3.7 Wie untersucht man einen Ring? *
Wir haben (in der Algebra und zum Teil schon in der Linearen Algebra) unter anderem die folgenden Eigenschaften von Ringen kennengelernt; in dieser Liste impliziert jede genannte Eigenschaft alle darauf folgenden.
Körper,
Euklidischer Ring,
Hauptidealring,
Faktorieller Ring,
Integritätsring.
Allerdings ist diese Einordnung sehr grob, denn es gibt viele faktorielle Ringe, die keine Hauptidealringe sind, sehr viele Integritätsringe die nicht faktoriell sind, und natürlich auch sehr viele Ringe, die keine Integritätsringe sind.
Eine »Klassifikation« von Ringen bis auf Isomorphie ist nur unter sehr restriktiven zusätzlichen Annahmen möglich.
Weitere Methoden zur Untersuchung von Ringen werden im Gebiet der Kommutativen Algebra bereitgestellt, zum Beispiel die Lokalisierung nach einer multiplikativen Teilmenge (das ist ein Bruchrechenkalkül, der die Konstruktion des Quotientenkörpers eines Integritätsrings verallgemeinert) und das Tensorprodukt (ähnlich wie das Tensorprodukt von Vektorräumen, das wir in der Linearen Algebra 2 angeschaut haben). Außerdem ist es nützlich, Moduln über Ringen zu studieren, das sind additive Gruppen mit einer Skalarmultiplikation (vergleiche Abschnitt LA2.18.7.1). Der Modulbegriff entspricht also genau dem Vektorraumbegriff, nur dass man auf die Voraussetzung verzichtet, dass die Skalare einen Körper bilden; stattdessen kann man über jedem kommutativen Ring Moduln betrachten. Oft kann man einen Ring besser verstehen, wenn man die Moduln darüber gut versteht.
In der Algebraischen Geometrie ordnet man jedem Ring \(R\) ein »geometrisches Objekt« \(\operatorname{Spec}R\) zu, das sogenannte (Prim-)Spektrum von \(R\). Diese Verbindung zwischen (kommutativer) Algebra und Geometrie hat sich in den vergangenen Jahrzehnten als sehr nützlich und fruchtbar erwiesen. Siehe Ergänzungsabschnitt 3.8.