2.2 Der Quotient nach einem Normalteiler
2.2.1 Nebenklassen und der Satz von Lagrange
Sei \(G\) eine Gruppe und \(H\subseteq G\) eine Untergruppe. Die Teilmengen von \(G\) der Form
nennen wir die Linksnebenklassen von \(H\) in \(G\). Es handelt sich um die Äquivalenzklassen bezüglich der durch
gegebenen Äquivalenzrelation. Wir schreiben \(G/H\) für die Menge aller Linksnebenklassen von \(H\) in \(G\) und nennen \(gH\) die (Links-)Nebenklasse oder Restklasse von \(g\).
Für \(g\in G\) ist die Multiplikation mit \(g\) eine Bijektion \(H\to gH\). Im Fall einer endlichen Gruppe ergibt sich daraus der folgende Satz.
Sei \(G\) eine endliche Gruppe und \(H\subseteq G\) eine Untergruppe. Dann gilt
In diesem Zusammenhang definieren wir die folgenden Begriffe.
Sei \(G\) eine (endliche) Gruppe. Die Anzahl \(\# G\) der Elemente von \(G\) nennt man auch die Ordnung von \(G\). (Manchmal schreibt man \(\operatorname{ord}(G) = \# G\).) Ist \(G\) nicht endlich, so ist die Ordnung von \(G\) unendlich (in Zeichen: \(\infty \)).
Sei \(G\) eine Gruppe und \(H\) eine Untergruppe. Die Anzahl der Elemente von \(G/H\) (in \(\mathbb N_{{\gt} 0}\cup \{ \infty \} \)) nennt man auch den Index der Untergruppe \(H\) in \(G\). Wir schreiben auch \([G:H] =\# G/H\).
Analog kann man auch Rechtsnebenklassen, also Teilmengen der Form \(Hg\) betrachten. Wir bezeichnen mit \(H\backslash G\) die Menge der Rechtsnebenklassen. Die Abbildung \(gH\mapsto Hg^{-1}\) ist eine Bijektion \(G/H\to H\backslash G\), insbesondere haben diese beiden Mengen dieselbe Mächtigkeit (so dass man den Index auch als die Anzahl der Rechtsnebenklassen definieren könnte). (Warum ist die Abbildung \(gH\mapsto Hg^{-1}\) wohldefiniert und bijektiv? Wie ist es mit \(gH\mapsto Hg\)?)
Sei \(G\) eine Gruppe und \(g\in G\). Dann gilt
Es gilt \(\langle g\rangle = \{ g^i;\ i\in \mathbb Z\} \), denn die rechte Seite ist die kleinste Untergruppe von \(G\), die \(g\) enthält. Wenn \(\operatorname{ord}(g)\) unendlich ist, dann sind die Elemente \(g^i\), \(i\in \mathbb Z\) alle verschieden; denn aus \(g^i=g^j\) folgt \(g^{i-j} = 1\).
Sei nun \(m = \operatorname{ord}(g)\) endlich. Es gilt also \(g^m = 1\) und \(g^{d}\ne 1\) für alle \(1\le d {\lt} m\). Es folgt \(g^{m-1} = g^{-1}\), und dass \(\{ 1, g, \dots , g^{m-1}\} \) eine Untergruppe von \(G\) mit \(m\) Elementen ist. Keine echte Teilmenge dieser Menge ist eine Untergruppe, die \(g\) enthält, deshalb ist \(\langle g\rangle = \{ 1,g, \dots , g^{m-1}\} \) und \(\# \langle g\rangle = m = \operatorname{ord}(g)\).
Aus dem Satz von Lagrange folgt damit:
Sei \(G\) eine endliche Gruppe und \(g\in G\). Dann gilt \(\operatorname{ord}(g)\, |\, \# G\).
Insbesondere gilt \(g^{\operatorname{ord}(g)} = 1\).
Geben Sie ein Beispiel einer Gruppe \(G\) und eines Teilers der Gruppenordnung \(\# G\), der nicht die Ordnung eines Gruppenelements ist. Immerhin gilt aber Lemma 2.23, siehe auch Ergänzung 2.83.
