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8.1 Grundlagen

8.1.1 Definition und einfache Beispiele

Wir beginnen mit der Definition einer Gruppe.

Definition 8.1

Eine Gruppe ist ein Paar \((G, \cdot )\) bestehend aus einer Menge \(G\) und einer Verknüpfung \(\cdot \colon G\times G \rightarrow G\), \((g,h)\mapsto g\cdot h\), so dass gilt:

  1. (Assoziativgesetz). Für alle \(g,h,j\in G\) gilt: \((g\cdot h)\cdot j = g\cdot (h\cdot j)\).

  2. (Neutrales Element). Es gibt ein Element \(e\in G\), so dass für alle \(g\in G\) gilt: \(e\cdot g = g\), \(g\cdot e = g\).

  3. (Inverse Elemente). Für jedes \(g\in G\) existiert ein Element \(h\in G\) mit \(g \cdot h = h \cdot g = e\).

Bemerkung 8.2
  1. Das neutrale Element \(e\) der Verknüpfung wie in (b) ist eindeutig bestimmt (das Argument haben wir schon bei den Körpern und Vektorräumen gesehen; sind \(e\), \(e^\prime \) Elemente von \(G\) mit der Eigenschaft des neutralen Elements, so gilt \(e=ee^\prime =e^\prime \)).

    Insofern hängt Teil (c) der Definition nicht von einer Wahl ab.

  2. Zu jedem \(g\in G\) ist das inverse Element \(h\) eindeutig bestimmt. Denn sind \(h, h^\prime \) Elemente mit dieser Eigenschaft, so folgt \(h = h(gh^\prime ) = (hg)h^\prime = h^\prime \). Auch dieses Argument haben wir schon gesehen, als wir über Körper gesprochen haben. Wenn die Verknüpfung als Multiplikation, also mit dem Punkt \(\cdot \) geschrieben wird, dann bezeichnen wir das Inverse von \(g\) mit \(g^{-1}\).

Die Verknüpfung kann man statt mit \(\cdot \) natürlich auch mit irgendeinem anderen Symbol bezeichnen, und wir werden unten Beispiele sehen, wo sich das anbietet. Wenn man den Punkt \(\cdot \) verwendet, dann sagt man, die Gruppe \(G\) werde multiplikativ geschrieben, und man wendet die üblichen Konventionen an: Das neutrale Element wird auch mit \(1\) (oder \(1_G\)) statt mit \(e\) bezeichnet, und der Punkt wird zwischen Buchstaben, die Gruppenelemente bezeichnen, (und/oder Klammern) oft ausgelassen.

Aus der Existenz inverser Elemente in einer Gruppe folgt:

Lemma 8.3 Kürzungsregel

Seien \(G\) eine Gruppe, \(g, h, h^\prime \in G\).

  1. Wenn \(gh = gh^\prime \) gilt dann folgt \(h = h^\prime \).

  2. Wenn \(hg = h^\prime g\) gilt dann folgt \(h = h^\prime \).

In einigen der Gruppen, mit denen wir zu tun haben, gilt zusätzlich das Kommutativgesetz, und wir definieren:

Definition 8.4

Eine Gruppe \(G\) heißt kommutativ oder abelsch, wenn das Kommutativgesetz gilt:

\[ g\cdot h = h\cdot g\quad \text{für alle}\ g,h\in G. \]

Die Bezeichnung abelsch bezieht sich auf den Mathematiker Niels Abel (1802–1829; trotz seines frühen Todes mit nur 26 Jahren hat er sehr bedeutende Beiträge zur Mathematik geleistet).

Für kommutative Gruppen schreibt man die Verknüpfung oft als Addition \(+\) (und dann das Inverse von \(g\) als \(-g\), und man definiert \(g-h := g+(-h)\)). Auch multiplikativ geschriebene Gruppen können natürlich kommutativ sein, aber jedenfalls verwendet man das Zeichen \(+\) nur für kommutative Verknüpfungen. Wird die Verknüpfung mit \(+\) bezeichnet, dann bezeichnet man das neutrale Element üblicherweise als \(0\). Im Gegensatz zum Punkt \(\cdot \) kann das \(+\) aber nicht ausgelassen werden.

Beispiel 8.5
  1. Die Gruppe \(\{ 1\} \) (multiplikativ geschrieben) (bzw. die Gruppe \(\{ 0\} \) (additiv geschrieben)) nennen wir die triviale Gruppe.

  2. \((\mathbb Z, +)\) ist eine kommutative Gruppe.

  3. Für jedes \(n\ge 1\) ist \((\left.\mathbb Z\middle /n\right., +)\) eine kommutative Gruppe.

  4. Ist \(K\) ein Körper, so sind \((K, +)\) und \((K^\times , \cdot )\) kommutative Gruppen. Das erklärt den Namen multiplikative Gruppe für \(K^\times \).

  5. Ist \(K\) ein Körper und \(V\) ein \(K\)-Vektorraum, so ist \((V, +)\) eine kommutative Gruppe. Spezialfälle sind \(K^n\) und \(M_{n\times m}(K)\).

  6. Sei \(X\) eine Menge. Die Menge \(\operatorname{Bij}(X)\) der bijektiven Abbildungen \(X\to X\) mit der Verkettung \(\circ \) von Abbildungen als Verknüpfung ist eine Gruppe.

    Das neutrale Element ist die identische Abbildung \(\operatorname{id}_X\colon X\to X\), \(x\mapsto x\). Das Inverse einer Bijektion \(f\) ist ihre Umkehrabbildung.

    Hat \(X\) mehr als zwei Elemente, so ist die Gruppe \(\operatorname{Bij}(X)\) nicht kommutativ. Im Fall \(X = \{ 1, \dots , n\} \), \(n\ge 1\), schreibt man auch \(S_n := \operatorname{Bij}(X)\) und nennt diese Gruppe die symmetrische Gruppe. Die Elemente dieser Gruppe bezeichnet man als Permutationen (der Menge \(\{ 1, \dots , n\} \)). Siehe Abschnitt 8.3.

