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15.5 Der Quotientenkörper eines Integritätsrings

Wir wollen in diesem Abschnitt zu einem Integritätsring \(R\) einen Körper \(K\) konstruieren, der \(R\) als Unterring enthält. Unser Modell dafür ist der Fall der ganzen Zahlen \(\mathbb Z\), die als Unterring im Körper \(\mathbb Q\) der rationalen Zahlen enthalten sind. Im allgemeinen Fall imitieren wir die Konstruktion der Bruchzahlen aus ganzen Zahlen.

Ein unmittelbarer Nutzen dieser Konstruktion wird für uns sein, dass wir den Begriff der Determinante auch für Matrizen über (Integritäts-)Ringen einführen können (Abschnitt 15.6) und einige der Ergebnisse der Theorie über Körpern auf den Fall von Ringen übertragen können. Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden wir dann Determinanten von Matrizen benutzen, deren Einträge in einem Polynomring liegen, um das »charakteristische Polynom« einer Matrix zu definieren (Kapitel 16).

Wir beginnen damit, den Begriff der Äquivalenzrelation einzuführen, der in dieser Vorlesung noch an mehreren Stellen eine Rolle spielen wird. Siehe auch Abschnitt I.3.14.2, Definition I.3.67, wo dieser Begriff schon im Rahmen der Ergänzungen vorgestellt wurde.

Definition 15.64

Sei \(M\) eine Menge.

  1. Eine Relation auf \(M\) ist eine Teilmenge \(\mathcal R\subseteq M\times M\). (Elemente \(x,y\in M\) »stehen in der gegebenen Relation zueinander«, wenn \((x,y)\in \mathcal R\) gilt.)

  2. Eine Relation \(\mathcal R\) auf \(M\) heißt Äquivalenzrelation, wenn gilt

    1. (Reflexivität) Für alle \(x\in M\) ist \((x,x)\in \mathcal R\).

    2. (Symmetrie) Für alle \(x, y\in M\) ist \((x,y)\in \mathcal R\) genau dann, wenn \((y,x)\in \mathcal R\).

    3. (Transitivität) Für alle \(x,y,z \in M\) mit \((x,y)\in \mathcal R\), \((y,z)\in \mathcal R\) gilt \((x,z)\in \mathcal R\).

Äquivalenzrelationen bezeichnet man oft mit dem Symbol \(\sim \), d.h. man schreibt dann \(x\sim y\) statt \((x,y)\in \mathcal R\). Aber auch die Symbole \(=\), \(\ne \), \(\equiv \), \( {\lt} \), \(\le \), \(\, |\, \) bezeichnen Relationen. Welche davon sind Äquivalenzrelationen?

Definition 15.65

Sei \(\sim \) eine Äquivalenzrelation auf \(M\). Die Teilmengen von \(M\) der Form \([m] := \{ m’\in M;\ m’\sim m \} \) für ein \(m\in M\) heißen die Äquivalenzklassen bezüglich \(\mathcal R\).

Die Menge aller Äquivalenzklassen bezeichnen wir mit \(M/\! \! \sim \).

Zwei Äquivalenzklassen in \(M\) sind entweder disjunkt oder gleich. (Warum?)

Beispiel 15.66

Beispiele für Äquivalenzrelationen.

  1. Sei \(X\) eine Menge. Die Gleichheit von Elementen auf \(X\) definiert eine Äquivalenzrelation. Jede Äquivalenzklasse besteht aus genau einem Element von \(X\).

  2. Sei \(R\) ein Integritätsring. Die Relation, dass zwei Elemente aus \(R\) zueinander assoziiert sind (Definition 15.33), ist eine Äquivalenzrelation. Siehe auch Bemerkung 15.54. Dort wird – mit der nun neu eingeführten Terminologie – aus jeder der Äquivalenzklassen bezüglich dieser Äquivalenzrelation genau ein Element ausgewählt. Man spricht auch von einem Vertretersystem der Äquivalenzklassen.

  3. Sei \(n {\gt} 0\) eine natürliche Zahl. Kongruenz modulo \(n\) ist eine Äquivalenzrelation. Die Menge der Äquivalenzklassen ist die zugrundeliegende Menge des Restklassenrings \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\). Siehe Beispiel I.3.70 und Beispiel I.3.73.

Überlegen Sie sich auch Beispiele für Relationen auf einer Menge \(X\) (also Teilmengen von \(X\times X\)), die keine Äquivalenzrelationen sind. Können Sie jeweils ein Beispiel finden, das genau eine der drei Bedingungen reflexiv, symmetrisch, transitiv nicht erfüllt?

