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3.2 Primideale und maximale Ideale

In der Linearen Algebra 2 haben wir den Begriff des Primelements in einem Integritätsring \(R\) eingeführt. Und zwar heißt \(p\in R\) ein Primelement, wenn \(p\) keine Einheit und \(\ne 0\) ist und die folgende Primeigenschaft erfüllt: Für alle \(x, y\in R\) mit \(p\, |\, xy\) gilt \(p\, |\, x\) oder \(p\, |\, y\).

Wir wissen, dass wir Teilbarkeit von Ringelementen auch in Termen von Idealen ausdrücken können: \(p\, |\, x\) ist äquivalent zu \(x\in (p)\). Daher ist es naheliegend, die obige Primeigenschaft wie folgt auf Ideale zu übertragen.

Definition 3.16

Sei \(R\) ein Ring. Ein Ideal \(\mathfrak p \subset R\) heißt Primideal, wenn \(\mathfrak p \ne R\) gilt und wenn für alle \(x,y\in R\) gilt: Falls \(xy\in \mathfrak p\), dann ist \(x\in \mathfrak p\) oder \(y\in \mathfrak p\).

Ist \(R\) ein Integritätsring und \(p\in R\), \(p\ne 0\), so ist das Hauptideal \((p)\) genau dann ein Primideal, wenn \(p\) ein Primelement in \(R\) ist. Es gibt hier also eine kleine Diskrepanz in den Bezeichnungen: Während per Definition \(0\in R\) kein Primelement ist, kann das Nullideal ein Primideal sein. Genauer ist \((0)\subseteq R\) genau dann ein Primideal, wenn \(R\) ein Integritätsring ist. Etwas allgemeiner gilt das folgende Lemma.

Lemma 3.17

Seien \(R\) ein kommutativer Ring und \(\mathfrak p\subseteq R\) ein Ideal. Dann sind äquivalent:

  1. der Quotient \(R/\mathfrak p\) ist ein Integritätsring,

  2. das Ideal \(\mathfrak p\) ist ein Primideal.

Beweis

Der Beweis ist einfach wir und lassen ihn aus. Versuchen Sie es selbst und fragen Sie gegebenenfalls nach!

Eine weitere wichtige Klasse von Idealen, die wir betrachten wollen, bilden die sogenannten maximalen Ideale. Die Maximalität bezieht sich hier auf die Inklusion von Teilmengen, allerdings wird dabei das Einsideal des Rings außen vor gelassen (sonst wäre der Begriff langweilig, weil dann immer das Einsideal das einzige maximale Ideal wäre).

Definition 3.18

Sei \(R\) ein Ring. Ein Ideal \(\mathfrak m\subset R\) heißt maximales Ideal, wenn \(\mathfrak m\ne R\) ist und \(\mathfrak m\) maximal mit dieser Eigenschaft bezüglich der Inklusion von Idealen ist, d.h. wenn für jedes Ideal \(\mathfrak a\subseteq R\) mit \(\mathfrak m\subseteq \mathfrak a\subseteq R\) gilt: \(\mathfrak a = \mathfrak m\) oder \(\mathfrak a = R\).

Lemma 3.19

Sei \(R\) ein kommutativer Ring und \(\mathfrak m \subseteq R\) ein Ideal. Dann sind äquivalent:

  1. der Quotient \(\left.R\middle /\mathfrak m\right.\) ist ein Körper,

  2. das Ideal \(\mathfrak m\) ist ein maximales Ideal.

Beweis

Ein kommutativer Ring \(R\ne 0\) ist genau dann ein Körper, wenn \((0)\) und \(R\) die einzigen Ideale in \(R\) sind. (Warum?) Daher folgt die Äquivalenz im Lemma aus Satz 3.13.

Insbesondere ist jedes maximale Ideal ein Primideal.

Satz 3.20

Sei \(R\) ein Hauptidealring und \(\mathfrak p \subset R\) ein Primideal, das nicht das Nullideal ist. Dann ist \(\mathfrak p\) ein maximales Ideal von \(R\).

Beweis

Weil \(R\) ein Hauptidealring ist, existiert \(p\in R\) mit \(\mathfrak p = (p)\). Da \(\mathfrak p\) ein Primideal ist, ist \(p\) prim. Sei nun \(\mathfrak a = (a)\) ein Ideal mit \(\mathfrak p\subseteq \mathfrak a\subseteq R\). Dann ist \(p\in \mathfrak a\), etwa \(p=ad\), \(d\in R\). Als Primelement ist \(p\) insbesondere irreduzibel und es folgt, dass entweder \(a\) oder \(d\) eine Einheit in \(R\) ist. Also ist entweder \(\mathfrak a = R\) oder \(a\) und \(p\) sind assoziiert, und dann gilt \(\mathfrak a = \mathfrak p\).

