2.1 Gruppen, Gruppenhomomorphismen, Untergruppen
Wir beginnen die Vorlesung Algebra damit, den Begriff der Gruppe, den wir in der Linearen Algebra bereits kennengelernt haben, etwas systematischer und ausführlicher zu studieren.
2.1.1 Vorkenntnisse
Sie sollten jedenfalls die Definition einer Gruppe, von kommutativen bzw. abelschen Gruppen, von Gruppenhomomorphismen und -isomorphismen, und von Kern und Bild eines Gruppenhomomorphismus kennen. Beispiele für Gruppen, die in der Linearen Algebra eine Rolle gespielt haben, sind insbesondere die symmetrischen Gruppen \(S_n\) und die allgemeine und spezielle lineare Gruppe über einem Körper \(K\), \(GL_n(K)\) und \(SL_n(K)\). Wichtige Gruppenhomomorphismen waren die Signumabbildung \(\operatorname{sgn}\colon S_n\to \{ 1, -1\} \) sowie die Determinante \(GL_n(K)\to K^\times \). Schauen Sie gegebenenfalls noch einmal in die Skripte zur LA1 (Kapitel LA1.8) und LA2 (Abschnitt LA2.18.3).
Für Gruppen \(G\) und \(H\) bezeichnen wir mit \(\operatorname{Hom}(G, H)\) (oder mit \(\operatorname{Hom}_{\text{Gruppen}}(G, H)\), wenn wir betonen wollen, dass wir Homomorphismen von Gruppen betrachten) die Menge aller Gruppenhomomorphismen \(G\to H\).
Wir haben gezeigt, dass ein Gruppenhomomorphismus genau dann ein Isomorphismus ist, wenn er bijektiv ist, und dass ein Gruppenhomomorphismus genau dann injektiv ist, wenn er trivialen Kern hat.
Eine Teilmenge \(H\) einer Gruppe \(G\) heißt eine Untergruppe, wenn \(H\) nicht leer ist und bezüglich der Gruppenverknüpfung und bezüglich der Bildung des Inversen abgeschlossen ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die Verknüpfung auf \(G\) auf \(H\) eine Verknüpfung induziert, für die die Gruppenaxiome erfüllt sind.
Der Durchschnitt von Untergruppen einer Gruppe ist wieder eine Untergruppe. Ist \(M\subseteq G\) eine Teilmenge einer Gruppe \(G\), so ist also der Durchschnitt aller Untergruppen von \(G\), die \(M\) enthalten, eine Untergruppe von \(G\), und zwar die kleinste Untergruppe, die \(M\) enthält. Wir bezeichnen sie mit \(\langle M\rangle \) und nennen sie die von \(M\) erzeugte Untergruppe.
Ein wichtiger Spezialfall, den wir in Abschnitt 2.4 genauer untersuchen werden, ist der, dass \(M\) aus einem einzigen Element \(g\in G\) besteht. In diesem Fall ist (für multiplikativ geschriebenes \(G\))
die Menge aller Potenzen \(1 = g^0, g, g^2, g^3, \dots , g^{-1}, g^{-2} := (g^{-1})^2,\dots \) von \(g\). Dabei kann es natürlich, je nach Gruppe und gewähltem Element, passieren, dass einige dieser Potenzen gleich sind (und dann ist \(\langle g\rangle \) eine endliche Menge).
Wir schreiben, wenn nichts anderes gesagt wird, in diesem Kapitel Gruppen multiplikativ, schreiben also die Gruppenverknüpfung als Multiplikation (\(g\cdot h\) oder einfach \(gh\)). (Gruppen wie \(\mathbb Z\) und die Quotienten \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\) sind aber natürlich Gruppen bezüglich der Addition und werden auch additiv geschrieben.)
2.1.2 Beispiele von Gruppen
Allgemein und besonders in der Algebra-Vorlesung sind Gruppen wichtig, die aus Bijektionen einer Menge auf sich bzw. aus den Automorphismen eines Objekts bestehen. Auch aus historischer Sicht war die Betrachtung solcher Bijektionen entscheidend für die Entwicklung des Gruppenbegriffs.
