(i) \(\Rightarrow \) (ii). Wir führen Induktion nach \(\dim V\). Ist \(\dim V \le 1\), so ist notwendigerweise \(\operatorname{charpol}_f = \operatorname{minpol}_f\). Sei nun \(\dim V {\gt} 1\). Sei \(v\in V\setminus \{ 0\} \) und sei wieder \(U=\langle v, f(v), f^2(v), \dots \rangle \) der \(f\)-zyklische Untervektorraum, der von den Vektoren \(f^i(v)\) erzeugt wird. Sei \(g = f_{|U}\in \operatorname{End}_K(U)\) die Einschränkung von \(f\).

Sei \(W\subseteq V\) ein Komplementärraum von \(U\), und sei \(\pi \colon V\to W\) die Projektion auf \(W\) (d.h. für \(v=u+w\in V\) mit \(u\in U\), \(w\in W\) gelte \(\pi (v) = \pi (u+w) = w\)). Sei \(h\in \operatorname{End}_K(W)\) der Endomorphismus von \(W\), der durch \(h(w) = \pi (f(w))\) gegeben ist.

Wir sind dann in der Situation von Lemma 16.5, es gilt folglich \(\operatorname{charpol}_f = \operatorname{charpol}_g \operatorname{charpol}_h\).

Weil \(p\) irreduzibel ist, und damit ein Primelement im Ring \(K[X]\), folgt aus unserer Voraussetzung, dass \(p\, |\, \operatorname{charpol}_g\) oder \(p\, |\, \operatorname{charpol}_h\). Im ersten Fall folgt direkt der Satz: Weil \(U\) ein \(f\)-zyklischer Untervektorraum ist, ist nämlich \(\operatorname{charpol}_g=\operatorname{minpol}_g\), und weil \(\operatorname{minpol}_f(g)=0\) ist, gilt \(\operatorname{minpol}_g\, |\, \operatorname{minpol}_f\).

Wenn \(p\, |\, \operatorname{charpol}_h\) gilt, dann folgt aus der Induktionsvoraussetzung, dass \(p \, |\, \operatorname{minpol}_h\), und wieder gilt \(\operatorname{minpol}_f(h)=0\), also \(\operatorname{minpol}_h\, |\, \operatorname{minpol}_f\).

Die Implikation (ii) \(\Rightarrow \) (i) folgt direkt aus dem Satz von Cayley–Hamilton, der besagt, dass \(\operatorname{minpol}_f\) ein Teiler von \(\operatorname{charpol}_f\) ist.

Alternativer Beweis. Eine ganz andere Möglichkeit, die Richtung (i) \(\Rightarrow \) (ii) zu beweisen, liefert das folgende Lemma. Da der Ring \(K[X]\) faktoriell ist, ist klar, dass aus dessen Aussage die Implikation (i) \(\Rightarrow \) (ii) folgt.

Die Äquivalenz von (i) und (ii) haben wir bereits bewiesen (Satz 16.7). Die Äquivalenz von (ii) und (iii) ist eine direkte Folgerung aus dem vorherigen Satz, denn \(\lambda \) ist genau dann Nullstelle eines Polynoms \(p\), wenn \(p\) durch das (irreduzible) Polynom \(X-\lambda \) teilbar ist. Es ist aber auch leicht, das Korollar direkt zu beweisen.

Dass jede Nullstelle vom Minimalpolynom auch eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, folgt aus dem Satz von Cayley–Hamilton.

Sei nun \(\lambda \in K\) ein Eigenwert von \(A\) und \(v\in V\) ein Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda \). Es gilt dann \(A^i v = \lambda ^i v\), und daraus folgt leicht, dass

ist.

Insbesondere sehen wir

und da \(v\) als Eigenvektor nicht \(0\) ist, folgt \(\operatorname{minpol}_A(\lambda )=0\).

