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15.1 Definition und erste Eigenschaften

Wir beginnen mit der Definition einer weiteren algebraischen Struktur, der sogenannten Ringe, in denen eine Addition und Multiplikation existiert, wo wir aber anders als bei Körpern nicht verlangen, dass jedes Element \(\ne 0\) ein multiplikatives Inverses hat. Die Definition hat verschiedene »Versionen«, je nachdem, ob gefordert wird, dass die Multiplikation ein neutrales Element hat (das werden wir immer verlangen) und/oder kommutativ ist. Zwei wichtige Beispiele von Ringen sind der Ring \(\mathbb Z\) der ganzen Zahlen und der Ring \(M_n(K)\) der quadratischen Matrizen der Größe \(n\in \mathbb N\) über einem Körper \(K\).

Definition 15.1
  1. Ein Ring ist eine Menge \(R\) zusammen mit Verknüpfungen

    \[ +\colon R\times R\to R\ \text{(Addition) und}\quad \cdot \colon R\times R\to R\ \text{(Multiplikation),}\quad \]

    so dass gilt:

    1. \((R, +)\) ist eine kommutative Gruppe,

    2. die Multiplikation \(\cdot \) ist assoziativ,

    3. es gelten die Distributivgesetze

      \[ a(b+c) = a\cdot b + a\cdot c,\quad (a+b)c = a\cdot c + b\cdot c \]

      für alle \(a,b,c\in R\).

  2. Wenn die Multiplikation von \(R\) kommutativ ist, dann nennt man \(R\) auch einen kommutativen Ring.

  3. Wenn die Multiplikation von \(R\) ein neutrales Element besitzt, so wird dieses mit \(1\) bezeichnet, und man nennt \(R\) einen Ring mit Eins.

Wir nutzen dieselben Konventionen wie im Fall von Körpern: Der Multiplikationspunkt kann ausgelassen werden, wenn keine Missverständnisse dadurch entstehen können. Es gilt »Punkt- vor Strichrechnung«. Für die additive Gruppe \((R, +)\) verwenden wir die üblichen Bezeichnungen: Das neutrale Element der Addition in einem Ring bezeichnen wir mit \(0\), das additive Inverse von \(a\) mit \(-a\), und wir schreiben \(a-b\) statt \(a+(-b)\).

In diesem Skript verstehen wir, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird, unter einem Ring immer einen Ring mit Eins. Dann ist das neutrale Element der Multiplikation eindeutig bestimmt, so dass die in der Definition festgelegte Bezeichnung \(1\) sinnvoll ist. In der Vorlesung treten sowohl kommutative als auch nicht-kommutative Ringe auf.

Für \(a\in R\) und \(n\in \mathbb N\) ist \(a^n = a\cdot \cdots \cdot a\) das \(n\)-fache Produkt von \(a\) mit sich selbst. Für \(n=0\) verstehen wir das wie üblich als das leere Produkt, d.h. wir setzen \(a^0 = 1\).

Definition 15.2

Sei \(R\) ein Ring. Ein Element \(a\in R\) heißt eine Einheit, wenn \(a\) ein multiplikatives Inverses besitzt, d.h., wenn \(b\in R\) existiert mit \(ab=ba=1\). Die Menge aller Einheiten von \(R\) bildet bezüglich der Multiplikation eine Gruppe, die wir die Einheitengruppe oder multiplikative Gruppe von \(R\) nennen und mit \(R^\times \) bezeichnen.

Ist \(R\) ein Ring und \(b\in R\) eine Einheit, so ist das multiplikative Inverse von \(b\) eindeutig bestimmt und wird auch mit \(b^{-1}\) bezeichnet. Im Fall kommutativer Ringe, wo also \(ab^{-1} = b^{-1}a\) für alle \(a\in R\) gilt, verwendet man auch gelegentlich die Bruchschreibweise \(\frac ab\) für das Element \(ab^{-1}\). Ist der Ring nicht kommutativ, so sollte man diese Schreibweise vermeiden, weil unklar bleibt, ob \(ab^{-1}\) oder \(b^{-1}a\) gemeint ist.

Beispiel 15.3
  1. Die ganzen Zahlen bilden bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation einen kommutativen Ring. Es ist \(\mathbb Z^\times = \{ 1, -1\} \).