Beispiel 3.21
  1. Die Primideale im Hauptidealring \(\mathbb Z\) sind die Ideale \((0)\) und \((p)\) für Primzahlen \(p\). Die maximalen Ideale sind die Ideale \((p)\) für Primzahlen \(p\). Wir sehen so erneut, dass \(\left.\mathbb Z\middle /p\right.\) für jede Primzahl \(p\) ein Körper ist.

  2. Das Ideal \((X) \subset \mathbb Z[X]\) ist ein Primideal, aber kein maximales Ideal.

Es ist manchmal wichtig zu wissen, dass jeder Ring \(\ne 0\) ein maximales Ideal besitzt. (Konkret werden wir dies in Abschnitt 4.4 benötigen.) Das wollen wir als nächstes beweisen. Der Beweis beruht auf dem Lemma von Zorn, das wir hier kurz vorstellen; siehe auch Abschnitt LA1.B.1. Das Lemma von Zorn beweisen wir hier nicht; es folgt aus der »Tatsache«, dass für jede Menge \(I\) und Mengen \(X_i\ne \emptyset \), \(i\in I\) das kartesische Produkt \(\prod _{i\in I} X_i\) nicht leer ist. Anschaulich halten das viele (die meisten?) Mathematikerinnen für »klar«, aber (und deshalb steht Tatsache in Anführungszeichen) es folgt nicht aus den heutzutage oft zugrunde gelegten Axiomen der Mengenlehre von Zermelo und Fraenkel, sondern ist ein zusätzliches Axiom, das sogenannte Auswahlaxiom, auf Englisch Axiom of choice; man spricht von ZFC als dem Axiomensystem von Zermelo und Fraenkel zusammen mit dem Auswahlaxiom. Man kann zeigen, dass die Aussage des Auswahlaxioms äquivalent ist (unter den Axiomen ZF von Zermelo und Fraenkel) zum Zornschen Lemma. Wir geben deshalb unten das Lemma von Zorn als Axiom an.

Satz 3.22

Sei \(R\) ein Ring und sei \(\mathfrak a\subsetneq R\) ein Ideal. Dann besitzt \(R\) ein maximales Ideal, das \(\mathfrak a\) enthält. Insbesondere besitzt jeder Ring \(R\ne 0\) ein maximales Ideal.

Um das Lemma von Zorn zu formulieren, machen wir die folgenden Definitionen; siehe auch Abschnitt LA1.3.14.

Definition 3.23
  1. Sei \(M\) eine Menge. Eine partielle Ordnung auf \(M\) ist eine Relation \(\le \) auf \(M\) (d.h. für je zwei Elemente \(x,y\in M\) gilt entweder \(x\le y\), oder nicht \(x\le y\) – dann schreiben wir \(x\not\le y\)), die reflexiv, transitiv und anti-symmetrisch ist. Es gilt also \(x\le x\) für alle \(x\in M\), aus \(x\le y\) und \(y\le z\) folgt \(x\le z\) für alle \(x,y,z\in M\), und aus \(x\le y\) und \(y\le x\) folgt \(x=y\) für alle \(x,y\in M\).

    Wir nennen dann \(M\) zusammen mit \(\le \) eine partiell geordnete Menge. (Auf Englisch spricht man manchmal von poset (\(=\) p. o. set \(=\) partially ordered set.)

  2. Sei \(M\) eine partiell geordnete Menge. Ein Element \(m\in M\) heißt maximales Element, wenn für alle \(m^\prime \in M\) mit \(m\le m^\prime \) gilt, dass \(m=m^\prime \) ist.

  3. Sei \(M\) eine partiell geordnete Menge. Ein Element \(m\in M\) heißt größtes Element, wenn für alle \(m^\prime \in M\) gilt, dass \(m^\prime \le m\) ist.

  4. Sei \(T\) eine Menge. Eine totale Ordnung auf \(T\) ist eine partielle Ordnung \(\le \) auf \(T\), so dass für alle \(x,y\in M\) gilt, dass \(x\le y\) oder \(y\le x\) ist.

    Ist \(M\) eine partiell geordnete Menge und \(T\subseteq M\) eine Teilmenge, derart dass die Einschränkung der auf \(M\) gegebenen Ordnung auf \(T\) eine totale Ordnung ist, so nennt man \(T\) eine Kette.

