3.4 Faktorielle Ringe
Im weiteren Verlauf der Vorlesung wird der Begriff des irreduziblen Polynoms eine wichtige Rolle spielen, also von Polynomen \(f\in K[X]\) (\(K\) ein Körper), die sich nicht als Produkt \(f=gh\) mit nicht-konstanten Polynomen \(g, h\) schreiben lassen.
Diese Polynome haben dann stets auch die Primeigenschaft als Elemente des Rings \(K[X]\), d.h. ein Produkt wird genau dann von einem irreduziblen Polynom geteilt, wenn einer der Faktoren von dem Polynom geteilt wird. Das liegt daran, dass \(K[X]\) ein faktorieller Ring ist. Siehe Definition 15.49, Definition LA2.15.49.
Um dann auch in konkreten Fällen entscheiden zu können, ob gegebene Polynome irreduzibel sind, sind die Irreduzibilitätskriterien aus Abschnitt 3.6 nützlich, die darauf beruhen, Polynome mit Koeffizienten in einem faktoriellen Ring zu betrachten, in dem es Primelemente gibt (der also kein Körper ist), zum Beispiel mit Koeffizienten im Ring \(\mathbb Z\) der ganzen Zahlen. Die Kriterien geben dann auch Aufschluss über die Irreduzibilität der entsprechenden Polynome, wenn man sie als Elemente des Polynomrings über dem Quotientenkörper dieses faktoriellen Rings betrachtet.
Das grundlegende Ergebnis hierfür ist der Satz von Gauß, Satz 3.50.
Wir beginnen damit, einige Begriffe zu wiederholen, die wir schon in der Linearen Algebra 2 definiert haben, siehe auch Abschnitt LA2.15.4.3.
Sei \(R\) ein Integritätsring.
Ein Element \(p\in R\setminus (R^\times \cup \{ 0\} )\) heißt irreduzibel, wenn in jeder Darstellung \(p=ab\) von \(p\) als Produkt von Elementen \(a, b\in R\) gilt, dass \(a\in R^\times \) oder \(b\in R^\times \) ist.
Ein Element \(p\in R\setminus (R^\times \cup \{ 0\} )\) heißt prim (oder: ein Primelement), wenn für alle \(a,b\in R\) mit \(p\, |\, ab\) gilt, dass \(p\, |\, a\) oder \(p\, |\, b\).
Ein faktorieller Ring ist ein Integritätsring \(R\), derart dass sich jedes Element von \(R\setminus (R^\times \cup \{ 0\} )\) als (endliches) Produkt von Primelementen schreiben lässt.
Ist \(p\) ein Primelement eines Integritätsrings, dann ist \(p\) irreduzibel. Ist \(R\) ein faktorieller Ring, so sind die Begriffe irreduzibel und prim für Elemente von \(R\) äquivalent.
In der Linearen Algebra 2 haben wir bewiesen (Satz LA2.15.47):
Sei \(R\) ein Hauptidealring. Dann ist \(R\) faktoriell.
(Für einen vollständigen Beweis siehe das Skript zur Linearen Algebra 2 wie oben zitiert.) Weil \(R\) ein Hauptidealring ist, wird jede aufsteigende Kette von Idealen stationär. Daraus folgt, dass sich jedenfalls jedes Element von \(R\setminus (R^\times \cup \{ 0\} )\) als Produkt von irreduziblen Elementen schreiben lässt. (Sei \(a\in R\setminus (R^\times \cup \{ 0\} )\) gegeben. Ist \(a\) irreduzibel, so sind wir direkt fertig. Sonst gibt es eine Zerlegung \(a= a_0 a_1\). Induktiv kann man \(a_0\) und \(a_1\) weiter zerlegen, bis man zu einem Produkt von irreduziblen Elementen kommt. Das genannte Ergebnis über Idealketten impliziert, dass dieser Prozess nach endlich vielen Schritten zum Ende kommen muss.)
Es ist dann noch zu zeigen, dass jedes irreduzible Element in \(R\) auch prim ist. Ist \(p\in R\) irreduzibel, so folgt aus \((p) \subseteq (a)\) für \(a\in R\), dass \((a) = (p)\) oder \((a)=R\) gilt. Das Ideal \((p)\) ist also maximal und daher insbesondere ein Primideal. Deshalb ist \(p\) tatsächlich ein Primelement.
Sei \(R\) ein faktorieller Ring. Sind \(p, p'\) zueinander assoziiert, dann ist \(p\) genau dann prim, wenn \(p'\) prim ist. Unter einem Vertretersystem der Primelemente in \(R\) bis auf Assoziiertheit verstehen wir eine Teilmenge \(P\subset R\), die aus Primelementen von \(R\) besteht und so dass jedes Primelement von \(R\) zu genau einem Element von \(P\) assoziiert ist. Zum Beispiel bilden die positiven Primzahlen ein Vertretersystem der Primelemente im Ring \(\mathbb Z\) bis auf Assoziiertheit.
Sei \(R\) ein faktorieller Ring, \(K\) sein Quotientenkörper und \(P\subset R\) ein Vertretersystem der Primelemente von \(R\) bis auf Assoziiertheit.
Jedes Element \(x\in R\setminus \{ 0\} \) lässt sich in der Form
\[ x = u\prod _{p\in P} p^{v_p} \]mit \(u\in R^\times \) und mit \(v_p\in \mathbb N\) schreiben, wobei höchstens endlich viele \(v_p\) von Null verschieden sind. Sowohl \(u\) als auch die Exponenten \(v_p\) sind durch \(x\) eindeutig bestimmt. Man schreibt auch \(v_p(x) := v_p\) für die Vielfachheit, mit der \(p\) in der obigen Darstellung (der »Primfaktorzerlegung« von \(x\)) auftritt.