  2. Ist \(n\in \mathbb N_{{\gt} 1}\), so ist \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\) mit der Addition und Multiplikation von Restklassen modulo \(n\) ein kommutativer Ring. Das haben wir (ohne das Wort »Ring« zu verwenden) in Abschnitt I.4.2.1 nachgeprüft. Die Einheitengruppe \((\left.\mathbb Z\middle /n\right.)^\times \) besteht aus den Restklassen aller derjenigen Zahlen \(m\in \mathbb Z\), die zu \(n\) teilerfremd sind, siehe Satz I.4.16.

  3. Jeder Körper ist ein kommutativer Ring. Ein Ring ist genau dann ein Körper, wenn er kommutativ ist und \(R^\times = R\setminus \{ 0\} \) gilt. Insbesondere stimmt für einen Körper \(K\) die neu eingeführte Schreibweise \(K^\times \) mit der im vergangenen Semester eingeführten überein.

  4. Sei \(K\) ein Körper, \(n\in \mathbb N\). Dann ist \(M_n(K)\) mit der Addition von Matrizen umd dem Matrizenprodukt ein Ring, der sogenannte Matrizenring. Ist \(n\ge 2\), dann ist der Ring \(M_n(K)\) nicht kommutativ.

  5. Ist \(K\) ein Körper und \(V\) ein \(K\)-Vektorraum, so ist \(\operatorname{End}_K(V)\) mit der Addition von linearen Abbildungen und der Verkettung von linearen Abbildungen als Multiplikation ein Ring, der sogenannte Endomorphismenring von \(V\). In diesem Ring entspricht die Potenz eines Elements \(f\) also der entsprechend häufigen Verkettung des Endomorphismus \(f\) mit sich selbst, zum Beispiel: \(f^3 = f\circ f\circ f\).

  6. Die einelementige Menge \(R = \{ 0\} \) ist (mit der einzig möglichen Addition \(0+0=0\) und Multiplikation \(0\cdot 0 = 0\)) ein Ring, der sogenannte Nullring. Dies ist der einzige Ring, in dem \(1=0\) gilt, denn in jedem Ring gilt \(1\cdot a = a\) für alle \(a\) nach Definition des Elements \(1\) und \(0\cdot a = 0\).

  7. Sind \(R_1\), \(R_2\) Ringe, so ist \(R_1\times R_2\) mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation ein Ring, das sogenannte Produkt von \(R_1\) und \(R_2\). Das bedeutet

    \[ (x_1, x_2) + (y_1, y_2) = (x_1+y_1, x_2+y_2),\quad (x_1, x_2) \cdot (y_1, y_2) = (x_1y_1, x_2y_2). \]

    Das Nullelement ist \((0, 0)\), das Einselement ist \((1, 1)\). Ist allgemeiner \(I\) irgendeine Menge und sind \(R_i\), \(i\in I\), Ringe, so ist das Produkt \(\prod _{i\in I} R_i\) mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation ein Ring, das Produkt der Ringe \(R_i\).

  8. Ist \(R\) ein Ring und \(X\) eine Menge, so bildet die Menge \(\operatorname{Abb}(X, R)\) aller Abbildungen von \(X\) nach \(R\) einen Ring mit

    \begin{align*} (\, f+g)(x) & = f(x) + g(x),\\ (f\cdot g)(x) & = f(x) \cdot g(x). \end{align*}

    Das Null- und Einselement sind die konstanten Abbildungen \(x\mapsto 0\) und \(x\mapsto 1\). Wenn \(R\) kommutativ ist, dann ist auch dieser Ring kommutativ.

    Wir können \(\operatorname{Abb}(X, R)\) identifizieren mit dem Produkt \(R^X = \prod _{x\in X} R\). Dabei entspricht eine Abbildung \(f\colon X\to R\) dem Element \((f(x))_x\in R^X\).

In jedem Ring \(R\) gilt \(0\cdot a = 0 = a\cdot 0\) und \((-1)a = -a = a\cdot (-1)\) für alle \(a\in R\). Das folgt aus dem Distributivgesetz. Aus \(ab = ac\) folgt allerdings im allgemeinen nicht, dass \(b = c\) ist; ebenso impliziert \(ab=0\) nicht unbedingt, dass \(a=0\) oder \(b=0\) gilt. (Geben Sie für beide Aussagen Beispiele im Matrizenring \(M_n(K)\).) Vergleiche aber Definition 15.28, Lemma 15.32.