  7. Sei \(V\) ein Vektorraum über dem Körper \(K\), und sei \(\operatorname{Aut}(V)\) die Menge aller Automorphismen \(V\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}V\). Diese bildet mit der Verknüpfung von Abbildungen eine Gruppe. Das neutrale Element ist die Identitätsabbildung, das zu \(f\in \operatorname{Aut}(V)\) inverse Element ist der Umkehrhomomorphismus \(f^{-1}\) von \(f\).

  8. Sind \(G_1\), \(G_2\) Gruppen, so ist \(G_1\times G_2\) mit der komponentenweisen Verknüpfung eine Gruppe, das Produkt der Gruppen \(G_1\) und \(G_2\). Allgemeiner kann man für jede Familie \(G_i\), \(i\in I\), von Gruppen das Produkt \(\prod _{i\in I} G_i\) (mit der komponentenweisen Verknüpfung \((g_i)_i \cdot (h_i)_i = (g_ih_i)_i\)) betrachten.

Ein besonders wichtiges Beispiel ist für uns die allgemeine lineare Gruppe. Die Bezeichnung \(GL_n\) ist als Abkürzung des englischen Begriffs general linear group zu verstehen.

Definition 8.6 Allgemeine Lineare Gruppe

Seien \(K\) ein Körper und \(n\in \mathbb N\). Die Teilmenge \(GL_n(K) \subset M_{n\times n}(K)\) der invertierbaren Matrizen ist eine Gruppe bezüglich des Matrizenprodukts und heißt die allgemeine lineare Gruppe (vom Rang (oder Grad) \(n\) über \(K\)).

Für \(n=1\) können wir \(GL_1(K)\) und \(K^\times \) identifizieren. Für \(n{\gt}1\) ist die Gruppe \(GL_n(K)\) nicht kommutativ.

Ergänzung 8.7 Ringe und Körper

Mit dem Begriff der Gruppe können wir die Definition eines Körpers, Definition 4.1, kürzer fassen: Ein Körper ist eine Menge \(K\) zusammen mit Verknüpfungen \(+\colon K\times K\to K\) und \(\cdot \colon K\times K\to K\), so dass gilt:

  1. \((K, +)\) ist eine abelsche Gruppe (mit neutralem Element \(0\)),

  2. \((K\setminus \{ 0\} , \cdot )\) ist eine abelsche Gruppe,

  3. Für \(+\) und \(\cdot \) gilt das Distributivgesetz: \(a(b+c) = ab+ac\) für alle \(a, b, c\in K\).

(Aus der ersten und dritten Bedingung folgt, dass \(0a = 0\) für alle \(a\in K\); es ist daher kein Problem, dass in der zweiten Bedingung das Element \(0\) ganz ausgeschlossen wird.)

Ähnlich definiert man den Begriff des Rings (der im kommenden Semester eine größere Rolle spielen wird): Ein Ring ist eine Menge \(R\) zusammen mit Verknüpfungen \(+\) und \(\cdot \), so dass gilt:

  1. \((R, +)\) ist eine abelsche Gruppe (mit neutralem Element \(0\)),

  2. Die Multiplikation \(\cdot \) ist assoziativ.

  3. Für \(+\) und \(\cdot \) gilt das Distributivgesetz: \(a(b+c) = ab+ac\), \((a+b)c = ac+bc\) für alle \(a, b, c\in R\).

Besitzt die Multiplikation auf \(R\) ein neutrales Element, so nennt man \(R\) auch einen Ring mit Eins. Ist sie kommutativ, so nennt man \(R\) einen kommutativen Ring.

Zum Beispiel ist \(\mathbb Z\) mit der üblichen Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring mit Eins. Man spricht daher auch vom Ring der ganzen Zahlen. Für alle \(n\ge 1\) ist \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\) ein kommutativer Ring mit Eins, den man auch als den Restklassenring (von \(\mathbb Z\)) modulo \(n\) bezeichnet.

Der Nullring ist der Ring \(R = \{ 0\} \) (mit den einzig möglichen Verknüpfungen \(0+0=0\), \(0\cdot 0=0\)). Dies ist ebenfalls ein kommutativer Ring mit Eins. Ist umgekehrt \(R\) irgendein Ring, in dem Null- und Einselement übereinstimmen, so folgt, dass \(R\) der Nullring ist.

Ein Körper ist demnach ein kommutativer Ring mit Eins, der mehr als ein Element hat und in dem jedes Element \(\ne 0\) ein inverses Element bezüglich der Multiplikation besitzt.

Ein Schiefkörper (Definition 4.10) ist ein (nicht notwendig kommutativer) Ring mit Eins, der mehr als ein Element hat und in dem jedes Element \(\ne 0\) ein inverses Element bezüglich der Multiplikation besitzt. Siehe Ergänzungen 4.9, 6.65, 10.20, 4.11, 5.64.

Beispiel 8.8

Seien \(K\) ein Körper und \(n\in \mathbb N\). Dann ist die Menge \(M_n(K)\) der quadratischen Matrizen der Größe \(n\) über \(K\) mit der üblichen Addition und Multiplikation von Matrizen ein Ring mit Eins. Ist \(n{\gt}1\), so ist dieser Ring nicht kommutativ.

Ergänzung 8.9 Die Einheitengruppe von \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\)

Sei \(n {\gt} 1\) eine natürliche Zahl. Dann ist \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\) wie oben bemerkt eine Gruppe bezüglich der Addition. Natürlich ist \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\) keine Gruppe bezüglich der Multiplikation, weil \(0\) kein inverses Element besitzt. Die Menge \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\setminus \{ 0\} \) ist genau dann eine Gruppe bezüglich der Multiplikation, wenn jedes Element ein Inverses besitzt, und wir haben gesehen, dass das genau dann der Fall ist, wenn \(n\) eine Primzahl ist (siehe Korollar 4.17 und die Diskussion davor).