Sei \(X\) eine Menge. Die Menge \(\operatorname{Bij}(X)\) aller bijektiven Abbildungen \(X\to X\) ist mit der Komposition von Abbildungen \(\operatorname{Bij}(X)\times \operatorname{Bij}(X)\to \operatorname{Bij}(X)\) als Verknüpfung eine Gruppe.
Ist speziell \(X = \{ 1, \dots , n\} \) für \(n\in \mathbb N\), so nennen wir \(S_n := \operatorname{Bij}(\{ 1,\dots , n\} )\) die symmetrische Gruppe. Siehe auch Abschnitt 2.5.
Als Variante der vorherigen Beispielklasse können wir sogenannte Automorphismengruppen von Objekten betrachten, die eine zusätzliche Struktur haben, die zu einem Begriff von Homomorphismus führt.
Zu jedem Homomorphismusbegriff (also für Gruppen, Ringe, Vektorräume) haben wir den Begriff von Isomorphismen (d.h. Homomorphismen, die einen Umkehrhomomorphismus besitzen) und Automorphismen (d.h. Isomorphismen, deren Definitions- und Wertebereich übereinstimmen).
Für ein Objekt \(X\) mit der gegebenen Struktur (also zum Beispiel eine Gruppe \(X\); oder einen Vektorraum \(X\) über einem Körper) setzen wir
Die Verkettung von Automorphismen von \(X\) ist wieder ein Automorphismus, die Identitätsabbildung von \(X\) ist ein neutrales Element bezüglich der Verkettung, und jeder Automorphismus besitzt nach Definition ein Inverses bezüglich der Verkettung. Daher ist \(\operatorname{Aut}(X)\) bezüglich der Verkettung von Abbildungen eine Gruppe, die sogenannte Automorphismengruppe von \(X\).
Wenn erforderlich, können wir die Art von Homomorphismen, die wir betrachten möchten, als Index angeben, zum Beispiel \(\operatorname{Aut}_{\text{Gruppen}}(X)\) oder \(\operatorname{Aut}_{K-\text{Vektorräume}}(X)\). Teilweise sind für diese Automorphismengruppen auch andere Schreibweisen gebräuchlich, zum Beispiel wird die Automorphismengruppe eines \(K\)-Vektorraums \(V\) manchmal mit \(GL_K(V)\) bezeichnet.
Analog können wir beliebige Abbildungen zwischen Mengen als »Mengenhomomorphismen« betrachten; die »Mengenisomorphismen«, also die Abbildungen, die eine Umkehrabbildung besitzen, sind genau die bijektiven Abbildungen. Mit der entsprechenden Definition erhalten wir als »Automorphismengruppe« der Menge \(X\) die Gruppe \(\operatorname{Bij}(X)\) der Bijektionen \(X\to X\). (Diese Sichtweise ist natürlich Kontext von Kategorien, siehe (Ergänzungs-)Abschnitt LA2.18.8.1.)
Ein Spezialfall, mit dem wir uns später ausführlich beschäftigen werden, ist die Automorphismengruppe einer Körpererweiterung (die wir unter gewissen zusätzlichen Voraussetzungen die Galois-Gruppe der Erweiterung nennen werden).
Sei \(L\) ein Körper. Die Menge \(\operatorname{Aut}(L)\) aller Ringautomorphismen \(L\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}L\) ist eine Gruppe (mit der Komposition von Automorphismen als Gruppenverknüpfung). Ist \(K\subseteq L\) ein Teilkörper, dann ist die Teilmenge
eine Untergruppe von \(\operatorname{Aut}(L)\). Wir nennen \(\operatorname{Aut}_K(L)\) die Automorphismengruppe der Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\).
Zum Beispiel hat die Gruppe \(\operatorname{Aut}_{\mathbb R}(\mathbb C)\) genau zwei Elemente: die Identitätsabbildung und die komplexe Konjugation. (Warum gibt es keine weiteren?)