Definition 15.4

Seien \(R\), \(S\) Ringe. Ein Ringhomomorphismus von \(R\) nach \(S\) ist eine Abbildung \(f\colon R\to S\), so dass gilt:

  1. für alle \(x,y\in R\) ist \(f(x+y) = f(x) + f(y)\),

  2. für alle \(x,y\in R\) ist \(f(xy) = f(x) f(y)\),

  3. es gilt \(f(1)=1\).

Bemerkung 15.5

Ist \(f\colon R\to S\) ein Ringhomomorphismus, so gilt \(f(0)=0\) und \(f(-x)=-f(x)\) für alle \(x\in R\). Ferner induziert \(f\) einen Gruppenhomomorphismus \(R^\times \to S^\times \) zwischen den Einheitengruppen, denn aus \(ab=1\) folgt \(f(a)f(b)=f(ab)=f(1)=1\), also \(f(a)\in S^\times \).

Wie man leicht nachprüft, ist die Verkettung von Ringhomomorphismen wieder ein Ringhomomorphismus. Für jeden Ring \(R\) ist die identische Abbildung \(\operatorname{id}_R\) ein Ringhomomorphismus.

Beispiel 15.6

Sei \(R\) ein Ring. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus \(\varphi \colon \mathbb Z\to R\). Denn nach Definition eines Ringhomomorphismus muss \(\varphi (1) = 1\) gelten, wobei links die ganze Zahl \(1\) und rechts das Element \(1\in R\) gemeint sind. Es folgt für alle \(n\in \mathbb N_{\ge 1}\), dass

\[ \varphi (n) = 1 + \cdots + 1, \]

wobei in der Summe rechts das Element \(1\in R\) zu sich selbst addiert wird, und die Summe aus \(n\) Summanden besteht. Schließlich hat man \(\varphi (-n) = -\varphi (n)\), so dass \(\varphi \) auch auf den negativen ganzen Zahlen eindeutig festgelegt ist. Es ist nicht schwer zu überprüfen, dass es sich bei dieser Abbildung tatsächlich um einen Ringhomomorphismus handelt.

Wir haben diese Abbildung in dem speziellen Fall, dass \(R\) ein Körper ist, schon im Abschnitt I.4.2.2 betrachtet; siehe auch Ergänzung 18.34.

Wie bei Körpern bezeichnen wir das Bild der ganzen Zahl \(n\) unter diesem Ringhomomorphismus oft auch einfach wieder mit \(n\). In diesem Sinne können wir \(n\) als Element jedes Rings \(R\) auffassen. Allerdings kann, wie schon bei Körpern, dann \(m=n\) in \(R\) gelten, auch wenn die ganzen Zahlen \(m\) und \(n\) unterschiedlich sind.

Beispiel 15.7

Wir können nun Lemma I.4.13 eleganter formulieren: Die natürliche Abbildung \(\mathbb Z\to \left.\mathbb Z\middle /n\right.\) ist ein Ringhomomorphismus (und dies ist der Ringhomomorphismus aus Beispiel 15.6 für den Ring \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\)).

Beispiel 15.8

Sei \(K\) ein Körper.

  1. Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum. Sei \(\operatorname{End}_{\text{Gp}}(V)\) die Menge aller Gruppenendomorphismen \(V\to V\) der additiven Gruppe \((V, +)\). Mit der üblichen Summe von Abbildungen als Addition und der Verkettung von Abbildung als Multiplikation ist \(\operatorname{End}_{\text{Gp}}(V)\) ein (im allgemeinen nicht-kommutativer) Ring. Das Einselement ist die Abbildung \(\operatorname{id}_V\).

    Für \(a\in K\) ist die Skalarmultiplikation mit \(a\) ein Gruppenendomorphismus \(V\to V\), also ein Element von \(\operatorname{End}_{\text{Gp}}(V)\). Hier benutzen wir eines der Distributivgesetze für die Skalarmultiplikation auf \(V\).

    Wir erhalten so einen Ringhomomorphismus \(K\to \operatorname{End}_{\text{Gp}}(V)\). Die Kompatibilität mit der Addition entspricht »dem anderen« Distributivgesetz, die Kompatibilität mit der Multiplikation \(V\) dem »Assoziativgesetz«. Dass Skalarmultiplikation mit \(1\in K\) die identische Abbildung ist, ist ein weiteres der Vektorraumaxiome.