Für beliebiges \(n{\gt}1\) definieren wir

\[ (\left.\mathbb Z\middle /n\right.)^\times := \{ a\in \left.\mathbb Z\middle /n\right.\setminus \{ 0\} ;\ \text{es existiert}\ b\in \left.\mathbb Z\middle /n\right.\ \text{mit}\ ab=ba=1 \} . \]

Es ist dann leicht zu sehen, dass \((\left.\mathbb Z\middle /n\right.)^\times \) eine Gruppe ist – das einzige Problem, die Existenz multiplikativer Inverser, haben wir sozusagen wegdefiniert. Man nennt \((\left.\mathbb Z\middle /n\right.)^\times \) die Einheitengruppe von \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\). (Diese Konstruktion kann man analog in jedem Ring \(R\) (Ergänzung 8.7) durchführen; man erhält dann die Einheitengruppe des Rings \(R^\times \).)

Wir können Satz 4.16 umformulieren als

Satz 8.10

Sei \(n{\gt}1\). Die Restklasse in \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\) einer ganzen Zahl \(a\in \mathbb Z\) liegt genau dann in \((\left.\mathbb Z\middle /n\right.)^\times \), wenn \(\operatorname{ggT}(a,n)=1\), d.h. wenn \(a\) und \(n\) teilerfremd sind.

8.1.2 Gruppenhomomorphismen

Sind \(G\), \(H\) Gruppen, so ist es meistens – ähnlich wie im Fall von Vektorräumen – sinnvoller, nicht beliebige Abbildungen von \(G\) nach \(H\) zu betrachten, sondern solche, die mit der Gruppenstruktur verträglich sind:

Definition 8.11

Seien \(G\), \(H\) Gruppen. Ein Gruppenhomomorphismus von \(G\) nach \(H\) ist eine Abbildung \(f\colon G\to H\), so dass für alle \(x, y \in G\) gilt:

\[ f(xy) = f(x)\, f(y). \]

Wir haben hier beide Gruppen \(G\) und \(H\) multiplikativ geschrieben. Auf der linken Seite werden \(x\) und \(y\) in \(G\) multipliziert (»verknüpft«), auf der rechten Seite werden \(f(x)\) und \(f(y)\) in \(H\) multipliziert. Wird beispielsweise die Verknüpfung auf \(G\) mit \(+\), die auf \(H\) mit \(\circ \) bezeichnet, so ist die Bedingung umzuschreiben als \(f(x+y) = f(x) \circ f(y)\). Die Menge aller Gruppenhomomorphismen von \(G\) nach \(H\) bezeichnen wir mit \(\operatorname{Hom}(G, H)\).

Ist \(f\colon G\to H\) ein Gruppenhomomorphismus, so gilt \(f(e_G) = e_H\), d.h. \(f\) bildet das neutrale Element von \(G\) auf das neutrale Element von \(H\) ab. Dies folgt aus der Rechnung

\[ f(e_G) = f(e_G e_G) = f(e_G) f(e_G), \]

indem man beide Seiten mit \(f(e_G)^{-1}\) multipliziert. Ferner gilt \(f(g^{-1})=f(g)^{-1}\), denn \(f(g^{-1})f(g) = f(g^{-1}g) = f(e_G) = e_H\).

Sind \(f\colon G_1\to G_2\) und \(g\colon G_2\to G_3\) Gruppenhomomorphismen, so ist die Verkettung \(g\circ f\colon G_1 \to G_3\) ebenfalls ein Gruppenhomomorphismus, wie man leicht nachprüft. Für jede Gruppe \(G\) ist die identische Abbildung \(\operatorname{id}\colon G\to G\) ein Gruppenhomomorphismus.

Beispiel 8.12

Die Abbildung \(\mathbb Z\to \left.\mathbb Z\middle /n\right.\), die eine ganze Zahl \(a\) auf ihre Restklasse in \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\) abbildet, ist ein Gruppenhomomorphismus. Das ist genau die Aussage \(\pi (x+x^\prime ) = \pi (x)+\pi (x^\prime )\) aus Lemma 4.13.

Ähnlich wie bei Vektorräumen definieren wir, aufbauend auf dem Begriff des Homomorphismus, den Begriff des Isomorphismus zwischen Gruppen:

Definition 8.13

Seien \(G\), \(H\) Gruppen. Ein Gruppenisomorphismus zwischen \(G\) und \(H\) ist ein Gruppenhomomorphismus \(f\colon G\to H\), so dass ein Gruppenhomomorphismus \(g\colon H\to G\) existiert mit \(g\circ f = \operatorname{id}_G\), \(f\circ g = \operatorname{id}_H\), d.h. \(f\) und \(g\) sind Umkehrabbildungen voneinander.

Wir sagen, zwei Gruppen \(G\) und \(H\) seien isomorph, wenn ein Isomorphismus zwischen \(G\) und \(H\) existiert. Wir schreiben dann \(G\cong H\). Wie bei Vektorräumen schreibt man im Fall von Isomorphismen auch \(G\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}H\) statt \(G\to H\).

Wir können dann die oben erwähnte »Identifikation« von \(GL_1(K)\) mit \(K^\times \) (für einen Körper \(K\)) vornehmer ausdrücken als: Die Abbildung \(GL_1(K) \to K^\times \), \((a)\mapsto a\), ist ein Gruppenisomorphismus mit Umkehrhomomorphismus \(a\mapsto (a)\). (Hier bezeichnet \((a)\) die \((1\times 1)\)-Matrix mit dem einzigen Eintrag \(a\).)

Lemma 8.14

Ein Gruppenhomomorphismus \(f\colon G\to H\) ist genau dann ein Isomorphismus, wenn er bijektiv ist.

