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18.4 Quotienten von Ringen nach Idealen

In der Liste von Quotientenkonstruktionen, die wir in dieser Vorlesung behandeln wollen, fehlt nun noch der Quotient eines Rings. Im Fall von Ringen betrachten wir den Quotient nach einem Ideal (denn Kerne von Ringhomomorphismen sind Ideale, und wir werden unten sehen, dass die Idealeigenschaft genau die benötigte Eigenschaft ist, die sicherstellt, dass die gewünschten Rechenoperationen auf der Menge der Äquivalenzklassen wohldefiniert sind). Wir werden im weiteren Verlauf nur Quotienten von kommutativen Ringen betrachten; Sie können sich also auf diesen Fall beschränken, allerdings spielt die Kommutativität bei der Konstruktion nirgends eine Rolle – es ist nur wichtig, dass für ein Ideal \(\mathfrak a\) eines Rings \(R\) für alle \(x\in R\) und \(a\in \mathfrak a\) sowohl \(xa\) also auch \(ax\) wieder in \(R\) liegen.

Sei also \(R\) ein Ring und \(\mathfrak a\subseteq R\) ein Ideal. Insbesondere ist dann \(R\) eine kommutative Gruppe (bezüglich der Addition) und \(\mathfrak a\subseteq R\) eine Untergruppe, wir haben also schon den Gruppenquotienten \(\left.R\middle /\mathfrak a\right.\), wie wir ihn ihm vorherigen Abschnitt konstruiert haben. Dabei ist \(\left.R\middle /\mathfrak a\right.\) die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich der durch

\[ x\sim y \quad :\Leftrightarrow \quad x-y\in \mathfrak a \]

gegebenen Äquivalenzrelation auf \(R\). Mit der Addition und der durch

\[ (x+\mathfrak a)\cdot (y+\mathfrak a):=(xy)+\mathfrak a,\qquad x,y\in R \]

gegebenen Multiplikation ist \(R\) ein Ring mit Einselement \(1+\mathfrak a\). Er wird als Restklassenring oder Quotient von \(R\) modulo \(\mathfrak a\) bezeichnet.

Dass die Multiplikation wohldefiniert ist, folgt aus einer einfachen Rechnung: Für \(x\sim x^\prime \), \(y\sim y^\prime \), also \(x-x^\prime , y-y^\prime \in \mathfrak a\) ist

\[ xy-x^\prime y^\prime = xy - xy^\prime + xy^\prime - x^\prime y^\prime = x(y-y^\prime ) + (x-x^\prime )y^\prime \in \mathfrak a, \]

also \(xy+\mathfrak a = x^\prime y^\prime +\mathfrak a\).

Die Abbildung \(x\mapsto x+\mathfrak a\) ist ein surjektiver Ringhomomorphismus mit Kern \(\mathfrak a\). Wenn \(R\) ein kommutativer Ring ist, dann ist auch \(\left.R\middle /\mathfrak a\right.\) ein kommutativer Ring. Das Bild \(\pi (x)\) eines Elements \(x\in R\) unter der kanonischen Projektion nennt man auch die Restklasse des Elements \(x\) im Quotienten \(\left.R\middle /\mathfrak a\right.\).

Beispiel 18.30

\(R=\mathbb Z\) der Ring der ganzen Zahlen, \(n\in \mathbb Z\). Der Quotient \(\left.\mathbb Z\middle /(n)\right. = \left.\mathbb Z\middle /n\right.\) von \(\mathbb Z\) nach dem Ideal \((n)\) ist der Restklassenring modulo \(n\), den wir bereits kennen (Abschnitt I.4.2.1).

Genau wie für Vektorräume und Gruppen beweist man den Homomorphiesatz.

Satz 18.31
  1. (Universelle Eigenschaft des Quotienten) Sei \(T\) ein Ring und \(p\colon R\rightarrow T\) ein Ringhomomorphismus mit \(\mathfrak a\subseteq \operatorname{Ker}p\). Dann existiert ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus \(f\colon \left.R\middle /\mathfrak a\right.\rightarrow T\) mit \(f\circ \pi = p\).