Eine weitere Variante von Gruppen, die aus Bijektionen eines Objekts bestehen, sind Symmetriegruppen von Teilmengen von \(\mathbb R^2\), \(\mathbb R^3\) oder höherdimensionalen \(\mathbb R\)-Vektorräumen, oder allgemeiner von Teilmengen eines Vektorraums \(V\) über einem beliebigen Körper \(K\). Für \(M\subseteq V\) nennen wir den Stabilisator
von \(M\) in der Automorphismengruppe von \(V\) die Symmetriegruppe von \(M\). Im Fall des Standardvektorraums \(V=K^n\) können wir die Symmetriegruppe von \(M\) auch als Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe \(GL_n(K)\) betrachten.
Den Begriff der Gruppe kann man als den mathematischen Ansatz betrachten, Symmetrien zu beschreiben. Zum Beispiel hat die links abgebildete Teilmenge von \(\mathbb R^2\) Symmetriegruppe \(\left.\mathbb Z\middle /4\right.\) (die »Symmetrien« sind die Drehungen um Vielfache von \(90^\circ \)), die rechts abgebildete Teilmenge hat Symmetriegruppe \(\left.\mathbb Z\middle /2\right.\times \left.\mathbb Z\middle /2\right.\) (die Symmetrien sind neben der identischen Abbildung die Spiegelungen an \(x\)- und \(y\)-Achse und ihre Verkettung, also die Punktspiegelung am Ursprung). In beiden Fällen gibt es \(4\) Symmetrien (einschließlich der Identität), und die Gruppenstruktur ermöglicht eine präzise Beschreibung. Gruppen, die nicht zu einer Untergruppe von \(GL_2(\mathbb R)\) isomorph sind, können nicht die Symmetriegruppe einer Teilmenge von \(\mathbb R^2\) sein; ein Beispiel dafür ist die Quaternionengruppe (siehe Ergänzung 2.8).
![\begin{tikzpicture} [scale=2] \clip (-1.5, -1.5) rectangle + (3,3); \draw [->, gray, thick] (-1.5, 0) – (1.5, 0); \draw [->, gray, thick] (0, -1.5) – (0, 1.5);
\draw [blue, ultra thick] (0, 0) arc (0:120:0.7); \draw [blue, ultra thick, rotate=90] (0, 0) arc (0:120:0.7); \draw [blue, ultra thick, rotate=180] (0, 0) arc (0:120:0.7); \draw [blue, ultra thick, rotate=270] (0, 0) arc (0:120:0.7); \draw [fill=blue, blue, rotate=90] (0.5, 1) circle[radius=.2cm]; \draw [fill=blue, blue, rotate=180] (0.5, 1) circle[radius=.2cm]; \draw [fill=blue, blue, rotate=270] (0.5, 1) circle[radius=.2cm]; \draw [fill=blue, blue] (0.5, 1) circle[radius=.2cm];
\end{tikzpicture}](images/img-0001.svg)
![\begin{tikzpicture} [scale=2] \clip (-1.5, -1.5) rectangle + (3,3); \draw [->, gray, thick] (-1.5, 0) – (1.5, 0); \draw [->, gray, thick] (0, -1.5) – (0, 1.5);
\draw [blue, ultra thick, fill=blue] (0.5, -1) – (0.5, 1) – (0.3, 1) – (0.3, -1) – (0.5, -1); \draw [blue, ultra thick, fill=blue] (-0.5, -1) – (-0.5, 1) – (-0.3, 1) – (-0.3, -1) – (-0.5, -1); \draw [fill=blue, blue] (0, 0) circle[radius=.3cm];
\end{tikzpicture}](images/img-0002.svg)
Ein konkretes Beispiel, das wir in der Linearen Algebra (wenigstens am Rande, siehe Abschnitt LA1.8.1.6) gesehen haben, sind die Diedergruppen: \(D_{2n}\) ist die Untergruppe von \(GL_2(\mathbb R)\) aller derjenigen Automorphismen \(\mathbb R^2\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}\mathbb R^2\), die ein fixiertes regelmäßiges \(n\)-Eck (das den Ursprung als Mittelpunkt hat) auf sich abbilden. Sie hat \(2n\) Elemente, und zwar \(n\) Drehungen und \(n\) Spiegelungen.
Vergleiche auch Abschnitt 2.3.