Proof
Ist \(f\) ein Isomorphismus, so existiert eine Umkehrabbildung, also ist \(f\) bijektiv. Ist \(f\) bijektiv, so existiert eine Umkehrabbildung \(g\colon H\to G\) zwischen den Mengen \(G\) und \(H\) (es gilt also \(g\circ f = \operatorname{id}_G\), \(f\circ g=\operatorname{id}_H\)). Wir müssen zeigen, dass \(g\) ein Gruppenhomomorphismus ist.

Sind \(x^\prime , y^\prime \in H\) und \(x := g(x^\prime )\), \(y := g(y^\prime )\), also \(x^\prime = f(x)\), \(y^\prime = f(y)\), dann gilt

\[ g(x^\prime y^\prime ) = g(f(x)f(y)) = g(f(xy)) = xy = g(x^\prime )g(y^\prime ). \]

Proof

Beispiel 8.15
  1. Sei \(K\) ein Körper, \(n\in \mathbb N\). Dann ist die Abbildung

    \[ \operatorname{Aut}(K^n) \longrightarrow GL_n(K),\quad f\mapsto M(f), \]

    ein Gruppenisomorphismus mit Umkehrabbildung \(A\mapsto \mathbf f_A\). Das folgt aus Satz 7.26 und Lemma 7.27.

  2. Seien \(K\) ein Körper und \(V\) ein \(K\)-Vektorraum der Dimension \(n\in \mathbb N\) mit Basis \(\mathscr B= (v_1, \dots , v_n)\). Wir haben dann die Koordinatenabbildung \(c_\mathscr B\colon V\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}K^n\), ein Isomorphismus von \(K\)-Vektorräumen. Daraus erhalten wir einen Isomorphismus

    \[ \operatorname{Aut}(V) \longrightarrow \operatorname{Aut}(K^n),\quad f\mapsto c_\mathscr B\circ f\circ c_\mathscr B^{-1}. \]

    Durch Verkettung mit dem Isomorphismus aus Teil (1) erhalten wir den Gruppenisomorphismus

    \[ \operatorname{Aut}(V)\longrightarrow GL_n(K), \quad f\mapsto M^\mathscr B_\mathscr B(f). \]

Beispiel 8.16
  1. Sei \(G\) eine Gruppe und \(g\in G\). Die Abbildung \(c_g\colon G\to G\), \(x\mapsto gxg^{-1}\) ist ein Gruppenhomomorphismus (denn \(gxyg^{-1} = gxg^{-1}gyg^{-1}\)) und sogar ein Isomorphismus: Die Umkehrabbildung ist gegeben durch \(x\mapsto g^{-1}xg\). Man nennt die Abbildung \(c_g\) die Konjugation mit dem Element \(g\).

  2. Ist speziell \(G=GL_n(K)\) für einen Körper \(K\) und \(n\in \mathbb N\), so bezeichnen wir für \(A\in GL_n(K)\) die Abbildung \(GL_n(K)\to GL_n(K)\), \(M\mapsto AMA^{-1}\), als die Konjugation mit \(A\).

    Etwas allgemeiner sagt man, Matrizen \(M, M^\prime \in M_n(K)\) seien zueinander konjugiert, wenn \(A\in GL_n(K)\) existiert mit \(M^\prime =AMA^{-1}\). Eine andere häufig verwandte Bezeichnung für diesen Sachverhalt ist, dass \(M\) und \(M^\prime \) ähnlich seien.

    Wir haben diese Situation schon bei der Diskussion des Basiswechsels gesehen. In der Tat folgt aus Korollar 7.33 die folgende Aussage: Seien \(M, M^\prime \in M_n(K)\). Dann sind äquivalent:

    1. Die Matrizen \(M\) und \(M^\prime \) sind zueinander konjugiert.

    2. Es existieren Basen \(\mathscr B\), \(\mathscr B^\prime \) von \(K^n\), so dass

      \[ M^\prime = M^{\mathscr B}_{\mathscr B^\prime }\, M\, M^{\mathscr B^\prime }_\mathscr B. \]
    3. Es existieren eine lineare Abbildung \(f\colon K^n\to K^n\) und Basen \(\mathscr B\), \(\mathscr B^\prime \) von \(K^n\), so dass

      \[ M = M^\mathscr B_\mathscr B(f),\quad M^\prime = M^{\mathscr B^\prime }_{\mathscr B^\prime }(f). \]

    Die Frage, wie man entscheidet, ob Matrizen \(M,M’\in M_n(K)\) zueinander konjugiert sind, wird uns in der Linearen Algebra 2 für einige Zeit beschäftigen.

8.1.3 Untergruppen

Ähnlich wie wir für Vektorräume den Begriff des Untervektorraums definiert haben, können wir auch von Untergruppen sprechen.

Definition 8.17

Sei \(G\) eine Gruppe (multiplikativ geschrieben). Eine Untergruppe von \(G\) ist eine Teilmenge \(H\subseteq G\) mit den folgenden Eigenschaften:

  1. \(1\in H\),

  2. für alle \(g, g^\prime \in H\) gilt \(gg^\prime \in H\),

  3. für alle \(g\in H\) gilt \(g^{-1}\in H\),

Ist \(H\subseteq G\) eine Untergruppe, so ist \(H\) mit der Einschränkung der Verknüpfung von \(G\) selbst eine Gruppe.

Lemma 8.18

Sei \(G\) eine Gruppe. Seien \(H, H^\prime \subseteq G\) Untergruppen. Dann ist \(H\cap H^\prime \) eine Untergruppe.

Allgemeiner gilt: Der Durchschnitt einer beliebigen Familie von Untergruppen einer Gruppe \(G\) ist eine Untergruppe.

Proof
Wir beweisen direkt die allgemeine Form. Seien \(H_i \subseteq G\), \(i\in I\), Untergruppen von \(G\), und sei \(H := \bigcap _{i\in I} H_i\).

