \circ \operatorname{Spur}_{\left.L\middle /E\right.}\).
Es gilt \(N_{\left.L\middle /K\right.} = N_{\left.E\middle /K\right.} \circ N_{\left.L\middle /E\right.}\).
In [ Bo-A ] , Abschnitt 4.7, wird der obige Satz mit noch einer anderen Methode bewiesen.
Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche separable Körpererweiterung. Sei \(\overline{K}\) ein algebraischer Abschluss von \(K\). Für alle \(\alpha \in L\) gilt
Sei \(d = [K(\alpha ):K]\) und \(\operatorname{minpol}_{\alpha , K} = \sum _{i=0}^d a_i X^i\). Nach Satz 6.7 und Beispiel 6.6 (2) ist \(N_{\left.L\middle /K\right.}(\alpha ) = N_{\left.L\middle /K(\alpha )\right.}(N_{\left.K(\alpha )\middle /K\right.}(\alpha ) = ((-1)^d a_0)^{\frac nd}\). Andererseits ist wegen der Separabilität \((-1)^d a_0\) genau das Produkt aller \(\sigma (\alpha )\) für \(\sigma \in \operatorname{Hom}_K(K(\alpha ), \overline{K})\). Jeden dieser Homomorphismen können wir auf \(\frac nd\) verschiedene Arten zu einem Homomorphismus \(L\to \overline{K}\) fortsetzen (vergleiche den Beweis von Lemma 5.19), die natürlich \(\alpha \) jeweils auf dasselbe Element abbilden. Daraus folgt die Behauptung.
Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche Körpererweiterung. Sei \(\overline{K}\) ein algebraischer Abschluss von \(K\). Für alle \(\alpha \in L\) gilt
Man kann ganz analog zum vorherigen Satz argumentieren.
Man kann diese Beschreibungen auch (mit nur wenig Mehraufwand) auf den Fall nicht notwendig separabler Körpererweiterungen verallgemeinern, siehe zum Beispiel [ Bo-A ] Abschnitt 4.7.
Als direkte Folgerung der Beschreibung von Spur und Norm in Termen der \(K\)-Homomorphismen \(L\to \overline{K}\) erhalten wir, dass Spur und Norm einer Galois-Erweiterung »Galois-invariant« sind, das heißt:
Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche Galois-Erweiterung. Für alle \(\alpha \in L\) und \(\sigma \in \operatorname{Gal}(\left.L\middle /K\right.)\) gilt \(\operatorname{Spur}_{\left.L\middle /K\right.}(\alpha ) = \operatorname{Spur}_{\left.L\middle /K\right.}(\sigma (\alpha ))\) und \(N_{\left.L\middle /K\right.}(\alpha ) = N_{\left.L\middle /K\right.}(\sigma (\alpha ))\).
Norm und Spur kann man manchmal benutzen, um konkrete Aussagen der folgenden Form zu beweisen.
Es gilt \(\sqrt[3]{3}\not\in \mathbb Q(\sqrt[3]{2})=:K\). Denn nehmen wir an, es gäbe \(a,b,c\in \mathbb Q\) mit
\[ \sqrt[3]{3} = a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4}. \]Man könnte versuchen, direkt vorzugehen, indem man beide Seiten zur dritten Potenz erhebt und einen Koeffizientenvergleich durchführt. Es ist aber nicht offensichtlich, dass dadurch gegebene (nicht-lineare!) Gleichungssystem für \(a, b, b\) keine Lösung besitzt.
Einfacher geht es wie folgt: Aus Gradgründen wäre \(\mathbb Q(\sqrt[3]{3}) = \mathbb Q(\sqrt[3]{2}) = \mathbb Q(\sqrt[3]{4})\). An den jeweiligen Minimalpolynomen lesen wir ab, dass
\[ \operatorname{Spur}_{\left.K\middle /\mathbb Q\right.}(\sqrt[3]{3}) = \operatorname{Spur}_{\left.K\middle /\mathbb Q\right.}(\sqrt[3]{2}) = \operatorname{Spur}_{\left.K\middle /\mathbb Q\right.}(\sqrt[3]{4}) = 0. \]Damit folg aus der obigen Gleichung wegen der Linearität der Spur, dass \(a=0\) ist.
Durch Multiplikation der Gleichung mit \(\sqrt[3]{2}\) erhalten wir
\[ \sqrt[3]{6} = b\sqrt[3]{4} + 2c. \]Wie oben sehen wir, dass \(\operatorname{Spur}_{\left.K\middle /\mathbb Q\right.}(\sqrt[3]{6}) =0\) ist, und wir erhalten \(c=0\).