2.2.2 Normalteiler und der Quotient nach einem Normalteiler
Schon in der Linearen Algebra haben wir gelernt (Abschnitt LA2.18.3), dass nicht jede Untergruppe einer Gruppe der Kern irgendeines Gruppenhomomorphismus sein muss, und man demzufolge auch nicht den Quotienten nach beliebigen Untergruppen bilden kann, sondern nur nach sogenannten Normalteilern. Wir beginnen mit der Wiederholung der Definition dieses Begriffs.
Wir sammeln einige einfache Aussagen, die wir benutzen werden und in der Linearen Algebra noch nicht bewiesen haben. Wir schreiben für \(g, g' \in G\) und eine Untergruppe \(H\) analog zur Nebenklassenschreibweise auch
und speziell
Für jede Untergruppe \(H\) ist die Menge \(gHg^{-1}\) ebenfalls eine Untergruppe von \(G\), die wir eine zu \(H\) konjugierte Untergruppe nennen. Sie ist das Bild unter der Konjugation mit \(g\), d.h. unter dem Gruppenisomorphismus \(G\to G\), \(x\mapsto gxg^{-1}\). Siehe auch Beispiel 2.30.
Ist \(G\) eine abelsche Gruppe, dann ist jede Untergruppe von \(G\) ein Normalteiler. In jeder Gruppe \(G\) sind \(\{ 1\} \) und \(G\) Normalteiler. Sind \(G\) und \(H\) Gruppen, so ist \(G \times \{ 1\} \subseteq G\times H\) ein Normalteiler, und ebenso natürlich \(\{ 1\} \times H\subseteq G\times H\); entsprechendes gilt für beliebige Produkte von Gruppen. Die Untergruppe \(\{ \operatorname{id}, (12)\} \subseteq S_3\) ist (warum?) kein Normalteiler. Ist \(H\subseteq G\) der Kern irgendeines Gruppenhomomorphismus \(G\to G'\), so ist \(H\) ein Normalteiler von \(G\) (wie aus Teil (2) des folgenden Lemmas folgt).
Seien \(G\) eine Gruppe und \(H\) eine Untergruppe.
Wenn \(gH\subseteq Hg\) für alle \(g\in G\) gilt, dann ist \(H\) ein Normalteiler.
Wenn \(gHg^{-1}\subseteq H\) für alle \(g\in G\) gilt, dann ist \(H\) ein Normalteiler.
Wenn \(H\subseteq gHg^{-1}\) für alle \(g\in G\) gilt, dann ist \(H\) ein Normalteiler.
Das Bild eines Normalteilers unter einem surjektiven Gruppenhomomorphismus ist ein Normalteiler.
Das Urbild eines Normalteilers unter einem Gruppenhomomorphismus ist ein Normalteiler.
Ist \(\pi \colon G\to G'\) ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, dann sind die beiden Abbildungen \(H\mapsto \pi (H)\) und \(H'\mapsto \pi ^{-1}(H')\) zueinander invers und induzieren eine inklusionserhaltende Bijektion zwischen der Menge der Normalteiler von \(G\), die \(\operatorname{Ker}(\pi )\) enthalten und der Menge der Normalteiler von \(G'\).
Die Bijektion in (6) nennen wir inklusionserhaltend weil für \(H_1, H_2\subseteq G\) genau dann \(H\subseteq H'\) gilt, wenn \(\pi (H_1)\subseteq \pi (H_2)\) gilt.
Zu Teil (1): Es gelte \(gH\subseteq Hg\) für alle \(g\in G\). Wir müssen zeigen, dass stets auch die umgekehrte Inklusion gilt. Wenn wir die ursprüngliche Aussage auf \(g^{-1}\) anwenden, erhalten wir \(g^{-1} H \subseteq Hg^{-1}\), und das impliziert, wenn wir »von links und rechts mit \(g\) multiplizieren«, dass \(Hg \subseteq gH\) gilt, wie gewünscht.
