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A.5 Eigenwerte

Definition A.34

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $f\in \operatorname{End}_K(V)$. Ein Eigenvektor von $f$ zum Eigenwert $\lambda \in K$ ist ein Element $v\in V\setminus \{ 0\} $, so dass $f(v)=\lambda v$. Ein Element $\lambda \in K$ wird als Eigenwert von $f$ bezeichnet, wenn ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda $ existiert.

Ist $\lambda \in K$ ein Eigenwert von $f$, so nennen wir

\[ V_\lambda (f) = \{ v\in V;\ f(v)=\lambda v\} \]

den zugehörigen Eigenraum.

Ist $A\in M_n(K)$ eine Matrix, so nennt man die Eigenwerte und Eigenwerte der Abbildung $\mathbf f_A$ auch die Eigenwerte bzw. Eigenvektoren von $A$. Für jede Basis $\mathscr B$ von $V$ stimmen dann die Eigenwerte von $f\in \operatorname{End}_K(V)$ und von $M^\mathscr B_\mathscr B(f)$ überein (aber nicht notwendigerweise die jeweiligen Eigenvektoren, die ja sogar in unterschiedlichen Vektorräumen liegen, wenn $V$ nicht der Standardvektorraum $K^n$ ist).

Satz A.35

Seien $V$ ein $K$-Vektorraum und $f\in \operatorname{End}_K(V)$. Sind $v_1, \dots , v_m\in V$ Eigenvektoren von $f$ zu paarweise verschiedenen Eigenwerten, so ist die Familie $v_1, \dots , v_m$ linear unabhängig.

Definition A.36
  1. Sei $V$ ein endlich-dimensionaler $K$-Vektorraum und $f$ ein Endomorphismus von $V$. Wir nennen $f$ diagonalisierbar, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:

    1. Es existiert eine Basis $\mathscr B$ von $V$, so dass $M^\mathscr B_\mathscr B(f)$ eine Diagonalmatrix ist.

    2. Es existiert eine Basis von $V$, die aus Eigenvektoren von $f$ besteht.

    3. Der Vektorraum $V$ ist die (direkte) Summe der Eigenräume von $f$.

  2. Eine Matrix $A\in M_n(K)$ heißt diagonalisierbar, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:

    1. Es existiert eine invertierbare Matrix $S$, so dass $SAS^{-1}$ eine Diagonalmatrix ist.

    2. Der Endomorphismus $\mathbf f_A$ von $K^n$ ist diagonalisierbar im Sinn von Teil (1).