Sind \(G\) und \(H\) Gruppen, so können wir das Produkt
\[ G\times H = \{ (g,h);\ g\in G,\ h\in H\} \]bilden. Mit der komponentenweisen Verknüpfung
\[ (g,h)(g', h') = (gg', hh') \]bildet dieses wieder eine Gruppe. Die Projektionen
\[ p_G\colon G\times H\to G,\ (g,h)\mapsto g,\quad \text{und}\quad p_H\colon G\times H\to H,\ (g,h)\mapsto h, \]sind (surjektive) Gruppenhomomorphismen. Das Produkt erfüllt die universelle Eigenschaft des Produkts, d.h. die Abbildung
\[ \operatorname{Hom}(T, G\times H) \to \operatorname{Hom}(T, G) \times \operatorname{Hom}(T, H),\quad \varphi \mapsto (p_G\circ \varphi , p_H\circ \varphi ), \]ist eine Bijektion. Siehe Abschnitt LA2.18.1.1.
Allgemeiner können wir für jede Menge \(I\) und jede Familie \((G_i)_{i\in I}\) von Gruppen das Produkt \(\prod _{i\in I} G_i\) bilden. Auch hier haben wir die Projektionen auf die einzelnen Faktoren des Produkts, und es ist eine universelle Eigenschaft erfüllt.
In der Algebra-Vorlesung werden im Vergleich zur Linearen Algebra endliche Gruppen eine größere Rolle spielen. Wir sammeln daher einige Beispiele.
Wir geben für \(n\le 7\) eine »vollständige Liste bis auf Isomorphie« der Gruppen mit \(n\) Elementen an, das bedeutet, eine Liste \(G_1, G_2, \dots , G_{r(n)}\) von Gruppen, so dass jede Gruppe mit \(n\) Elementen zu genau einer der Gruppen aus dieser Liste isomorph ist.
Die Beweise, dass die Listen jeweils vollständig sind, verschieben wir auf später (bzw. auf die Übungen).
Die Gruppe \(G\) schreiben wir in diesem Beispiel stets multiplikativ.
\(\# G = 1\). Die »einzige« Gruppe mit genau einem Element ist die sogenannte triviale Gruppe \(\{ 1\} \) mit \(1\cdot 1 = 1\), d.h.: für jede Gruppe \(G\), die genau ein Element \(a\) enthält, ist \(G\to \{ 1\} \), \(a\mapsto 1\) ein Isomorphismus von Gruppen.
\(\# G = 2\). Ist \(G = \{ a, b\} \) eine Gruppe mit genau zwei Elementen, wobei ohne Einschränkung \(a\) das neutrale Element bezeichne, so ist \(G\to \left.\mathbb Z\middle /2\right.\), \(a\mapsto 0\), \(b\mapsto 1\), ein Gruppenisomorphismus (wobei wir \(\left.\mathbb Z\middle /2\right.\) als Gruppe bezüglich der Addition verstehen).
\(\# G = p\), \(p\) Primzahl. Dann ist \(G\) isomorph zur (additiven) Gruppe \(\left.\mathbb Z\middle /p\right.\), insbesondere ist \(G\) also kommutativ. Sei \(g\in G\setminus \{ 1\} \). Dann ist
\[ \left.\mathbb Z\middle /p\right.\to G, i\mapsto g^i \]ein Isomorphismus von der (additiven) Gruppe \(\left.\mathbb Z\middle /p\right.\) auf die Gruppe \(G\).
Es gibt also bis auf Isomorphie nur eine einzige Gruppe der Ordnung \(p\). Siehe Beispiel 2.22.
\(\# G = 4\). In diesem Fall gibt es genau zwei nicht-isomorphe Gruppen, und zwar die Gruppen \(\left.\mathbb Z\middle /4\right.\) und \(\left.\mathbb Z\middle /2\right.\times \left.\mathbb Z\middle /2\right.\) (letztere nennt man auch die Kleinsche Vierergruppe). Dass die beiden Gruppen nicht isomorph sind, ist klar, weil \(\left.\mathbb Z\middle /4\right.\) ein Element der Ordnung \(4\) enthält, \(\left.\mathbb Z\middle /2\right.\times \left.\mathbb Z\middle /2\right.\) aber nur Elemente der Ordnung \(1\) und \(2\) (siehe 2.12).