Sei \(R\) ein Integritätsring, und \(M = R \times (R\setminus \{ 0\} )\). Wenn Sie Schwierigkeiten haben, der folgenden Diskussion zu folgen, dann sollten Sie zuerst alles im speziellen Fall \(R=\mathbb Z\) durchgehen und dabei im Hinterkopf behalten, dass das Ziel ist, den Körper \(\mathbb Q\) zu konstruieren.

Wir betrachten die folgende Äquivalenzrelation auf \(M\):

\[ (a,b) \sim (c,d) \quad \Leftrightarrow \quad ad = bc. \]

Siehe auch Beispiel I.3.72.

Es ist nicht schwer zu überprüfen, dass es sich hier tatsächlich um eine Äquivalenzrelation handelt. Reflexivität und Symmetrie sind offensichtlich. Für die Transitivität seien Paare mit \((a,b) \sim (c,d)\) und \((c,d)\sim (e,f)\) gegeben. Es folgt

\[ adf = bcf = bde,\quad \text{also}\ d(af-be) = 0 \]

und weil \(d\ne 0\) und \(R\) ein \(R\) ein Integritätsring ist, dass \(af-be = 0\). Das bedeutet genau, dass \((a,b)\sim (e,f)\) gilt.

Satz 15.67

Sei \(K:= M/\! \! \sim \) die Menge der Äquivalenzklassen. Wir schreiben \(\frac ab\) für die Äquivalenzklasse eines Elementes \((a,b)\in M\). Es gilt dann also

\[ \frac ab = \frac cd \quad \Leftrightarrow \quad ad = bc. \]

Dann ist \(K\) mit der Addition

\[ \frac ab + \frac cd = \frac{ad + bc}{bd} \]

und der Multiplikation

\[ \frac ab\cdot \frac cd = \frac{ac}{bd} \]

ein Körper, der sogenannte Quotientenkörper von \(R\), den wir auch mit \(\operatorname{Quot}(R)\) bezeichnen.

Die Abbildung \(R\rightarrow K\), \(a\mapsto \frac a1\) ist ein injektiver Ringhomomorphismus. Man schreibt oft \(a\) statt \(\frac a1\) und fasst \(R\) als Teilmenge von \(K\) auf.

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für den Quotientenkörper eines Integritätsrings \(R\) ist \(\operatorname{Frac}(R)\) (als Abkürzung für die englische Bezeichnung »field of fractions«).

Beweis

Zunächst ist nachzuprüfen, dass die angegebenen Vorschriften überhaupt Abbildungen definieren, dass sie also wohldefiniert sind. Denn wir haben dabei jeweils Repräsentanten der Äquivalenzklassen benutzt, und müssen begründen, dass eine andere Wahl von Repräsentanten derselben Äquivalenzklassen dasselbe Ergebnis liefern.

Seien also \(\frac ab = \frac{a^\prime }{b^\prime }\) und \(\frac cd = \frac{c^\prime }{d^\prime }\). Dann gilt \(ab^{\prime } = a^{\prime }b\) und \(cd^{\prime } = c^{\prime }d\) und daher

\[ \frac{ad + bc}{bd} = \frac{ad b^{\prime }d^{\prime }+ bcb^{\prime }d^{\prime }}{bdb^{\prime }d^{\prime }} = \frac{a^\prime d^\prime + b^\prime c^\prime }{b^\prime d^\prime } \]

und

\[ \frac{ac}{bd} = \frac{a^{\prime }c^{\prime }}{b^{\prime }d^{\prime }} \]

Wir erhalten also tatsächlich Abbildungen \(+\) und \(\cdot \) von \(K\times K\) nach \(K\).

Die Körperaxiome sind leicht nachzurechnen, die Rechnungen laufen genauso ab, wie man die Körperaxiome für den Körper \(\mathbb Q\) aus den entsprechenden Rechenregeln für ganze Zahlen beweisen würde. Wir behandeln daher nur beispielhaft einige der Axiome.

Für das Assoziativgesetz der Addition rechnen wir

\[ \left(\frac ab + \frac cd\right) + \frac ef = \frac{ad+bc}{bd} + \frac ef = \frac{(ad+bc)f + bde}{bdf} = \frac{adf+bcf+bde}{bdf} = \frac ab + \left(\frac cd + \frac ef\right). \]

Das neutrale Element der Addition ist \(\frac01\), das Negative von \(\frac ab\) ist \(\frac{-a}{b}\), denn

\[ \frac ab + \frac{-a}{b} = \frac{ab-ba}{b^2} = \frac01. \]

Das Assoziativgesetz der Multiplikation ist leicht einzusehen. Das neutrale Element der Multiplikation ist \(\frac11\). Ein Element \(\frac ab\) mit \(a\in R\), \(b\in R\setminus \{ 0\} \) ist genau dann gleich dem Nullelement \(\frac01\), wenn \(a=0\) ist. Für \(a,b\in R\setminus \{ 0\} \) ist \(\frac ba\) das multiplikative Inverse von \(\frac ab\). Das Distributivgesetz zu überprüfen, lassen wir als Übungsaufgabe.