  2. Sei nun \(V\) eine kommutative Gruppe, die wir additiv schreiben, und sei \(\varphi \colon K\to \operatorname{End}_{\rm Gp}(V)\) ein Ringhomomorphismus. Dann erhalten wir durch \(a\cdot v:= \varphi (a)(v)\) eine Skalarmultiplikation und damit die Struktur eines \(K\)-Vektorraums auf \(V\).

Mit dem Begriff des Homomorphismus erhalten wir wie üblich auch einen Begriff von Isomorphismen zwischen Ringen:

Definition 15.9

Ein Ringisomorphismus ist ein Ringhomomorphismus \(f\colon R\to S\), derart dass ein Ringhomomorphismus \(g\colon S\to R\) existiert, der eine Umkehrabbildung zu \(f\) ist, d.h. so dass \(g\circ f = \operatorname{id}_R\) und \(f\circ g =\operatorname{id}_S\) gilt.

Wie bei Gruppen und Vektorräumen beweist man:

Lemma 15.10

Sei \(f\colon R\to S\) ein Ringhomomorphismus. Die Abbildung \(f\) ist genau dann bijektiv, wenn \(f\) ein Isomorphismus ist.

Definition 15.11

Sei \(S\) ein Ring. Eine Teilmenge \(R\subseteq S\) heißt Unterring, wenn \(R\) eine Untergruppe der additiven Gruppe von \(S\) ist, für alle \(x, y\in R\) auch das Produkt \(xy\) in \(R\) liegt, und das Einselement von \(S\) in \(R\) liegt.

Beispiel 15.12

Seien \(K\) ein Körper, \(V\) ein endlichdimensionaler \(K\)-Vektorraum und \(\mathscr B\) eine Basis von \(V\). Dann ist die Abbildung \(\operatorname{End}_K(V)\to M_n(K)\), \(f\mapsto M^\mathscr B_\mathscr B(f)\), ein Ringisomorphismus.

Ergänzung 15.13

Seien wie in Beispiel 15.12 \(K\) ein Körper und \(V\) ein endlichdimensionaler \(K\)-Vektorraum. Man kann zeigen, dass jeder Isomorphismus \(\operatorname{End}_K(V)\to M_n(K)\) die Form \(f\mapsto M^\mathscr B_\mathscr B(f)\) für eine Basis \(\mathscr B\) von \(V\) hat. Das ist ein Spezialfall des Satzes von Skolem und Noether.

Ist \(R\subseteq S\) ein Unterring, so ist \(R\) mit der Addition und Multiplikation von \(S\) selbst ein Ring und die Inklusionsabbildung \(R\to S\), \(x\mapsto x\), ist ein injektiver Ringhomomorphismus. Ist andererseits \(\iota \colon R\to S\) ein injektiver Ringhomomorphismus, so ist \(\iota (R)\) ein Unterring von \(S\) und die Abbildung \(R\to \iota (R)\) ein Ringisomorphismus.

Beispiel 15.14

Zwei eng verwandte Beispielklassen von Ringen, die im weiteren Verlauf der Vorlesung eine große Rolle spielen werden, sind die folgenden.

  1. Seien \(K\) ein Körper und \(A\in M_n(K)\). Dann ist

    \[ K[A] := \left\{ \sum _{i=0}^n a_i A^i;\ n\in \mathbb N,\ a_i\in K \right\} \]

    ein Unterring von \(M_n(K)\). Der Ring \(K[A]\) ist kommutativ.

  2. Seien \(K\) ein Körper, \(V\) ein \(K\)-Vektorraum und \(f\in \operatorname{End}_K(V)\). Dann ist

    \[ K[f] := \left\{ \sum _{i=0}^n a_i f^i;\ n\in \mathbb N,\ a_i\in K \right\} \]

    ein Unterring des Endomorphismenrings \(\operatorname{End}_K(V)\). Hierbei bezeichnet \(f^i\) die \(i\)-te Potenz von \(f\) im Ring \(\operatorname{End}_K(V)\), d.h. die \(i\)-fache Verkettung von \(f\) mit sich selbst. Der Ring \(K[f]\) ist kommutativ.

    Ist \(V\) endlichdimensional und \(\mathscr B\) eine Basis von \(V\), dann schränkt sich der Isomorphismus \(\operatorname{End}_K(V)\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}M_n(K)\) aus Beispiel 15.12 ein zu einem Isomorphismus \(K[f]\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}K[A]\).