  5. Sei \(M\) eine partiell geordnete Menge und \(M^\prime \subseteq M\) eine Teilmenge. Eine obere Schranke von \(M^\prime \) in \(M\) ist ein Element \(m\in M\), so dass \(m^\prime \le m\) für alle \(m^\prime \in M^\prime \) gilt.

Ein typisches Beispiel für eine partiell geordnete Menge (die im Allgemeinen nicht total geordnet ist) ist die Potenzmenge einer Menge \(X\), also die Menge aller Teilmengen von \(X\), mit der Inklusion \(\subseteq \) von Teilmengen als Relation. Anstatt aller Teilmengen von \(X\) kann man natürlich auch jede Teilmenge der Potenzmenge mit dieser partiellen Ordnung versehen.

Ist \(M\) eine partiell geordnete Menge, so muss \(M\) weder ein maximales noch ein größtes Element besitzen. Wenn ein größtes Element existiert, so ist es eindeutig bestimmt, und ist dann insbesondere das einzige maximale Element. Ein maximales Element (wenn es existiert) ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Wenn es mehr als ein maximales Element gibt, so gibt es kein größtes Element.

Axiom 3.24 Lemma von Zorn

Jede nicht-leere partiell geordnete Menge, in der zu jeder total geordneten Teilmenge eine obere Schranke existiert, besitzt ein maximales Element.

Eine Menge, die die Voraussetzungen des Lemmas von Zorn erfüllt, nennt man manchmal auch eine induktiv geordnete Menge. Die Voraussetzung, dass die gegebene Menge nicht-leer sei, folgt automatisch aus den anderen Bedingungen, denn die leere Menge ist eine Kette und muss eine obere Schranke haben.

Beweis von Satz 3.22

Sei \(\mathscr M\) die Menge aller Ideale von \(R\), die von \(R\) verschieden sind und \(\mathfrak a\) enthalten. Weil \(\mathfrak a\in \mathscr M\) ist, ist \(\mathscr M\) nicht leer. Die Menge \(\mathscr M\) ist durch die Inklusion partiell geordnet, und ein maximales Element von \(\mathscr M\) ist gerade ein maximales Ideal von \(R\), das \(\mathfrak a\) enthält. Nach dem Lemma von Zorn genügt es nun, zu zeigen, dass jede Kette von Idealen in \(\mathscr M\) eine obere Schranke in \(\mathscr M\) besitzt.

Sei \(\mathscr T\subseteq \mathscr M\) eine total geordnete Teilmenge von \(\mathscr M\), mit anderen Worten eine Menge von echten Idealen von \(R\), die das Ideal \(\mathfrak a\) enthalten, und so dass für je zwei Ideale \(\mathfrak b, \mathfrak c\in \mathscr T\) gilt, dass \(\mathfrak b\subseteq \mathfrak c\) oder \(\mathfrak c\subseteq \mathfrak b\) ist. Insbesondere ist daher \(\mathfrak b\cup \mathfrak c\) ein Element von \(\mathscr T\) (weil es sich bei der Vereinigung einfach um \(\mathfrak b\) oder um \(\mathfrak c\) handelt).

Wir zeigen, dass \(\mathscr T\) eine obere Schranke in \(\mathscr M\) besitzt. Ist \(\mathscr T=\emptyset \), so ist \(\mathfrak a\) eine obere Schranke. Sonst definieren wir \(\mathfrak t\) als die Vereinigung von allen Idealen in \(\mathscr T\) und zeigen, dass \(\mathfrak t\) die gewünschte Eigenschaft hat.

Jedenfalls enthält die Menge \(\mathfrak t\) das Ideal \(\mathfrak a\). Um zu sehen, dass \(\mathfrak t\) ein Ideal ist, seien \(b,c\in \mathfrak t\). Dann liegen \(b\) und \(c\) in gewissen Elementen \(\mathfrak b,\mathfrak c\in \mathscr T\). Die Vereinigung \(\mathfrak b\cup \mathfrak c\) ist wie oben gezeigt ein Element von \(\mathscr T\) und damit eine Teilmenge von \(\mathfrak t\), die \(b\) und \(c\) und als Ideal auch die Summe \(b+c\) enthält. Dass für \(a\in \mathfrak t\) und \(x\in R\) auch \(xa\in \mathfrak t\) gilt, ist noch einfacher zu sehen.

Schließlich gilt \(\mathfrak t\ne R\). Denn sonst wäre \(1\in \mathfrak t\), aber dann wäre \(1\) schon in einem der Ideale aus \(\mathscr T\) enthalten, ein Widerspruch!

