Wir müssen, um den Begriff des Winkels so definieren zu können, wie wir es vorhaben, nicht nur die Länge einer Strecke, sondern auch die Länge eines »Bogens«, also entlang einer »Kurve«, messen können – zum Beispiel den Umfang des Einheitskreises \(S^1:= \{ x\in \mathbb R^2;\ \lVert x\rVert = 1\} \) oder eines Teils davon.

Wie man die Länge solcher Wege messen könnte, war lange Zeit ein wichtiges ungelöstes mathematisches Problem.

Es würde zu weit führen, die entsprechende Theorie hier vollständig auszuarbeiten, aber wir skizzieren die Kernpunkte. Weitere Details finden Sie in der Literatur, siehe die Hinweise am Ende dieses Abschnitts.

Wie üblich bezeichnen wir für reelle Zahlen \(a {\lt} b\) mit \([a,b] := \{ x\in \mathbb R; a \le x \le b\} \) das abgeschlossene Intervall mit den Endpunkten \(a\) und \(b\), mit \((a,b) := \{ x\in \mathbb R;\ a {\lt} x {\lt} b\} \) das offene Intervall und mit \([a, b)\) bzw. \((a, b]\) die entsprechenden halboffenen Intervalle.

Unser erstes Ziel ist es, einen vernünftigen Begriff für die Länge eines »Weges« in \(\mathbb R^n\) anzugeben. Unter einem Weg verstehen wir dabei Folgendes:

Dass eine Abbildung \(\gamma \colon [a,b]\to \mathbb R^n\) stetig ist, ist damit gleichbedeutend (und Sie können das dementsprechend als Definition nehmen), dass alle Verkettungen \(p_i \circ \gamma \colon [a,b]\to \mathbb R\) stetig sind, wobei \(p_i\colon \mathbb R^n\to \mathbb R\), \((x_1,\dots , x_n)^t\mapsto x_i\), die Projektion auf den \(i\)-ten Eintrag bezeichnet.

Für uns ist nur der Fall, dass \(\gamma \) injektiv ist, von Bedeutung, und es schadet nicht, wenn Sie das von vorneherein annehmen. Formal ist es im Moment aber noch nicht erforderlich.

Wir nennen eine Funktion \(\gamma \colon [a,b]\to \mathbb R^n\) (komponentenweise) stetig differenzierbar auf \([a,b]\), wenn für alle Projektionen \(p_i\) die Verkettung \(\gamma _i:= p_i\circ \gamma \) auf dem \([a,b]\) differenzierbar ist, und die Ableitungsfunktion stetig ist. In den Randpunkten \(a\) und \(b\) betrachten wir dazu die einseitige Ableitung und fordern die einseitige Stetigkeit.

Wir bezeichnen dann mit \(\gamma ^\prime \colon [a,b]\to \mathbb R^n\) die Funktion \(x\mapsto (\gamma _1^\prime (x),\dots , \gamma _n^\prime (x))^t\).

Sind \(\gamma _1\colon [a,b]\to \mathbb R^n\) und \(\gamma _2\colon [b, c]\to \mathbb R^n\) rektifizierbare Wege mit \(\gamma _1(b)=\gamma _2(b)\), so ist der Weg \(\gamma \colon [a,c]\to \mathbb R^n\), der durch »Zusammensetzen« der Wege \(\gamma _1\) und \(\gamma _2\) entsteht (d.h. \(\gamma (t) = \gamma _1(t)\) für \(t\in [a,b]\), \(\gamma (t) = \gamma _2(t)\) für \(t\in [b,c]\)) ebenfalls rektifizierbar, und es gilt \(L_a^c(\gamma ) = L_a^b(\gamma _1) + L_b^c(\gamma _2)\). Wenn man das ausnutzt, kann man den vorherigen Satz auch anwenden, um die Länge von Wegen durch Integrale auszudrücken, die durch Zusammensetzen von stetig differenzierbaren Wegen entstehen, die aber an den »Verbindungsstellen« nicht unbedingt stetig differenzierbar sein müssen.