Jedes Element \(x\ne 0\) des Quotientenkörpers von \(R\) lässt sich schreiben als
\[ x = u\prod _{p\in P} p^{v_p} \]mit \(u\in R^\times \) und mit \(v_p\in \mathbb Z\), wobei wieder höchstens endlich viele \(v_p\) von Null verschieden sind und dieselbe Eindeutigkeitsaussage gilt. Wir erhalten so eine Abbildung \(K^\times \to \mathbb Z\), \(x\mapsto v_p(x)\).
Jedenfalls lässt sich jedes \(x\), das keine Einheit ist, als Produkt von Primelementen aus \(R\) schreiben. Indem wir diese gegebenenfalls um Einheiten abändern, können wir \(x\) als Produkt einer Einheit in \(R\) und von Elementen der Menge \(P\) schreiben. Das liefert die Existenzaussage in (1), und auch in (2), wenn wir das Ergebnis aus Teil (1) auf Zähler und Nenner einer Darstellung von \(x\in K^\times \) anwenden.
Um die Eindeutigkeit in (1) zu zeigen, beweisen wir, dass für \(p\in P\) die Gleichheit
gilt. Jedenfalls ist \(p^{v_p(x)}\, |\, x\) klar. Die Beziehung \(p^{v_p(x)+1}\, |\, x\) wäre aber nur möglich, wenn \(p\) ein Teiler des Produkts \(\prod _{q\in P\setminus \{ p\} } q^{v_q}\) wäre. Induktiv folgte dann aber aus der Primeigenschaft von \(p\), dass \(p\, |\, q\) für ein \(q\in P\setminus \{ p\} \) gilt. Weil \(q\) prim (und damit irreduzibel) ist, wären dann \(p\) und \(q\) zueinander assoziiert, was der Definition von \(P\) widerspräche.
In einem faktoriellen Ring \(R\) existiert zu je zwei Elementen \(x,y\) ein größter gemeinsamer Teiler, also ein Element \(d\in R\), das sowohl \(x\) als auch \(y\) teilt, und so dass jeder gemeinsame Teiler von \(x\) und \(y\) ein Teiler von \(d\) ist. Ein solcher größter gemeinsamer Teiler ist eindeutig bestimmt bis auf Assoziiertheit. Ist \(P\) wie oben ein Vertretersystem der Primelemente von \(R\) bis auf Assoziiertheit, so ist mit der obigen Schreibweise \(\prod _{p\in P} p^{\min (v_p(x), v_p(y))}\) ein größter gemeinsamer Teiler von \(x, y\in R\setminus \{ 0\} \).
Wir skizzieren zwei Beispiele von Integritätsringen, die nicht faktoriell sind.
Die Teilmenge
\[ \mathbb Z[i\sqrt{5}] := \{ a + ib\sqrt{5};\ a,b\in \mathbb Z\} \quad \subseteq \mathbb C \]ist ein Unterring. Man kann zeigen, dass dieser Integritätsring nicht faktoriell ist. Das Element \(2\) ist in diesem Ring irreduzibel, jedoch kein Primelement, denn es teilt das Produkt
\[ (1-i\sqrt{5})(1+i\sqrt{5})=6=2\cdot 3, \]aber teilt weder \(1-i\sqrt{5}\) noch \(1+i\sqrt{5}\).
Um diese Behauptungen zu beweisen, ist es nützlich, die sogenannte Normabbildung
\[ N\colon \mathbb Z[i\sqrt{5}] \to \mathbb Z,\quad a + ib\sqrt{5}\mapsto \lvert a+ib\sqrt{5}\rvert ^2 = a^2 + 5b^2, \]wobei die Betragsstriche den üblichen Absolutbetrag der komplexen Zahl \(a+ib\sqrt{5}\) bezeichnen. Weil es sich bis auf das Quadrat um die Einschränkung des komplexen Absolutbetrags handelt, ist dieser Abbildung multiplikativ. Insbesondere gilt \(N(u)\in \mathbb Z^\times = \{ 1,-1\} \) für jedes \(u\in \mathbb Z[i\sqrt{5}]^\times \), also sind \(1\) und \(-1\) die einzigen Einheiten von \(\mathbb Z[i\sqrt{5}]\).
Sei \(K\) ein Körper. Die Teilmenge
\[ K[T^2, T^3] := \left\{ \sum _{i=0}^n a_i T^i;\ n\in \mathbb N,\ a_i\in K,\ a_1 = 0 \right\} \subseteq K[T] \]ist ein Unterring. Dieser Ring ist ein weiteres Beispiel eines Integritätsrings, der nicht faktoriell ist, denn \(T^6 = (T^2)^3 = (T^3)^2\) hat zwei verschiedene Zerlegungen in irreduzible Elemente.
Der surjektive \(K\)-Algebren-Homomorphismus \(K[X,Y]\to K[T^2, T^3]\), \(X\mapsto T^2\), \(Y\mapsto T^3\), induziert einen Isomorphismus \(K[X, Y]/(Y^2-X^3)\). Wir sehen daran, dass der Quotient eines faktoriellen Rings nach einem Ideal im allgemeinen nicht faktoriell ist.
Siehe auch (Ergänzungs-)Abschnitt 3.8.