Das neutrale Element von \(G\) liegt in allen \(H_i\), also auch in \(H\). Sind \(x, y \in H\), so gilt \(x,y\in H_i\) und demnach \(xy\in H_i\) für alle \(i\), da \(H_i\) nach Voraussetzung eine Untergruppe ist. Es folgt \(xy\in H\). Ähnlich sieht man, dass für jedes \(x\in H\) das inverse Element \(x^{-1}\in G\) in \(H\) liegen muss.

Proof

Definition 8.19

Sei \(G\) eine Gruppe, und sei \(M\subseteq G\) eine Teilmenge von \(G\). Wir bezeichnen mit \(\langle M \rangle \) den Durchschnitt aller Untergruppen von \(G\), die \(M\) enthalten. Dies ist eine Untergruppe von \(G\) (nach Lemma 8.18) und ist die kleinste Untergruppe von \(G\), die \(M\) enthält. Wir nennen \(\langle M\rangle \) die von \(M\) erzeugte Untergruppe von \(G\).

Für \(M = \{ g_1,\dots , g_n\} \) schreibt man auch \(\langle g_1\dots , g_n\rangle \) statt \(\langle \{ g_1,\dots , g_n\} \rangle \).

Beispiel 8.20
  1. Wir betrachten \(\mathbb Z\) als Gruppe bezüglich der Addition. Ist \(a\in \mathbb Z\), so ist \(\langle a\rangle \), die von \(a\) erzeugte Untergruppe, die Menge aller Vielfachen von \(a\):

    \[ \langle a \rangle = \{ ka;\ k\in \mathbb Z\} . \]

    Denn die rechte Seite ist eine Untergruppe von \(\mathbb Z\), wie man leicht nachprüft. Offensichtlich enthält sie \(a\) und damit auch \(\langle a\rangle \). Andererseits liegen mit \(a\) auch \(-a\) und alle Summen der Form \(a+\cdots +a\) und \((-a)+\cdots + (-a)\) in \(\langle a\rangle \).

  2. Wir betrachten nochmals \(\mathbb Z\) als Gruppe bezüglich der Addition und wählen nun zwei ganze Zahlen \(a,b\in \mathbb Z\). Dann ist

    \[ \langle a,b\rangle = \{ k\, \operatorname{ggT}(a,b);\ k\in \mathbb Z\} = \langle \operatorname{ggT}(a,b)\rangle \]

    die Menge aller Vielfachen des größten gemeinsamen Teilers von \(a\) und \(b\). Jedenfalls ist klar, dass sowohl \(a\) als auch \(b\) Vielfache von \(\operatorname{ggT}(a,b)\) sind, also gilt \(\subseteq \). Für die umgekehrte Inklusion kann man Lemma 3.53 benutzen (das hatten wir nur innerhalb einer Ergänzung behandelt, aber inzwischen sind Sie soweit, dass Sie den Beweis in ein paar Minuten nachvollziehen können).

  3. Wir können Teil (1) folgendermaßen verallgemeinern: Sei \(G\) irgendeine Gruppe (die wir nun multiplikativ schreiben wollen), und sei \(g\in G\). Wir schreiben \(g^n\) für das \(n\)-fache Produkt von \(g\) mit sich selbst (für \(n\in \mathbb N\), wie üblich sei \(g^0\) das neutrale Element von \(G\)), und \(g^{-n} = (g^{-1})^n\). Dann gilt

    \[ \langle g\rangle = \{ g^k;\ k\in \mathbb Z\} . \]

    Zur Begründung muss man sich, ähnlich wie in Teil (1), eigentlich nur überlegen, dass die rechte Seite eine Untergruppe von \(G\) ist. Daraus folgt die Gleichheit dann leicht.

    Ist \(G\) eine Gruppe, die ein Element \(g\) enthält mit \(\langle g \rangle =G\), so sagt man, \(G\) sei von einem Element erzeugt oder \(G\) sei eine zyklische Gruppe. Es ist klar, dass jede zyklische Gruppe kommutativ ist. Beispiele sind \(\mathbb Z= \langle 1\rangle \) und \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.= \langle \overline{1}\rangle \) (jeweils mit der Addition als Verknüpfung). Es ist nicht sehr schwer zu zeigen, dass dies die einzigen zyklischen Gruppen sind in dem Sinne, dass jede zyklische Gruppe \(G\) zu einer der genannten Gruppen isomorph ist.

  4. Die Untergruppe von \(GL_n(K)\), die erzeugt wird von allen Matrizen der Form \(E_{ij}(a)\), \(P_{ij}\) und \(\operatorname{diag}(1, \dots , 1, a, 1, \dots , 1)\), \(a\in K^\times \) (vergleiche Bemerkung 5.37), ist \(GL_n(K)\). Denn jede invertierbare Matrix hat als reduzierte Zeilenstufenform die Einheitsmatrix, und das bedeutet gerade, dass sie sich als Produkt von Matrizen der oben genannten Typen schreiben lässt.

Ergänzung 8.21 Die von einer Teilmenge erzeugte Gruppe

Als wir den von einer Teilmenge \(M\) eines Vektorraums \(V\) erzeugten Untervektorraum \(\langle M\rangle \) eingeführt haben, haben wir gezeigt, dass \(\langle M\rangle \) gleich dem Durchschnitt aller Untervektorräume von \(V\) ist, die \(M\) enthalten. Im Vektorraumfall ist es aber auch einfach, die Elemente von \(\langle M\rangle \) (einigermaßen) explizit anzugeben: es sind alle Linearkombinationen von Elementen aus \(M\). Das war unsere Definition von \(\langle M\rangle \). Aber wir hätten natürlich auch die Charakterisierung als Durchschnitt zur Definition machen können.

Im Fall von Gruppen ist es etwas komplizierter und auch weniger nützlich, eine explizite Beschreibung der Elemente einer Untergruppe der Form \(\langle M\rangle \) zu geben. Deswegen haben wir oben die von \(M\) erzeugte Untergruppe als den Durchschnitt aller Untergruppen, die \(M\) enthalten, definiert.