Dann wäre aber \(\sqrt[3]{3} = b\sqrt[3]{2}\) für ein \(b\in \mathbb Q\), und es ist offensichtlich, dass es eine solche Zahl \(b\) nicht gibt.
Das Element \(\alpha = 1-5\sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2\) ist kein Quadrat in \(\mathbb Q(\sqrt[3]{2})\). Indem man für die Basis \(1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}\) die Matrix der Abbildung \(m_\alpha \) aufstellt und deren Determinante ausrechnet, sieht man, dass \(N_{\left.\mathbb Q(\sqrt[3]{2})\middle /\mathbb Q\right.}(\alpha ) = 277\) gilt. Weil dieses Element kein Quadrat in \(\mathbb Q^\times \) ist, folgt die Behauptung.
Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche Körpererweiterung. Die Spurabbildung \(\operatorname{Spur}_{\left.L\middle /K\right.}\) ist genau dann die Nullabbildung, wenn die Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) inseparabel ist.
Es ist leicht zu sehen, dass die Spurabbildung einer rein inseparablen Erweiterung die Nullabbildung ist. Mit Satz 6.7 und Satz 5.33 folgt daraus, dass dies für jede inseparable Erweiterung gilt.
Ist die Erweiterung separabel, so ist \(\operatorname{Spur}_{\left.L\middle /K\right.} = \sigma _1 + \cdots + \sigma _n\) nach Satz 6.9, wobei wir mit \(\sigma _i\) die \(K\)-Homomorphismen \(L\to \overline{K}\) bezeichnen, \(i=1,\dots , n=[L:K]\). Satz 6.1 über die lineare Unabhängigkeit von Charakteren impliziert, dass diese Summe (gebildet in \(\operatorname{Abb}(L, \overline{K})\)) nicht verschwindet.
Genauer gilt im separablen Fall der folgende Satz.
Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine separable endliche Körpererweiterung. Dann ist die Abbildung
eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform auf dem \(K\)-Vektorraum \(L\).
Es ist klar, dass es sich hier um eine symmetrische Bilinearform handelt. Um zu zeigen, dass sie nicht ausgeartet ist, müssen wir zeigen, dass für jedes \(x\in L^\times \) die Abbildung \(y\mapsto \operatorname{Spur}_{\left.L\middle /K\right.}(xy)\) (ein Element des Dualraums \(L^\vee \) von \(L\) als \(K\)-Vektorraum) nicht die Nullabbildung ist.
Dies ist aber klar, denn sonst wäre offensichtlich die Abbildung \(\operatorname{Spur}_{\left.L\middle /K\right.}\) selbst die Nullabbildung, und das haben wir im vorherigen Satz bereits ausgeschlossen.
Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine separable endliche Körpererweiterung vom Grad \(n\), sei \(\overline{K}\) ein algebraischer Abschluss von \(K\), sei \(\operatorname{Hom}_K(L, \overline{K}) = \{ \sigma _1,\dots , \sigma _n\} \) und sei \(\alpha _1,\dots , \alpha _n\) eine \(K\)-Vektorraum-Basis von \(L\).
Das Element
heißt die Diskriminante der Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\). Es handelt sich also genau um die Diskriminante der Strukturmatrix der durch die Spur gegebenen Bilinearform bezüglich der Basis \((\alpha _1,\dots , \alpha _n)\). Aus der Basiswechselformel für die Strukturmatrix einer Bilinearform folgt, dass sich diese Determinante bei einem Wechsel der Basis um ein Quadrat in \(K^\times \) ändert. Das oben definierte Element \(D_{\left.L\middle /K\right.}\) ist also abhängig von der Wahl der Basis, seine Restklasse in \(K^\times /(K^\times )^2\) ist aber davon unabhängig und heißt auch oft die Diskriminante von \(\left.L\middle /K\right.\).
Schreiben wir \(A = (\sigma _i(\alpha _j))_{i,j}\) so ist \(A^tA\) genau die Matrix in der obigen Definition und daher \(D_{\left.L\middle /K\right.} = \det (A)^2\).