Es bleibt nun noch, die Abbildung \(\iota \colon R\to K\), \(a\mapsto \frac a1\) anzuschauen. Weil

\[ \iota (a+b) = \frac{a+b}{1} = \frac{a\cdot 1 + 1\cdot b}{1} = \frac a1 + \frac b1 = \iota (a)+\iota (b) \]

und

\[ \iota (ab) = \frac{ab}{1} = \iota (a)\iota (b) \]

und offensichtlich \(\iota (1) = \frac11 = 1_K\) gilt, handelt es sich um einen Ringhomomorphismus. Gilt \(\frac a1 = \frac b1\), so folgt \(a\cdot 1 = 1\cdot b\), also \(a=b\), mithin ist \(\iota \) injektiv.

Der Satz zeigt, dass für jeden Integritätsring \(R\) ein injektiver Ringhomomorphismus von \(R\) in einen Körper existiert. Ist \(R\) ein Ring, der kein Integritätsring ist, kann es einen injektiven Ringhomomorphismus von \(R\) in einen Körper offenbar nicht geben.

Die zu Beginn des Beweises diskutierte Wohldefiniertheit ist eine konzeptionelle Schwierigkeit, die mit dem Begriff der Äquivalenzrelation verbunden ist. Machen Sie sich die Problematik daran bewusst, dass zum Beispiel die Vorschrift \(\left(\frac ab, \frac cd \right)\mapsto \frac{a+c}{1}\) für rationale Zahlen \(\frac ab, \frac cd\in \mathbb Q\) nicht wohldefiniert ist – sie definiert keine Abbildung \(\mathbb Q\times \mathbb Q\to \mathbb Q\). Suchen Sie andere Beispiele von wohldefinierten/nicht wohldefinierten Zuordnungsvorschriften.

Die ganzen Zahlen hat Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.

L. Kronecker

Beispiel 15.68

Der Quotientenkörper von \(\mathbb Z\) ist der Körper \(\mathbb Q\) der rationalen Zahlen. Hierzu ist nicht viel zu sagen, denn wir haben ja die allgemeine Konstruktion des Quotientenkörpers genau an die Regeln der üblichen Bruchrechnung angelehnt.

Beispiel 15.69

Sei \(K\) ein Körper. Der Polynomring \(K[X]\) ist, wie wir in Korollar 15.31 gesehen haben, ein Integritätsring. Sein Quotientenkörper wird mit \(K(X)\) bezeichnet und heißt der Körper der rationalen Funktionen über \(K\) (in einer Unbestimmten).

Seine Elemente sind Brüche der Form \(\frac fg\), wobei \(f\) und \(g\) Polynome in \(K[X]\) sind, und \(g\ne 0\) gilt. Auch wenn \(g\) nicht das Nullpolynom sein darf, kann \(g\) natürlich Nullstellen in \(K\) haben. Ein Element von \(K(X)\) definiert daher im allgemeinen nicht durch Einsetzen von Elementen aus \(K\) eine Abbildung \(K\to K\). Die Nullstellen von \(g\) sind sozusagen Polstellen, die man aus \(K\) herausnehmen müsste, um den Definitionsbereich einer solchen Abbildung zu erhalten.

Bemerkung 15.70

Sei \(R\) ein faktorieller Ring und \(K\) der Quotientenkörper von \(R\). In Bemerkung 15.54 hatten wir die Primfaktorzerlegung eines Elements \(a\in R\setminus \{ 0\} \) in der Form

\[ a = u \prod _{p\in P} p^{v_p(a)} \]

geschrieben, wobei wir ein Vertretersystem \(P\) der Primelemente in \(R\) bis auf Assoziiertheit gewählt hatten, und die \(v_p(a)\) natürliche Zahlen sind, von denen für gegebenes \(a\) höchstens endlich viele von Null verschieden sind, und wo \(u\in R^\times \) eine Einheit von \(R\) ist.

Das können wir nun auf Elemente von \(K^\times \) ausdehnen. Für \(a\in K^\times \) erhalten wir eine (eindeutig bestimmte) Zerlegung

\[ a = u \prod _{p\in P} p^{v_p(a)} \]

wo nun die \(v_p(a) \in \mathbb Z\) ganze Zahlen sind (von denen wieder alle bis auf endlich viele verschwinden) und wieder \(u\in R^\times \) ist.