Eine »konkrete« Beschreibung ist die folgende: Sei \(G\) eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe, \(M\subseteq G\). Da \(\langle M\rangle \) eine Untergruppe ist, sind neben den Elementen von \(M\) auch deren Inverse und alle Produkte von Elementen dieser Form in \(\langle M\rangle \). Es gilt also

\[ \left\{ \prod _{i=1}^N m_i^{\varepsilon _i};\ N\in \mathbb N,\ m_1,\dots , m_N\in M,\ \varepsilon _1,\dots , \varepsilon _N\in \{ 1, -1\} \right\} \subseteq \langle M\rangle . \]

Andererseits ist die linke Seite eine Untergruppe von \(G\), die \(M\) enthält. Deshalb stimmen diese beiden Mengen überein. Man beachte, dass man die Anzahl \(N\) der Faktoren in dem Produkt im allgemeinen nicht beschränken kann. Selbst wenn \(M\) endlich ist, muss man (wenn immer \(\langle M\rangle \) unendlich ist) beliebig große \(N\) zulassen, um alle Elemente in der obigen Form darzustellen.

Je nachdem, in welcher Form die Gruppe \(G\) gegeben ist und was über ihre Struktur bekannt ist, kann es sehr schwierig sein zu entscheiden, ob Elemente in \(G\), die als solche Produkte gegeben sind, gleich sind.

8.1.4 Kern und Bild von Gruppenhomomorphismen

Auch für Gruppenhomomorphismen definiert man Kern und Bild. Die Definitionen sind analog zu den Definitionen, die wir vom Vektorraumkontext schon kennen.

Definition 8.22

Sei \(f\colon G\to H\) ein Gruppenhomomorphismus.

  1. Der Kern von \(f\) ist die Untergruppe

    \[ \operatorname{Ker}(f) := \{ g\in G;\ f(g) = 1 \} \]

    von \(G\). (Hier bezeichnet \(1\in H\) das neutrale Element.)

  2. Das Bild von \(f\) ist das Bild \(\operatorname{Im}(f) = f(G)\) von \(f\) im Sinne des Bildes einer Abbildung zwischen Mengen. Dies ist eine Untergruppe von \(H\).

Wir überlassen es der Leserin als Übung nachzuprüfen, dass Kern und Bild eines Gruppenhomomorphismus tatsächlich Untergruppen sind.

Ergänzung 8.23 Normalteiler

Im allgemeinen ist nicht jede Untergruppe von \(G\) der Kern eines Gruppenhomomorphismus in irgendeine andere Gruppe. Hier verhalten sich Gruppen also anders als Vektorräume über einem Körper. Dieses Phänomen wird uns später noch beschäftigen (jedenfalls in der Algebra-Vorlesung). Man kann zeigen, dass jede Untergruppe einer kommutativen Gruppe auch der Kern irgendeines Gruppenhomomorphismus ist. Im allgemeinen Fall sind die Untergruppen, die auch als Kern auftreten, gerade die sogenannten Normalteiler.

Lemma 8.24

Sei \(f\colon G\to H\) ein Gruppenhomomorphismus. Die Abbildung \(f\) ist genau dann injektiv, wenn \(\operatorname{Ker}(f) = \{ 1\} \) ist. (Man sagt, der Kern von \(f\) sei trivial.)

Proof
Der Beweis ist einfach und verläuft genau wie im Vektorraumfall. Wenn \(f\) injektiv ist, kann höchstens ein Element auf \(1\in H\) abgebildet werden, und aus \(f(1)=1\) folgt \(\operatorname{Ker}(f)=\{ 1\} \). Ist andererseits der Kern von \(f\) trivial und sind \(g,g^\prime \in G\) mit \(f(g)=f(g^\prime )\), so folgt

\[ f(g^{-1} g^\prime ) = f(g)^{-1} f(g^\prime ) = 1, \]

also \(g^{-1} g^\prime = 1\), das heißt \(g=g^\prime \).

Proof

8.1.5 Permutationsmatrizen

Sei \(K\) ein Körper. Wir definieren

Definition 8.25

Eine Matrix \(P\in M_n(K)\) heißt Permutationsmatrix, wenn in jeder Zeile und jeder Spalte genau ein Eintrag von Null verschieden ist, und alle diese nicht-verschwindenden Einträge gleich \(1\) sind.

Beispiel 8.26
  1. Die Einheitsmatrix \(E_n\) ist eine Permutationsmatrix.

  2. Die Permutationsmatrizen der Größe \(3\) sind

    \[ \begin{pmatrix} 1 \\ & 1 \\ & & 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} & 1 \\ 1 \\ & & 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1 \\ & & 1 \\ & 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} & & 1 \\ & 1 \\ 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} & & 1 \\ 1 \\ & 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} & 1 \\ & & 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \]

    wobei wir die Nullen der Übersichtlichkeit halber weggelassen haben.

Wir bezeichnen mit \(W_n\) die Menge aller Permutationsmatrizen. Eine äquivalente Definition ist die folgende: Eine Matrix \(P\in M_n(K)\) ist genau dann eine Permutationsmatrix, wenn \(\mathbf f_P(\{ e_1,\dots , e_n\} ) = \{ e_1,\dots , e_n\} \), das heißt, \(\mathbf f_P\) bildet jeden Standardbasisvektor \(e_j\) auf einen der Standardbasisvektoren ab, und jeder Standardbasisvektor tritt dabei als Bild auf. Die Standardbasisvektoren werden also untereinander vertauscht oder permutiert – daher der Name Permutationsmatrix. Insbesondere bildet \(\mathbf f_P\) eine Basis auf eine Basis ab, und ist daher ein Isomorphismus. (Konkret gilt \(P^{-1} = P^t\).) Es gilt also \(W_n\subseteq GL_n(K)\) und darüberhinaus:

Lemma 8.27

Die Teilmenge \(W_n\subseteq GL_n(K)\) der Permutationsmatrizen ist eine Untergruppe.