Bemerkung 3.25

Eine weitere typische Anwendung des Lemmas von Zorn ist der Satz, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Sei nämlich \(K\) ein Körper und \(V\) ein \(K\)-Vektorraum. Nach Definition ist eine Basis von \(V\) eine Teilmenge von \(V\), so dass sich jeder Vektor in \(V\) eindeutig als Linearkombination von Elementen dieser Teilmenge darstellen lässt. (Dabei sind Linearkombinationen immer endliche Summen.) Äquivalent ist, dass eine Basis eine maximale linear unabhängige Teilmenge von \(V\) ist. (Um diese Äquivalenz zu zeigen, wird nicht benötigt, dass \(V\) endlich erzeugt ist.)

Sei nun \(\mathscr M\) die Menge aller linear unabhängigen Teilmengen von \(V\), mit der Inklusion von Teilmengen als partieller Ordnung. Es gilt \(\emptyset \in \mathscr M\), und ist \(\mathscr T\) eine Kette in \(\mathscr M\), so ist die Vereinigung aller Elemente von \(\mathscr T\) eine linear unabhängige Teilmenge von \(V\) und damit eine obere Schranke von \(\mathscr T\) in \(\mathscr M\). Mit dem Lemma von Zorn folgt nun die Existenz einer maximalen linear unabhängigen Teilmenge in \(V\).

Man kann darüber hinaus zeigen, dass zu je zwei Basen \(\mathscr B, \mathscr B^\prime \subset V\) eine Bijektion \(\mathscr B\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}\mathscr B^\prime \) existiert. Das bedeutet, dass man (im Sinne der Kardinalität unendlicher Mengen) auch im allgemeinen Fall von der Dimension eines Vektorraums sprechen kann. Siehe Ergänzung LA1.6.48, [ Soe-AZT ]  5.3.

Ergänzung 3.26 Maximale echte Untergruppen von \(\mathbb Q\)

Dass hier verschiedene Existenzaussagen (eines maximalen Ideals, einer Basis) mit dem Lemma von Zorn auf eine Art und Weise bewiesen werden, die (fast) rein formal aussieht, sollte nicht zu dem Irrglauben verleiten, dass ein »maximales Objekt« immer existiert.

Zum Beispiel existiert keine maximale echte Untergruppe der additiven Gruppe \(\mathbb Q\). (Das ist nicht ganz offensichtlich, aber auch nicht sehr schwer zu beweisen.)

Was ist an dem folgenden »Beweis« nicht korrekt?

Sei \(\mathscr M\) die Menge aller echten Untergruppen von \(\mathbb Q\). Offenbar ist \(\mathscr M\) nicht leer. Für eine durch die Inklusion total geordnete nicht-leere Teilmenge \(\mathscr T\subseteq \mathscr M\) ist die Vereinigung aller Elemente von \(\mathscr T\) wieder eine Untergruppe von \(\mathbb Q\), also eine obere Schranke von \(\mathscr T\). Nach dem Lemma von Zorn besitzt \(\mathscr M\) ein maximales Element.

Ergänzung 3.27 Konstruktion der reellen Zahlen

Sei \(\mathbb Q^\mathbb N= \prod _{i\in \mathbb N}\mathbb Q\), verstanden als Ring mit komponentenweiser Addition und Multiplikation. Wir betrachten die Elemente dieses Rings als Folgen (im Sinne der Analysis) von rationalen Zahlen. Sei \(R\subset \mathbb Q^\mathbb N\) der Unterring aller Cauchy-Folgen. Dann ist die Teilmenge \(\mathfrak n\) aller Nullfolgen ein Ideal in \(R\), und zwar sogar ein maximales Ideal. Die Abbildung

\[ R/\mathfrak n\to \mathbb R,\quad (a_n)_n \mapsto \lim _{n\to \infty } a_n, \]

die (die Restklasse) einer Cauchy-Folge auf ihren Grenzwert abbildet, ist ein Isomorphismus.

Diese Überlegung kann man benutzen, um die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen zu konstruieren, also die Existenz eines Körpers zu beweisen, der die »üblichen Eigenschaften« des Körpers \(\mathbb R\) hat (also formaler ausgedrückt: ein System von Axiomen erfüllt, die den Körper \(\mathbb R\) eindeutig charakterisieren). Dazu muss man »direkt nachrechnen«, dass \(R/\mathfrak n\) tatsächlich diese Eigenschaften hat.

In Abschnitt LA2.18.8.3 finden Sie etwas mehr Details.