Teile (2) und (3) kann man mit demselben Argument beweisen. Man beachte dazu, dass \(gH \subseteq Hg\) äquivalent ist zu \(gHg^{-1} \subseteq H\) und zu \(H\subseteq g^{-1} Hg\), und entsprechend natürlich für die Gleichheit von Mengen anstelle der Inklusion.
Teile (4) und (5) sind nicht sehr schwierig; wir lassen den Beweis als Übung. Teil (6) folgt dann leicht aus (4) und (5).
Seien \(G\) eine Gruppe und \(H\subseteq G\) ein Normalteiler. Dann ist die Abbildung
wohldefiniert und definiert auf \(G/H\) die Struktur einer Gruppe, die wir den Quotienten der Gruppe \(G\) nach dem Normalteiler \(H\) nennen.
Die Abbildung \(\pi \colon G\to G/H\), \(g\mapsto gH\), ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit \(\operatorname{Ker}(\pi )=H\), den wir die kanonische Projektion nennen.
Siehe auch Abschnitt LA2.18.3. Die folgenden beiden Lemmata geben noch einmal eine etwas andere Interpretation der Quotientenkonstruktion (und des Normalteilerbegriffs).
Sei \(G\) eine Gruppe, \(X\) eine Menge und \(f\colon G\to X\) eine surjektive Abbildung. Dann gibt es höchstens eine Verknüpfung \(X\times X\to X\), die auf \(X\) die Struktur einer Gruppe definiert und so dass \(f\) ein Gruppenhomomorphismus ist.
Das ist klar, denn es muss \(f(g)\cdot f(h) = f(gh)\) für alle \(g,h\in G\) gelten, und wegen der Surjektivität von \(f\) hat jedes Element von \(X\) die Form \(f(g)\) für ein geeignetes \(g\in G\).
Sei \(G\) eine Gruppe, \(H\subseteq G\) eine Untergruppe und \(\pi \colon G\to G/H\) die (surjektive) Abbildung, die jedem \(g\in G\) seine Nebenklasse \(gH\) zuordnet.
Es gibt genau dann eine Gruppenstruktur auf \(G/H\), so dass \(\pi \) ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn \(H\) ein Normalteiler in \(G\) ist (und diese ist nach dem vorherigen Lemma eindeutig bestimmt).
Dass für einen Normalteiler \(H\) eine Gruppenstruktur auf \(G/H\) existiert, zeigt man durch eine leichte Rechnung (die wir in der Linearen Algebra 2 durchgeführt haben). Wenn andererseits eine Gruppenstruktur existiert, für die \(\pi \) ein Homomorphismus ist, so sieht man leicht, dass \(\operatorname{Ker}(\pi )=H\) gilt, und als Kern eines Gruppenhomomorphismus muss \(H\) ein Normalteiler sein.
Sei \(G= \mathbb Z\) die Gruppe der ganzen Zahlen. Ist \(n\in \mathbb N\), so ist
die Menge aller Vielfachen von \(\mathbb Z\), eine Untergruppe von \(\mathbb Z\). Ist umgekehrt \(H\subseteq \mathbb Z\) eine Untergruppe, so existiert \(n\in \mathbb N\) mit \(H=n\mathbb Z\). (Definieren Sie, falls \(H\ne 0\) gilt, \(n\) als ein Element \(\ne 0\) von \(H\), dessen Absolutbetrag unter allen Elementen von \(H\setminus \{ 0\} \) minimal ist, und benutzen Sie Division mit Rest, um \(H=n\mathbb Z\) zu zeigen. Oder benutzen Sie, dass jede Untergruppe von \(\mathbb Z\) auch ein Ideal im Ring \(\mathbb Z\) ist und dass \(\mathbb Z\) ein Hauptidealring ist. In diesem »schnelleren« Beweis ist aber das direkte Argument auch (wo?) versteckt.)
Wenn \(n=0\) ist, so ist \(n\mathbb Z= \{ 0\} \) und die kanonische Projektion \(\mathbb Z\to \left.\mathbb Z\middle /n\right.\) ist in diesem Fall ein Isomorphismus. Für \(n \ne 0\) gilt \(n\mathbb Z= (-n)\mathbb Z\) und der Quotient \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\) hat \(\lvert n\rvert \) Elemente.