\(\# G = 6\). Auch in diesem Fall gibt es zwei Gruppen auf der Liste, nämlich \(\left.\mathbb Z\middle /6\right.\) und die symmetrische Gruppe \(S_3\). Weil \(S_3\) nicht kommutativ ist, sind diese beiden Gruppen offenbar nicht zueinander isomorph.
Für jedes \(n\in \mathbb N_{{\gt} 0}\) ist \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\) eine kommutative Gruppe mit \(n\) Elementen.
Für \(r\in \mathbb N\) und \(n_1,\dots , n_r\in \mathbb N_{{\gt} 0}\) ist
\[ \left.\mathbb Z\middle /n_1\right.\times \cdots \left.\mathbb Z\middle /n_r\right. \]eine abelsche Gruppe (mit \(n_1\cdots n_r\) Elementen). Im Allgemeinen ist diese nicht isomorph zu einer Gruppe der Form \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\), zum Beispiel ist \(\left.\mathbb Z\middle /2\right.\times \left.\mathbb Z\middle /2\right.\) nicht von dieser Form. (Manchmal allerdings doch; der chinesische Restsatz, Satz LA2.15.61, liefert für paarweise teilerfremde Zahlen \(n_1,\dots , n_r\) einen Isomorphismus \(\left.\mathbb Z\middle /n_1\right.\times \cdots \left.\mathbb Z\middle /n_r\right.\cong \left.\mathbb Z\middle /n_1\cdots n_r\right.\).)
Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen besagt, dass jede endliche abelsche Gruppe isomorph ist zu einer Gruppe der Form in (2). Genauer gilt: Ist \(G\) eine endliche abelsche Gruppe, dann existieren natürliche Zahlen \(n_1, \dots , n_r {\gt} 1\) mit
\[ G\cong \left.\mathbb Z\middle /n_1\right.\times \cdots \left.\mathbb Z\middle /n_r\right., \]und so dass \(n_1\, |\, n_2\), \(n_2\, |\, n_3\), …, \(n_{r-1}\, |\, n_r\), und \(n_1, \dots , n_r\) sind durch \(G\) eindeutig bestimmt.
Siehe Korollar LA2.18.93 in den Ergänzungen des LA2-Skripts.
Für Gruppen mit \(8\) Elementen ist es schon ein bisschen komplizierter, eine »Klassifikation (bis auf Isomorphie)« wie in Beispiel 2.6 anzugeben.
Das Ergebnis ist die folgende Liste:
\(\left.\mathbb Z\middle /8\right.\),
\(\left.\mathbb Z\middle /4\right.\times \left.\mathbb Z\middle /2\right.\),
\(\left.\mathbb Z\middle /2\right.\times \left.\mathbb Z\middle /2\right.\times \left.\mathbb Z\middle /2\right.\),
die Diedergruppe \(D_8\), siehe Beispiel 2.4, Abschnitt LA1.8.1.6.
die Quaternionengruppe \(Q\), d.h. die multiplikative Untergruppe der Einheitengruppe \(\mathbb H^\times \) der Hamiltonschen Quaternionen (Ergänzung LA1.4.11), die von \(1, i, j, k\) erzeugt wird. Es ist also
\[ Q = \{ 1, i, j, k, -1, -i, -j, -k \} \]mit neutralem Element \(1\) und
\begin{align*} & (-1)^2 = 1,\quad (-1)\cdot i = i\cdot (-1) = -i,\quad (-1)\cdot j = j\cdot (-1) = -j,\quad (-1)\cdot k = k\cdot (-1) = -k,\\ & i^2 = j^2 = k^2 = -1,\quad ij = k. \end{align*}Alle anderen Produkte ergeben sich daraus, zum Beispiel
\[ kj = (ij)j = ij^2 = -i,\quad ji = (ij)^{-1} = k^{-1} = -k. \]
Für eine Primzahl \(p\) und \(n\in \mathbb N\) ist \(GL_n(\mathbb F_p)\), die Gruppe der invertierbaren \((n\times n)\)-Matrizen über \(\mathbb F_p\), eine endliche Gruppe. Können Sie »ausrechnen« (d.h. eine geschlossene Formel dafür angeben), wie viele Elemente \(GL_n(\mathbb F_p)\) hat?