Proof
Es ist klar, dass die Eigenschaft, dass \(\mathbf f_P\) eine Bijektion der Menge \(\{ e_1,\dots , e_n\} \) mit sich selbst induziert, sich auf Verkettungen und die Umkehrabbildung überträgt.
Proof

Ist \(\sigma \colon \{ 1, \dots , n\} \to \{ 1, \dots , n\} \) eine Bijektion, also ein Element der symmetrischen Gruppe \(S_n = \operatorname{Bij}(\{ 1, \dots , n\} )\), so definieren wir einen Isomorphismus \(f_\sigma \colon K^n\to K^n\) durch

\[ f(e_i) = e_{\sigma (i)},\quad i=\dots , n. \]

Dann ist die Abbildung \(S_n \to GL_n(K)\), \(\sigma \mapsto M(f_\sigma )\), ein injektiver Gruppenhomomorphismus mit Bild \(W_n\), induziert also einen Isomorphismus \(S_n\cong W_n\). Zum Beweis, dass dies ein Homomorphismus ist, muss man nur überprüfen, dass für \(\sigma ,\tau \in S_n\) gilt, dass \(f_{\sigma \tau } = f_\sigma \circ f_\tau \), und das ist einfach (denn es genügt, das auf den Vektoren der Standardbasis nachzurechnen). Dass die Abbildung Bild in \(W_n\) hat und eine Bijektion \(S_n\to W_n\) induziert, ist nicht schwer zu sehen. Wir schreiben auch \(P_\sigma := M(f_\sigma )\). Die \(j\)-te Spalte von \(P_\sigma \) ist also \(e_{\sigma (j)}\).

8.1.6 Symmetriegruppen

Seien \(K\) ein Körper und \(V\) ein \(K\)-Vektorraum. Für eine Teilmenge \(M\subseteq V\) nennen wir

\[ \operatorname{Stab}(M) = \{ f\in \operatorname{Aut}(V);\ f(M) = M \} \]

die Symmetriegruppe von \(M\) (man spricht auch vom Stabilisator von \(M\) in \(\operatorname{Aut}(V)\)). Dies ist, wie der Name andeutet, eine Untergruppe von \(\operatorname{Aut}(V)\): Offenbar gilt \(\operatorname{id}_V\in \operatorname{Stab}(M)\), für \(f,g\in \operatorname{Stab}(M)\) gilt \(f(g(M))=f(M)=M\), also \(f\circ g\in \operatorname{Stab}(M)\), und aus \(f(M)=M\) folgt durch Anwenden von \(f^{-1}\) auf beiden Seiten, dass \(M=f^{-1}(M)\), also \(f^{-1}\in \operatorname{Stab}(M)\).

Um einige konkrete Beispiele angeben zu können, betrachten wir den Fall \(K=\mathbb R\) und \(V=\mathbb R^n\), \(n\in \mathbb N\). Wir können dann \(\operatorname{Aut}(V)=\operatorname{Aut}(\mathbb R^n)\) mit der Gruppe \(GL_n(\mathbb R)\) der invertierbaren Matrizen der Größe \(n\) identifizieren, wie wir in Beispiel 8.15 gesehen haben.

Beispiel 8.28 Symmetriegruppe eines Quadrats in \(\mathbb R^2\)

Die folgenden linearen Abbildungen bilden das Quadrat \(Q\subset \mathbb R^2\) mit Eckpunkten \((1,1)^t, (1, -1)^t, (-1,1)^t, (-1,-1)^t\) auf sich selbst ab:

Beschreibung

Darstellende Matrix

Identität

\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Drehung um \(90^\circ \) gegen den Uhrzeigersinn

\(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)

Drehung um \(180^\circ \) gegen den Uhrzeigersinn

\(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)

Drehung um \(270^\circ \) gegen den Uhrzeigersinn

\(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)

Spiegelung an der waagerechten Koordinatenachse

\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)

Spiegelung an der Diagonalen \(\langle (1,1)^t\rangle \)

\(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)

Spiegelung an der senkrechten Koordinatenachse

\(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Spiegelung an der Diagonalen \(\langle (1,-1)^t\rangle \)

\(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)

Es ist leicht zu sehen, dass es keine weiteren Automorphismen \(f\) von \(\mathbb R^2\) mit \(f(Q)=Q\) gibt: Jede lineare Abbildung, die das Quadrat fixiert, muss auch jeden Eckpunkt des Quadrates auf einen Eckpunkt abbilden. Weil \((1,1)^t\) und \((1,-1)^t\) linear unabhängig sind, ist eine lineare Abbildung durch ihre Werte auf diesen beiden Punkten bereits eindeutig bestimmt. Weil benachbarte Eckpunkte auf benachbarte Eckpunkte abgebildet werden müssen, wie man sich leicht überlegt, folgt, dass es höchstens \(8\) Möglichkeiten gibt.

Wenn wir die Ecken durchnummerieren, etwa \(E_1 = (1,1)^t, E_2 = (1, -1)^t, E_3 = (-1,1)^t, E_4 = (-1,-1)^t\), liefert jede der obigen Abbildungen eine Bijektion \(\{ E_1, E_2, E_3, E_4\} \to \{ E_1, E_2, E_3, E_4\} \), und ist durch diese Bijektion eindeutig bestimmt. Wir erhalten so einen injektiven Gruppenhomomorphismus

\[ \operatorname{Stab}(Q) \to \operatorname{Bij}(\{ E_1, E_2, E_3, E_4\} ). \]

Die Gruppe \(\operatorname{Stab}(M)\) nennt man auch die Diedergruppe mit \(8\) Elementen. Wir bezeichnen sie mit \(D_8\); in einigen Quellen wird stattdessen die Bezeichnung \(D_4\) benutzt. (Aussprache: Di-edergruppe, das erste e wird getrennt vom i ausgesprochen und trägt auch die Betonung.)