Nun wollen wir von der Weglänge übergehen zur Länge des Bildes \(\operatorname{Im}(\gamma )\) eines Weges \(\gamma \). Es ist klar, dass nur dann vernünftig ein Zusammenhang zur Weglänge hergestellt werden kann, wenn der betrachtete Weg (jedenfalls »im wesentlichen«, siehe unten) eine injektive Abbildung ist (also wenn wir nicht »unterwegs umkehren, ein Stück zurücklaufen, und dann auf demselben Weg weiterlaufen«). Daher definieren wir

Um die Länge eines Jordanbogens \(\Gamma \) definieren zu können, ist entscheidend, dass alle injektiven Wege mit Bild \(\Gamma \) dieselbe Weglänge haben. Das werden wir aus dem folgenden Satz folgern können:

Zum Beweis definiert man \(\varphi (t) = \gamma _2^{-1}(\gamma _1(t))\), was möglich ist, weil \(\gamma _2\) eine Bijektion \([a_2, b_2]\to \Gamma \) ist und daher eine Umkehrfunktion besitzt. Es ist nicht schwer nachzuprüfen, dass \(\varphi \) stetig und streng monoton ist.

Mit etwas zusätzlicher Arbeit kann man dieses Korollar, insbesondere also die Definition der Länge eines Jordanbogens verallgemeinern auf den Fall, dass \(\gamma \) injektiv auf \([a, b)\) ist und dass \(\gamma (a)=\gamma (b)\) gilt. Man spricht dann von einem geschlossenen Jordanbogen.

Ist \(f\) eine Isometrie oder eine Verschiebung, dann ist die Verkettung eines rektifizierbaren Weges mit \(f\) ein rektifizierbarer Weg derselben Länge (denn \(f\) erhält die Länge von Strecken), und daher bildet \(f\) Jordanbögen auf Jordanbögen derselben Länge ab.

Wir können nun zeigen, dass der Einheitskreis ein Jordanbogen ist. Wenn man die trigonometrischen Funktionen \(\sin \) und \(\cos \) schon kennt, und beispielsweise die Zahl \(\pi \) so definiert, dass \(\frac{\pi }{2}\) die kleinste positive Nullstelle der Kosinusfunktion ist, dann kann man den Weg \(\gamma \colon [0, 2\pi ]\to \mathbb R^2\), \(t\mapsto (\cos (t), \sin (t))^t\) benutzen, dessen Bild der Einheitskreis ist und der auf \([0, 2\pi )\) injektiv ist, um dies zu zeigen, und sieht dann auch direkt, dass der Einheitskreis Umfang \(2\pi \) hat.

Wir wollen das aber hier noch nicht benutzen. Wir können dann zwar nicht einen stetig differenzierbaren Weg mit Bild \(S^1\) angeben, aber es genügt ja, den Einheitskreis in einige Stücke zu zerlegen und für die einzelnen Stücke nachzuweisen, dass es sich um Jordanbögen handelt.

Die Funktion \(\gamma \colon [-1,1]\to \mathbb R^2\), \(t\mapsto (t, \sqrt{1-t^2})^t\), hat als Bild die »obere Hälfte« des Einheitskreises, also die Menge \(\{ (x,y)^t\in \mathbb R^2;\ x^2+y^2=1,\ y\ge 0\} \). Mit der Vorschrift \(t\mapsto -\sqrt{1-t^2}\) erhalten wir die untere Hälfte, also die Punkte \((x,y)^t\) des Einheitskreises mit \(y\le 0\).

Allerdings sind diese beiden Wege nur auf \((-1, 1)\), nicht jedoch auch \([-1,1]\) stetig differenzierbar. Wir können aber auch die Wege \(t\mapsto (\sqrt{1-t^2}, t)^t\) und analog \(t\mapsto (-\sqrt{1-t^2}, t)^t\) betrachten, die für \(t\in [-1,1]\) die rechte bzw. linke Hälfte des Einheitskreises (also die Kreisbögen mit \(x\ge 0\), bzw. mit \(x\le 0\)) als Bild haben und auch auf dem offenen Intervall \((-1,1)\) stetig differenzierbar sind. Man kann dann diese Wege geeignet zusammensetzen, beispielsweise indem man jeden von ihnen für ein Viertel des Einheitskreises »benutzt«.

Insgesamt sehen wir

Als ersten wichtigen Schritt zum Winkelbegriff können wir nun die Zahl \(\pi \) definieren.

Anhand unserer Definition ist klar, dass der Umfang eines regelmäßigen \(n\)-Ecks, dessen Eckpunkte alle auf dem Einheitskreis liegen, eine untere Schranke für \(2\pi \) ist. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass die Folge dieser Umfänge für \(n\to \infty \) gegen \(2\pi \) konvergiert.