Ergänzend hier noch einige zusätzliche Anmerkungen dazu, inwiefern die Determinante »eindeutig bestimmt« ist bzw. eine Abbildung \(M_n(K)\to K\) ist, die sich in »natürlicher Weise« ergibt. Um sich zu überzeugen, dass es sich lohnt, die Determinante in die Theorie der linearen Abbildungen mit aufzunehmen, benötigt man diese Überlegungen natürlich nicht. Die Determinante wird uns beim weiteren Aufbau der Theorie an verschiedenen Stellen nutzen. Natürlich ist die Determinante auch nicht eindeutig bestimmt als Abbildung \(M_n(K)\to K\) – es ist ja klar, dass es viele andere Abbildungen \(M_n(K)\to K\) gibt (sowohl interessante wie die Spurabbildung aus Abschnitt 9.4, als auch viele uninteressante). Es ist also eher die Frage, durch welche ihrer Eigenschaften man die Determinante eindeutig charakterisieren kann. Wir haben gesehen, dass die Determinante die eindeutig bestimmte Abbildung \(M_n(K)\to K\) ist, die alternierend und multilinear in den Spalten ist und die Einheitsmatrix auf das Element \(1\in K\) abbildet. Aus den weiteren Überlegungen (insbesondere Satz 9.17) ergibt sich, dass sie auch die einzige solche Abbildung ist, die alternierend und multilinear in den Zeilen ist, und die Einheitsmatrix auf \(1\) abbildet. Eine andersartige Charakterisierung erlaubt nun der folgende Satz, in dem wir zunächst über die Einschränkung von \(\det \) auf den Definitionsbereich \(GL_n(K)\) und Wertebereich \(K^\times \) sprechen; vergleiche aber auch das dem Satz folgende Lemma.

Mit Methoden, die über das hinausgehen, was uns im Moment zur Verfügung steht, kann man das folgende Lemma beweisen. Es zeigt über unendlichen Körpern und unter der vernünftigen Zusatzvoraussetzung, dass die Determinante als ein polynomialer Ausdruck in den Koeffizienten der betrachteten Matrix gegeben sei, dass die Determinante für invertierbare Matrizen schon die Werte auf allen Matrizen festlegt.

Um das Lemma zu beweisen, benutzt man ein Argument aus der Topologie, nämlich, dass die Menge der invertierbaren Matrizen in der Menge aller Matrizen »dicht« liegt. Über einem allgemeinen Körper verwendet man dafür die sogenannte Zariski-Topologie, die in der algebraischen Geometrie eingeführt wird. Über dem Körper der reellen Zahlen (und ähnlich über dem Körper der komplexen Zahlen) kann man die üblichen Begriffe des Grenzwerts und der Stetigkeit benutzen. Die Menge \(GL_n(\mathbb R)\) ist dicht in \(M_n(\mathbb R)\); das bedeutet, dass es zu jeder Matrix \(A\in M_n(K)\) eine Folge \((A_i)_{i\ge 0}\) invertierbarer Matrizen mit \(\lim _{i\to \infty } A_i = A\) gilt. Der Limes von Matrizen soll hier einfach eintragsweise gebildet werden. Wir lassen den Beweis hier aus. Die Voraussetzung an \(\Delta \) impliziert, dass diese Abbildung ebenso wie die Determinante in den Einträgen der Matrix stetig ist, es gilt also

wegen der Voraussetzung, dass \(\Delta \) und \(\det \) für invertierbare Matrizen übereinstimmen.

Hierher passt auch gut eine Erläuterung, wie sich die Leibniz-Formel aus den Eigenschaften der Determinante sozusagen zwingend ergibt, wie man also »auf die Formel kommen kann«. Natürlich wissen wir schon, dass die Determinante die eindeutig bestimmte in den Spalten alternierende multilineare Abbildung \(M_n(K)\to K\) ist, die \(E_n\) auf \(1\) abbildet, und deshalb mit dem durch die Leibniz-Formel gegebenen Ausdruck übereinstimmen muss. Man kann den Zusammenhang folgendermaßen noch expliziter herstellen und, wenn man möchte, auch den Existenzbeweis für die Determinante führen, ohne die Leibniz-Regel zu benutzen.

Wir benutzen dafür wieder die Notation, die wir in Abschnitt 9.3 definiert haben, um den Laplaceschen Entwicklungssatz zu formulieren. Sei \(A\in M_n(K)\) und \(A_{ij}\) also die Matrix, die aus \(A\) entsteht, indem die \(i\)-te Zeile und \(j\)-te Spalte durch die jeweiligen (transponierten) Standardbasisvektoren ersetzt werden. Sei \(A^\circ _{ij}\) die Matrix, die aus \(A\) entsteht, indem die \(j\)-te Zeile durch den Standardbasisvektor \(e_i\) ersetzt wird. Die anderen Einträge der \(i\)-ten Zeile sollen nicht verändert werden. Dann lässt sich \(A^\circ _{ij}\) durch elementare Spaltenumformungen vom Typ I in die Matrix \(A_{ij}\) umformen; es folgt \(\Delta (A_{ij}) = \Delta (A^\circ _{ij})\) für jede Determinantenfunktion \(\Delta \colon M_n(K)\to K\).

Mit dieser Bemerkung erhalten wir die Aussage des Laplaceschen Satzes für die \(j\)-te Spalte für jede Determinantenfunktion \(\Delta \), also

wobei wir im ersten Schritt die Multilinearität von \(\Delta \), konkret die Linearität in der \(j\)-ten Spalte benutzen.

Die Leibniz-Formel wird in diesem Argument nicht benötigt. Stattdessen können wir nun die Leibniz-Formel aus dem Entwicklungssatz induktiv »herleiten«. Nehmen wir also an, dass wir die Leibniz-Formel für Determinanten der Größe \((n-1)\times (n-1)\) bereits kennen. Wir erhalten durch Entwicklung nach der letzten Spalte, dass

wobei wir (nur an dieser einen Stelle) \(k^{(i)} = \begin{cases} k & k {\lt} i \\ k+1 & k\ge i\end{cases}\) setzen. Die letzte Summe können wir mit der Leibniz-Formel für \(\det (A)\) identifizieren, indem wir die entsprechende Überlegung im Beweis von Satz 9.29 in die andere Richtung als dort durchführen.

Wie schon bemerkt, kann man in dieser Weise auch die Existenz einer Determinantenfunktion \(\Delta \) mit \(\Delta (E_n) = 1\) durch Induktion nach \(n\) zeigen. Insbesondere wird die Leibniz-Formel an keiner Stelle zwingend für den Aufbau der Theorie benötigt.