Die Gruppe \(\operatorname{Stab}(Q)\) ist nicht abelsch. (Können Sie ein Beispiel von zwei Elementen finden, für die das Kommutativgesetz nicht gilt?) Man kann leicht nachrechnen, oder durch eine geometrische Überlegung begründen, dass die Gruppe \(\operatorname{Stab}(Q)\) erzeugt wird von \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) (es gibt natürlich auch noch andere Möglichkeiten, die Gruppe durch zwei Elemente zu erzeugen). Insbesondere lässt sich \(\operatorname{Stab}(Q)\) durch Spiegelungen erzeugen.

Die vier Drehungen (um \(0^\circ \), \(90^\circ \), \(180^\circ \), \(270^\circ \)) bilden eine Untergruppe von \(\operatorname{Stab}(Q)\).

Ergänzung 8.29 Symmetriegruppe des regelmäßigen \(n\)-Eckes in \(\mathbb R^2\)

Das vorhergehende Beispiel können wir verallgemeinern und statt des Quadrats ein regelmäßiges \(n\)-Eck in \(\mathbb R^2\) betrachten, dessen Zentrum der Ursprung \((0,0)^t\) ist. (Hier sei \(n\ge 3\) eine natürliche Zahl. Unter einem regelmäßigen \(n\)-Eck verstehen wir einen geschlossenen Streckenzug, der aus \(n\) Strecken (und folglich \(n\) Eckpunkten, an denen je zwei Strecken zusammenkommen) besteht, wobei alle Strecken gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind.)

\begin{tikzpicture} [scale=2]
        \ifplastex\else\tikzstyle{every node}=[font=\tiny]\fi
        \clip (-1.5, -1.5) rectangle + (3,3);
        \draw[->, gray, thick] (-1.5, 0) -- (1.5, 0);
        \draw[->, gray, thick] (0, -1.5) -- (0, 1.5);
        \draw[gray] (0, 0) circle[radius=1cm];

        \draw[ultra thick] (1,0) -- 
            (0.62348980, 0.78183148) --
            (-0.2225209, 0.97492791) --
            (-0.9009688, 0.43388373) --
            (-0.9009688, -0.4338837) --
            (-0.2225209, -0.9749279) --
            (0.62348980, -0.7818314) -- (1,0);
        \draw[red] (-2.000000, -0.000000) -- (2.000000, 0.000000);
        \draw[red] (-1.246980, -1.563663) -- (1.246980, 1.563663);
        \draw[red] (0.445042, -1.949856) -- (-0.445042, 1.949856);
        \draw[red] (1.801938, -0.867767) -- (-1.801938, 0.867767);
        \draw[red] (1.801938, 0.867767) -- (-1.801938, -0.867767);
        \draw[red] (0.445042, 1.949856) -- (-0.445042, -1.949856);
        \draw[red] (-1.246980, 1.563663) -- (1.246980, -1.563663);

        \foreach \x in {-1, 1}{
            \draw[black] (\x, -0.07) -- (\x, 0.07) node[black, below, xshift=.1cm, yshift=-.2cm] {\x};
        };
        \foreach \x in {-1, 1}{
            \draw[black] (-0.07, \x) -- (0.07, \x) node[black, left, xshift=-.2cm, yshift=.1cm] {\x};
        };
    \end{tikzpicture}
Figure 8.1 Ein regelmäßiges Siebeneck, dessen Ecken auf dem Einheitskreis liegen. Die Symmetrieachsen sind in rot eingezeichnet. Die Symmetriegruppe besteht aus den Spiegelungen an diesen Geraden und den sieben Drehungen um \(i\cdot 360/7\) Grad, \(i=0, \dots , 6\).

Die Symmetriegruppe des regelmäßigen \(n\)-Eckes hat \(2n\) Elemente, und zwar \(n\) Drehungen (um den \(\frac in\)-ten Teil des Vollwinkels, \(i=0,\dots , n-1\)) und \(n\) Spiegelungen (an den Ursprungsgeraden durch die Eckpunkte und an den Ursprungsgeraden durch die Seitenmittelpunkte; je nachdem, ob \(n\) ungerade ist, enthält jede dieser Geraden einen Eckpunkt und einen Seitenmittelpunkt, oder zwei Punkte desselben Typs). Sie lässt sich durch zwei (geeignet gewählte) Spiegelungen erzeugen. Man nennt diese Gruppe auch die Diedergruppe mit \(2n\) Elementen; wir bezeichnen sie mit \(D_{2n}\). In einigen Quellen wird sie stattdessen mit \(D_n\) bezeichnet.

Ergänzung 8.30 Symmetriegruppe des Würfels in \(\mathbb R^3\)

Natürlich ist es auch interessant, die Symmetriegruppen von Teilmengen von \(\mathbb R^3\) zu studieren. Betrachten wir zum Beispiel den Würfel mit Eckpunkten \((1,1,1)^t\), \((1,1,-1)^t\), \((1,-1,1)^t\), \((-1,1,1)^t\), \((-1,-1,1)^t\), \((-1,1,-1)^t\), \((1,-1,-1)^t\), \((-1,-1,-1)^t\).

Die Symmetriegruppe hat \(48\) Elemente, darunter \(24\) Drehungen und \(24\) Spiegelungen (vergleiche Ergänzung 7.59).

Die Drehungen bilden eine Untergruppe der Symmetriegruppe des Würfels. Jede Drehung induziert eine Permutation der Raumdiagonalen des Würfels (als Raumdiagonale bezeichnet man eine Gerade durch zwei Eckpunkte des Würfels, die auch durch den Ursprung geht). Man kann zeigen, dass jede Permutation der Raumdiagonalen durch eine Drehung realisiert werden kann, und dass eine Drehung durch die entsprechende Permutation der Raumdiagonalen eindeutig bestimmt ist. Daraus folgt, dass die Untergruppe der Drehungen des Würfels isomorph ist zur symmetrischen Gruppe \(S_4\).