Das wichtigste Werkzeug, um mit dem Quotienten zu arbeiten, ist der Homomorphiesatz (oder mit anderen Worten die »universelle Eigenschaft« des Quotienten).
Sei \(G\) eine Gruppe und \(H\subseteq G\) ein Normalteiler. Sei \(\pi \colon G\to \left.G\middle /H\right.\) die kanonische Projektion auf den Quotienten. Sei \(T\) eine Gruppe und \(f\colon G\to T\) ein Gruppenhomomorphismus.
Wenn \(H\subseteq \operatorname{Ker}f\) gilt, dann existiert ein eindeutig bestimmter Homomorphismus \(\varphi \colon \left.G\middle /H\right.\rightarrow T\) mit \(\varphi \circ \pi = f\).
Existiert \(\varphi \) mit \(\varphi \circ \pi = f\), so folgt \(H\subseteq \operatorname{Ker}f\). Sind \(f\) mit \(H\subseteq \operatorname{Ker}f\) und \(\varphi \) wie in (1), so gilt: \(\operatorname{Im}\varphi = \operatorname{Im}f\). Die Abbildung \(\varphi \) ist genau dann injektiv wenn \(H=\operatorname{Ker}f\) gilt, genauer gilt stets \(\operatorname{Ker}\varphi = \left.\operatorname{Ker}(f)\middle /H\right.\).
Sei \(p\) eine Primzahl und \(G\) eine Gruppe der Ordnung \(p\), also mit \(\# G = p\). Dann sind \(\{ 1\} \) und \(G\) die einzigen Untergruppen von \(G\), denn nach dem Satz von Lagrange muss jede Untergruppe als Ordnung einen Teiler von \(\# G\) haben, also \(1\) oder \(p\). Insbesondere gilt für jedes \(g\in G\), \(g\ne 1\), dass \(\langle g\rangle = G\) ist, denn die linke Seite ist jedenfalls eine nicht-triviale Untergruppe von \(G\).
Man sieht dann leicht, dass die Abbildung \(\left.\mathbb Z\middle /p\right.\to G\), \(i\mapsto g^i\), ein Gruppenisomorphismus ist. Bis auf Isomorphie ist also \(\left.\mathbb Z\middle /p\right.\) die einzige Gruppe mit \(p\) Elementen.
Es ist nicht sehr schwer zu sehen, dass eine Gruppe \(G\), in der \(\{ 1\} \) und \(G\) die einzigen Untergruppen sind, die Form \(\left.\mathbb Z\middle /p\right.\) für eine Primzahl \(p\) haben muss, siehe Beispiel 2.46.
Sei \(G\) eine endliche abelsche Gruppe und \(p\) eine Primzahl, die die Gruppenordnung \(\# G\) teilt. Dann existiert ein Element \(g\in G\) mit \(\operatorname{ord}(g)=p\).
Ist \(g\in G\) ein Element, dessen Ordnung \(d:= \operatorname{ord}(g)\) von \(p\) geteilt wird, so sieht man leicht, dass \(g^{d/p}\) Ordnung \(p\) hat.
Wir führen nun Induktion nach \(\# G\), um zu zeigen, dass für jeden Primteiler \(p\) der Gruppenordnung ein Element existiert, dessen Ordnung von \(p\) geteilt wird. Ist \(G\) die triviale Gruppe, so ist nichts zu zeigen. Sei also nun \(G\ne 1\) und \(p\) eine Primzahl, die \(\# G\) teilt. Sei \(g\in G\) irgendein Element mit \(\operatorname{ord}(g) {\gt} 1\). Gilt \(p\, |\, \operatorname{ord}(g)\), so sind wir nach dem oben Gesagten fertig. Andernfalls bilden wir den Quotienten \(G/\langle g\rangle \) nach dem Normalteiler \(\langle g\rangle \). Wegen \(\# G = \# (G/\langle g\rangle ) \cdot \operatorname{ord}(g)\) gilt dann \(p\, |\, \# (G/\langle g\rangle )\), nach Induktionsvoraussetzung existiert daher ein Element \(\bar{h}\in G/\langle g\rangle \), dessen Ordnung von \(p\) geteilt wird. Sei nun \(h\in G\) ein Element mit Restklasse \(\bar{h}\). Dann ist \(\langle \bar{h}\rangle \) ein Quotient von \(\langle h\rangle \), und es folgt \(\operatorname{ord}(\bar{h})\, |\, \operatorname{ord}(h)\) und damit \(p\, |\, \operatorname{ord}(h)\).