  2. (Homomorphiesatz) Sei \(T\) ein Ring und sei \(p\colon R\rightarrow T\) ein Ringhomomorphismus. Es existiert genau dann ein Ringhomomorphismus \(f\colon \left.R\middle /\mathfrak a\right.\rightarrow T\) mit \(f\circ \pi = p\), wenn \(\mathfrak a\subseteq \operatorname{Ker}p\). In diesem Fall ist \(f\) eindeutig bestimmt und es gilt: \(\operatorname{Im}f = \operatorname{Im}p\). Die Abbildung \(f\) ist genau dann injektiv wenn \(\mathfrak a=\operatorname{Ker}p\) gilt.

Beispiel 18.32
  1. Der Einsetzungshomomorphismus \(\Phi \colon \mathbb R[X]\to \mathbb C\), \(X\mapsto i\), ist offenbar surjektiv. Das Polynom \(X^2+1\) liegt im Kern dieses Homomorphismus, und da es irreduzibel ist (und der Kern sicher nicht ganz \(\mathbb R[X]\) ist), folgt \(\operatorname{Ker}(\Phi )=(X^2+1)\). Aus dem Homomorphiesatz erhalten wir so einen Isomorphismus

    \[ \left.\mathbb R[X]\middle /(X^2+1)\right. \cong \mathbb C \]

    von Ringen (genauer: von Körpern). Dies ist eine neue Möglichkeit, den Körper der komplexen Zahlen zu konstruieren.

  2. In ähnlicher Weise wie in (1) kann man zeigen, dass der Restklassenring \(\left.\mathbb Q[X]\middle /(X^2-2)\right.\) isomorph ist zum Körper

    \[ \mathbb Q[\sqrt{2}] = \{ a+b\sqrt{2};\ a,b\in \mathbb Q\} . \]
  3. Der Quotientenring \(\left.\mathbb F_2[X]\middle /(X^2+X+1)\right.\) hat genau \(4\) Elemente,

    \[ \left.\mathbb F_2[X]\middle /(X^2+X+1)\right. = \{ 0, 1, \overline{X}, \overline{X}+1\} , \]

    wobei \(\overline{X}\) die Restklasse von \(X\) bezeichne. Es ist nicht schwer nachzurechnen, dass es sich um einen Körper handelt. Siehe auch Ergänzungsabschnitt 18.8.2.

Die Konstruktion in den obigen Beispielen wird in der Vorlesung Algebra noch wesentlich genauer unter die Lupe genommen. Der wichtigste Inhalt der Vorlesung ist die Untersuchung von »Körpererweiterungen«, d.h. der Situation, dass man einen Körper \(L\) und einen Teilkörper \(K\) gegeben hat.

Die Grundidee aus Beispiel 18.32 kann man benutzen, dass zu jedem Polynom \(f\) mit Koeffizienten in einem Körper \(K\) ein Erweiterungskörper \(L\) existiert, in dem \(f\) eine Nullstelle besitzt. Mit etwas mehr Arbeit kann man folgern, dass jeder Körper ein Teilkörper eines algebraisch abgeschlossenen Teilkörpers ist.

Die Theorie der Körpererweiterungen, und insbesondere die sogenannte Galois-Theorie (nach Évariste Galois, 1811–1832), kann auch dazu benutzt werden, einige klassische Probleme zu verstehen:

  • Für Polynome in \(\mathbb Q[X]\) vom Grad \(\ge 5\) gibt es für die Nullstellen keine allgemeine Formel (also keine Formel, wie Sie sie für die Lösung von quadratischen Gleichungen kennen, und wie sie auch für Polynome vom Grad \(3\) und \(4\) existiert). Mehr noch: Man kann konkret Polynome in \(\mathbb Q[X]\) vom Grad \(5\) (und jedes höheren Grades) angeben, deren Nullstellen sich nicht durch die Rechenoperationen \(+\), \(-\), \(\cdot \), \(/\) und \(\sqrt[n]{\phantom{-}}\) ausdrücken lassen.