Betrachten wir speziell den Fall \(L=K(\alpha )\). Wir können als \(K\)-Basis von \(L\) dann die Elemente \(1,\alpha ,\dots , \alpha ^{n-1}\) wählen und die Matrix \(A\) hat dann die Form einer Vandermonde-Matrix. Weil die Elemente \(\sigma _i(\alpha )\) gerade die Nullstellen des Minimalpolynoms \(f:=\operatorname{minpol}_{\alpha , K}\) von \(\alpha \) über \(K\) sind, ist \(D_{\left.K(\alpha )\middle /K\right.}\) dann genau die Diskriminante von \(f\) (Definition 5.61).
Wenn wir mit \(\alpha _1,\dots , \alpha _n\) die Nullstellen von \(f\) und mit \(f'\) wie üblich die formale Ableitung von \(f\) bezeichnen, gilt in dieser Situation die folgende Formel, wie man unschwer nachrechnet:
Ist zum Beispiel \(K=\mathbb Q\), \(p\) eine ungerade Primzahl und \(\zeta \) eine primitive \(p\)-te Einheitswurzel, so ist \(f = X^{p-1}+\cdots +X+1\) und \(D_{\left.\mathbb Q(\zeta )\middle /\mathbb Q\right.} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \prod _{i=1}^{p-1} f'(\zeta ^i) = (-1)^{\frac{p(p-1)}{2}} p^{p-2}\). (Vergleiche die Hausaufgaben.)
Ein anderer Fall, in dem man leicht konkrete Formeln angeben kann, ist der Fall, dass das Minimalpolynom von \(\alpha \) die spezielle Form \(\operatorname{minpol}_{\alpha , K} = X^n + aX + b\) hat.
Der folgende Satz beschreibt im Fall einer zyklischen Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\), welche Elemente \(\alpha \in L\) die Norm \(N_{\left.L\middle /K\right.}(\alpha ) = 1\) haben. Genauer sagt der Satz, dass dies nur in dem »offensichtlichen« Fall \(\alpha = \beta /\sigma (\beta )\) für ein \(\beta \in L\) und \(\sigma \in \operatorname{Gal}(\left.L\middle /K\right.)\) gilt. Dass diese Elemente tatsächlich Norm \(1\) haben, folgt direkt aus Korollar 6.11 und aus der Multiplikativität der Norm. Es genügt dann sogar, für \(\sigma \) einen Erzeuger der Galois-Gruppe zu fixieren. Der Satz wird meistens als »Hilberts Satz 90« bezeichnet, weil er in dem berühmten Zahlbericht [ Hi ] von D. Hilbert die Nummer 90 trägt. Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen des Satzes, siehe zum Beispiel [ Bo-A ] Abschnitt 4.8.
![\includegraphics[width=16cm]{hilbert90}](images/img-0001.png)
Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche zyklische Galois-Erweiterung, sei \(\sigma \) ein Erzeuger der Galois-Gruppe \(\operatorname{Gal}(\left.L\middle /K\right.)\) und sei \(\alpha \in L\). Dann sind äquivalent:
\(N_{\left.L\middle /K\right.}(\alpha ) = 1\),
es gibt \(\beta \in L\) mit \(\alpha = \frac{\beta }{\sigma (\beta )}\).
Dass (i) aus (ii) folgt, ist einfach und haben wir oben bereits begründet. Sei nun \(\alpha \in L\) mit \(N_{\left.L\middle /K\right.}(\alpha )= 1\). Wir schreiben \(n=[L:K]\). Wegen der linearen Unabhängigkeit der Charaktere \(\operatorname{id}, \sigma , \sigma ^2, \dots , \sigma ^{n-1}\) existiert für alle \(\alpha _0, \dots , \alpha _{n-1}\in L\) ein Element \(\gamma \in L\) mit
Wir wenden diese Überlegung an mit
und erhalten dann für ein entsprechendes Element \(\beta \), dass
denn \(\sigma ^n = \operatorname{id}\) und \(\alpha \sigma (\alpha )\cdots \sigma ^{n-1}(\alpha ) = N_{\left.L\middle /K\right.}(\alpha )=1\). Weil \(\beta \ne 0\) ist, folgt \(\alpha = \beta /\sigma (\beta )\).
Zum Satz 90 von Hilbert gibt es die folgende additive Variante:
Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche zyklische Galois-Erweiterung und \(\sigma \) ein Erzeuger der Galois-Gruppe \(\operatorname{Gal}(\left.L\middle /K\right.)\). Für jedes \(\alpha \in L\) sind dann äquivalent:
\(\operatorname{Spur}_{\left.L\middle /K\right.}(\alpha ) = 0\),
es gibt \(\beta \in L\) mit \(\alpha = \beta -\sigma (\beta )\).