6.8 Ergänzungen *
Das einzige Beispiel einer nicht-trivialen endlichen Körpererweiterung \(\left.L\middle /K\right.\), in der \(L\) algebraisch abgeschlossen ist, das wir kennengelernt haben, ist die Erweiterung \(\left.\mathbb C\middle /\mathbb R\right.\). Es gibt zwar noch andere solche Erweiterungen (zum Beispiel \(\left.\overline{\mathbb Q}\middle /\overline{\mathbb Q}\cap \mathbb R\right.\) – Übung!), aber der folgende Satz von Artin zeigt, dass sie der vorgenannten sehr ähnlich sind, insbesondere muss eine solche Erweiterung Grad \(2\) haben.
Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche Körpererweiterung vom Grad \({\gt} 1\). Wenn \(L\) algebraisch abgeschlossen ist, dann ist \([L:K] = 2\) und es existiert ein Element \(i\in L\) mit \(i^2=-1\) und \(L=K(i)\).
Für einen Beweis siehe zum Beispiel [ Bo-A ] Satz 6.3/2.