Es ist wichtig, dass hier \(p\) eine Primzahl ist. Wo geht das obige Argument schief, wenn man diese Voraussetzung fallenlässt? Die Voraussetzung, dass \(G\) abelsch sei, ist aber nicht erforderlich für die Gültigkeit der Aussage (allerdings schon (warum?) für den hier gegebenen Beweis). Siehe Ergänzung 2.83.
Seien \(G\) eine Gruppe, \(H\subseteq G\) eine Untergruppe und \(N\subseteq G\) ein Normalteiler.
Die Menge \(HN = \{ hn;\ h\in H,\ n\in N\} \) ist eine Untergruppe von \(G\) und zwar die von \(H\cup N\) erzeugte Untergruppe von \(G\).
Es ist \(N\) ein Normalteiler von \(HN\) und \(H\cap N\) ein Normalteiler von \(H\) und es gilt \(HN/N\cong H/H\cap N\).
zu (1). Für alle \(h\in H\) und \(n\in N\) gilt \(nh = h(h^{-1}nh)\in HN\), weil wegen der Normalteilereigenschaft von \(N\) mit \(n\) auch das Konjugierte \(h^{-1}nh\) in \(N\) liegt. Insbesondere folgt die Abgeschlossenheit unter der Multiplikation: \(hnh' n' = hh' ((h')^{-1}n h')n' \in HN\) für \(h, h' \in H\) und \(n, n'\in N\) und die Abgeschlossenheit unter der Bildung des inversen Elements, denn \((hn)^{-1} = n^{-1}h^{-1}\). Offenbar liegt das neutrale Element von \(G\) in \(HN\), und damit sind alle Bedingungen an eine Untergruppe erfüllt.
Es ist klar, dass \(H\) und \(N\) in \(HN\) enthalten sind, und dass jede Untergruppe von \(G\), die \(H\) und \(N\) enthält, auch \(HN\) enthält.
zu (2). Weil \(N\) ein Normalteiler von \(G\) ist, ist \(N\) erst recht ein Normalteiler von \(HN\). Ebenso folgt, dass \(H\cap N\) ein Normalteiler von \(H\) ist. Die Abbildung
ist surjektiv mit Kern \(H\cap N\) und induziert daher nach dem Homomorphiesatz einen Isomorphismus \(H/H\cap N\cong HN/N\).
Seien \(G\) Gruppe, \(H, N\subseteq G\) Normalteiler in \(G\) mit \(N\subseteq H\). Dann ist auch \(N\) ein Normalteiler in \(H\), \(H/N\) kann in natürlicher Weise als Normalteiler von \(G/N\) aufgefasst werden, und es gilt
Die Abbildung \(H\to G\to G/N\) hat Kern \(N\) (insbesondere ist \(N\) ein Normalteiler von \(H\)) und induziert demnach einen injektiven Gruppenhomomorphismus \(H/N\to G/N\), so dass wir \(H/N\) als Untergruppe von \(G/N\) betrachten können.
Die kanonische Projektion \(G\to G/H\) faktorisiert über eine Surjektion
deren Kern genau \(H/N\) ist, wie man unmittelbar überprüft. Daraus folgt einerseits, dass \(H/N\) ein Normalteiler von \(G/N\) ist (als Kern eines Gruppenhomomorphismus), und andererseits folgt mit dem Homomorphiesatz der behauptete Isomorphismus.