Teil (1) folgt aus Satz 16.9 und Satz 16.26, denn letzterer impliziert, dass \(\operatorname{minpol}_f\) genau dann vollständig in Linearfaktoren zerfällt, wenn das für \(\operatorname{charpol}_f\) gilt.

zu (2). Es ist auch klar, dass für einen diagonalisierbaren Endomorphismus das Minimalpolynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt und nur einfache Nullstellen hat. Denn wir können \(f\) dann bezüglich einer geeigneten Basis durch eine Diagonalmatrix darstellen und deren Minimalpolynom kann man direkt ablesen. (Vergleiche Beispiel 16.13.)

Nun sei \(f\) ein Endomorphismus, dessen Minimalpolynom das Produkt von paarweise verschiedenen Linearfaktoren ist. Wir führen Induktion nach \(\dim (V)\), wobei der Fall \(\dim (V) \le 1\) klar ist, da dann jeder Endomorphismus diagonalisierbar ist. Seien \(\lambda _1, \dots , \lambda _r\in K\) die paarweise verschiedenen Nullstellen von \(\operatorname{minpol}_f\). Nach Satz 16.26 sind das auch genau die Nullstellen von \(\operatorname{charpol}_f\), also die paarweise verschiedenen Eigenwerte von \(f\).

Wir schreiben \(\operatorname{minpol}_f = (X-\lambda _1) p\) für ein Polynom \(p\), das nach Voraussetzung ebenfalls vollständig in Linearfaktoren zerfällt und nur einfache Nullstellen hat, und für das \(p(\lambda _1)\ne 0\) gilt. Es sei \(U:= \operatorname{Ker}(p(f))\). Dann gilt \(f(U)\subseteq U\). Wie üblich bezeichnen wir mit \(V_{\lambda _1}\) den Eigenraum von \(f\) zum Eigenwert \(\lambda _1\).

Behauptung. Es gilt \(V = V_{\lambda _1} \oplus U\).

Begründung. Wir zeigen zuerst, dass \(V_{\lambda _1} \cap U = 0\) ist. Ist \(f(v) = \lambda _1 v\), so folgt \(p(f)(v) = p(\lambda _1) v \ne 0\), es sei denn \(v=0\) (denn \(p(\lambda _1)\ne 0\), wie oben bemerkt).

Es bleibt zu zeigen, dass \(V_{\lambda _1}+ U = V\) ist. Weil \(X-\lambda _1\) irreduzibel und kein Teiler von \(p\) ist, ist \(1\) ein ggT von \(X-\lambda _1\) und \(p\) im Hauptidealring \(K[X]\), wir können folglich das konstante Polynom \(1\in K[X]\) in der Form \((X-\lambda _1)g + ph = 1\) ausdrücken (für geeignete \(g,h\in K[X]\)).

Damit sehen wir \(v = (f-\lambda _1\operatorname{id}_V)(g(f)(v)) + p(f)(h(f)(v))\), und dies ist ein Element von \(U+V_{\lambda _1}\), weil \(0 = \operatorname{minpol}_f(f) = p(f)\circ (f-\lambda _1\operatorname{id}_V) = (f-\lambda _1\operatorname{id}_V)\circ p(f)\) gilt.

Nun folgt nach Induktionsvoraussetzung, dass \(f_{|U}\) diagonalisierbar ist. Jedenfalls gilt \(\dim (U) {\lt} \dim (V)\). Außerdem ist \(p(f_{|U}) = 0\in \operatorname{End}_K(U)\), wie direkt aus der Definition von \(U\) als \(\operatorname{Ker}(p(f))\) folgt. Also gilt \(\operatorname{minpol}_{f_{|U}}\mid p\) und deshalb zerfällt \(\operatorname{minpol}_{f_{|U}}\) vollständig in Linearfaktoren und hat nur einfache Nullstellen. (Es ist auch nicht schwer zu sehen, dass \(\operatorname{minpol}_{f_{|U}}=p\) gilt.)

Es ist andererseits klar, dass \(f(V_{\lambda _1})\subseteq V_{\lambda _1}\) gilt und dass \(f_{V_{\lambda _1}}\) diagonalisierbar ist. Es folgt, dass \(f\) diagonalisierbar ist.