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6.6 Produkt und direkte Summe von Vektorräumen

Sei $K$ ein Körper. Sind $V_1$, …, $V_n$ Vektorräume über $K$, so ist das kartesische Produkt $V_1 \times \cdots \times V_n$, also die Menge aller $n$-Tupel $(v_1, \dots , v_n)$ mit $v_i\in V_i$, $i=1, \dots , n$ mit der komponentenweisen Addition

\[ (v_1, \dots , v_n) + (w_1, \dots , w_n) := (v_1+w_1, \dots , v_n + w_n) \]

und der komponentenweisen Skalarmultiplikation

\[ a \cdot (v_1, \dots , v_n) = (a v_1, \dots , a v_n) \]

ein $K$-Vektorraum. Dies prüft man leicht nach, weil sich alle Bedingungen in den einzelnen Einträgen separat überprüfen lassen und man nur benutzen muss, dass alle $V_i$ Vektorräume sind. Wir nennen diesen Vektorraum das Produkt der Vektorräume $V_1$, …, $v_n$.

Genauso definiert man das Produkt $\prod _{i\in I}V_i$ einer (möglicherweise unendlichen) Familie $(V_i)_{\in I}$ von Vektorräumen über $K$. Ist $V = V_i$ für alle $I$, so schreiben wir auch $V^I = \prod _{i\in I} V$ für diesen Vektorraum. Die Vektorraumstruktur auf dem Produkt ist dieselbe wie die, die wir in Beispiel 6.2 auf $\operatorname{Abb}(I, V)$ definiert haben.

Die Teilmenge

\[ \bigoplus _{i\in I} V_i := \left\{ (v_i)_i \in \prod _{i\in I} V_i; \text{höchstens endlich viele}\ v_i\ \text{sind}\ \ne 0 \right\} \]

von $\prod _{i\in I} V_i$ ist ein Untervektorraum und heißt die direkte Summe der Vektorräume $V_i$. Man spricht manchmal auch vom Koprodukt der Vektorräume $V_i$.

Wenn die Indexmenge $I$ endlich ist, dann gilt natürlich $\bigoplus _{i\in I} V_i = \prod _{i\in I} V_i$.

Bemerkung 6.51

Wir hatten das Symbol $\oplus $ in Definition 6.12 schon in einer etwas anderen Weise definiert, und zwar hatten wir für Untervektorräume $U, W$ eines Vektorraums $V$ die Summe von $U$ und $W$ als $U\oplus W$ geschrieben, wenn $U\cap W = 0$ gilt. Wir können das leicht mit der neuen Schreibweise zusammenbringen, denn unter der Voraussetzung $U\cap W = 0$ können wir den Vektorraum $U\oplus W$ (im neu definierten Sinne) identifizieren mit der Summe $U+W$; das ist genau die Aussage von Lemma 6.15.

Wenn es notwendig ist, den kleinen Unterschied zwischen den beiden Sichtweisen zu betonen, dann bezeichnet man manchmal die in diesem Abschnitt definierte direkte Summe als die äußere direkte Summe, und die vorherige Bezeichnung als die innere direkte Summe. Die äußere direkte Summe ist also eine Konstruktion, die aus zwei (oder mehr) Vektorräumen einen neuen konstruiert; wir können $U\oplus W$ für beliebige Untervektorräume, sogar $V\oplus V$, und $V\oplus V^\prime $ für Vektorräume $V$, $V^\prime $, die gar nicht Untervektorräume desselben Vektorraums sind, betrachten. Eine innere direkte Summe zu bilden, ist eine Eigenschaft, die Untervektorräume eines Vektorraums haben können, oder eben nicht – es ist gerade die Eigenschaft, dass die äußere direkte Summe dieser Untervektorräume mit der Summe innerhalb des umgebenden Vektorraums identifiziert werden kann. Siehe auch Bemerkung 7.13.

Im Fall $V_i = V$ für alle $i$, dass also alle »Summanden« übereinstimmen, schreibt man auch $V^{(I)}$ statt $\bigoplus _{i\in I} V$. Es ist also $V^{(I)}$ der Vektorraum aller durch $I$ indizierter Familien von Elementen aus $V$, in denen höchstens endlich viele Vektoren vom Nullvektor verschieden sind, mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation.