  • Zusammen mit dem Satz von Lindemann (dass die Zahl \(\pi \) »transzendent« ist, dass also kein Polynom in \(\mathbb Q[X]\setminus \{ 0\} \) die Zahl \(\pi \) als Nullstelle hat) erhält man einen Beweis, dass die Quadratur des Kreises, also die Konstruktion eines zum Einheitskreis flächengleichen Quadrats nur mit Zirkel und Lineal, ausgehend von den Punkten \(0\) und \(1\) der komplexen Zahlenebene, unmöglich ist.

Beispiel 18.33

Seien \(K\) ein Körper, \(V\) eine endlichdimensionaler \(K\)-Vektorraum und \(f\colon V\to V\) ein Endomorphismus von \(V\). Sei \(\Phi \colon K[X]\to K[f]\subseteq \operatorname{End}_K(V)\) der Einsetzungshomomorphismus \(X\mapsto f\). Nach Definition gilt \(\operatorname{Im}(\Phi ) = K[f]\) und \(\operatorname{Ker}(f) = (\operatorname{minpol}_f)\). Wir erhalten so aus dem Homomorphiesatz einen Isomorphismus

\[ K[f] \cong \left.K[X]\middle /(\operatorname{minpol}_f)\right.. \]

Ergänzung 18.34

Sei \(K\) ein Körper und sei \(\varphi \colon \mathbb Z\to K\) der eindeutig bestimmte Ringhomomorphismus von \(\mathbb Z\) nach \(K\) (Beispiel 15.6). Sei \(\mathfrak p\) der Kern von \(\varphi \). Nach dem Homomorphiesatz faktorisiert \(\varphi \) über einen injektiven Ringhomomorphismus

\[ \left.\mathbb Z\middle /\mathfrak p\right. \to K. \]

Weil \(\mathbb Z/\mathfrak p\) dann mit einem Unterring von \(K\) identifiziert werden kann, handelt es sich hierbei um einen Integritätsring. Deswegen ist entweder \(\mathfrak p = 0\), oder \(\mathfrak p\) ist das von einer Primzahl \(p\) erzeugte Ideal. Der Homomorphismus \(\varphi \) ist genau dann injektiv, wenn \(\mathfrak p\) das Nullideal ist. Das ist dazu äquivalent, dass \(K\) Charakteristik \(0\) hat (Abschnitt I.4.2.2).

Wenn \(\mathfrak p = (p)\) ist für eine Primzahl \(p\), dann hat \(K\) die Charakteristik \(p\), und \(\left.\mathbb Z\middle /\mathfrak p\right.=\mathbb F_p\) ist ein Teilkörper von \(K\). Wir erhalten damit einen neuen Beweis von Satz I.4.19.

Ergänzung 18.35

Mit der Quotientenkonstruktion können wir den chinesischen Restsatz (Satz 15.61) folgendermaßen umformulieren.

Satz 18.36

Seien \(R\) ein Ring und \(a_1, \dots , a_r\in R\), so dass \((a_i, a_j) = R\) für alle \(i\ne j\). Sei \(a = a_1\cdot \cdots \cdot a_r\). Dann ist der natürliche Ringhomomorphismus

\[ R\to \left.R\middle /(a_1)\right.\times \cdots \times \left.R\middle /(a_r)\right.,\quad x\mapsto (\overline{x}, \dots , \overline{x}), \]

wobei \(\overline{x}\) die Restklasse von \(x\) im jeweiligen Quotienten bezeichne, surjektiv mit Kern \((a)\) und induziert folglich einen Isomorphismus

\[ \left.R\middle /(a)\right.\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}\left.R\middle /(a_1)\right.\times \cdots \times \left.R\middle /(a_r)\right.. \]

Beweis

Die Surjektivität folgt direkt aus dem chinesischen Restsatz in der ursprünglichen Form, ebenso (aus der Eindeutigkeitsaussage bis auf Vielfache von \(a\)) die Aussage über den Kern. Wir müssen dann nur noch den Homomorphiesatz anwenden, um den Beweis abzuschließen.

Siehe auch Satz 18.136.