Beispiel 6.52

Seien $K$ ein Körper, $I$ eine Menge, und $V = K^{(I)} = \bigoplus _{i\in I} K$, die durch $I$ indizierte direkte Summe von Kopien von $K$. Ist $I = \{ 1, \dots , n\} $, so ist $K^{(I)} = K^I = K^n$ der Standardvektorraum von $n$-Tupeln von Elementen von $K$.

In jedem Fall können wir für $i\in I$ mit $e_i\in K^{(I)}$ das Element bezeichnen, das an der Stelle $i$ den Eintrag $1$, und überall sonst den Eintrag $0$ hat. Ist $v=(v_i)_{i\in I}$ irgendein Element von $K^{(I)}$, so gilt

\[ v = \sum _{i\in I} v_i e_i, \]

wobei wir die Summe bilden können, weil nur endlich viele $v_i$ von Null verschieden sind, und es sich daher letztlich um eine endliche Summe handelt. Dies ist die einzige Linearkombination der $e_i$, die den Vektor $v$ darstellt, und wir sehen so, dass $(e_i)_{i\in I}$ eine Basis von $K^{(I)}$ ist. Diese Basis nennt man auch die Standardbasis von $K^{(I)}$, und bezeichnet die $e_i$ als die Standardbasisvektoren.

Da diese Familie für unendliche Mengen $I$ aus unendlich vielen Elementen besteht, sehen wir erneut, dass der Vektorraum $K^{(I)}$ nicht endlich erzeugt ist.

Ist $I$ unendlich, so hat $K^I$ den nicht-endlich-erzeugten Untervektorraum $K^{(I)}$, ist also wegen Satz 6.44 nicht endlich erzeugt. Es ist aber nicht möglich, ähnlich explizit wie im vorherigen Beispiel eine Basis von $K^I$ anzugeben.

Sind $V_1, \dots , V_n$ Vektorräume über dem Körper $K$, so können wir aus Basen der $V_i$ eine Basis der direkten Summe »zusammensetzen«:

Lemma 6.53

Seien $K$ ein Körper und seien $V_1, \dots , V_n$ Vektorräume über $K$. Für $i=1,\dots , n$ sei $\iota _i\colon V_i \to \bigoplus _{i=1}^n V_i$ die Abbildung, die $v\in V_i$ abbildet auf das Element $(0, \dots , 0, v, 0, \dots , 0)$ (mit $v$ an der $i$-ten Stelle).

Ist $\mathscr B_i\subset V_i$ eine Basis, $i=1, \dots , n$, so ist $\bigcup _{i=1}^n \iota _i(\mathscr B_I)$ eine Basis von $\bigoplus _{i=1}^n V_i$.

Beweis

Per Induktion können wir uns auf den Fall der direkten Summe $V\times W$ von zwei Vektorräumen beschränken. Die Abbildungen $\iota $ sind dann $v\mapsto (v, 0)$ und $w\mapsto (0, w)$. Sei $v_1, \dots , v_m$ eine Basis von $V$ und $w_1,\dots , w_n$ eine Basis von $W$.

Für $(v,w)\in V\oplus W$ schreiben wir

\[ v = \sum _{i=1}^m a_iv_i,\quad w=\sum _{j=1}^n b_jw_j. \]

Dann ist

\[ (v,w) = \sum _{i=1}^m a_i (v_i, 0) + \sum _{j=1}^n b_j(0, w_j), \]

und es ist leicht zu sehen, dass diese Darstellung eindeutig ist.

Das Lemma lässt sich auch auf den Fall von unendlichen direkten Summen verallgemeinern. Im endlich erzeugten Fall erhalten wir als Folgerung:

Korollar 6.54

Seien $K$ ein Körper und seien $V_1, \dots , V_n$ endlich erzeugte Vektorräume über $K$. Dann gilt

\[ \dim \bigoplus _{i=1}^n V_i = \sum _{i=1}^n \dim (V_i). \]