Lineare Algebra I, WS 2020/21

Inhalt

9.4 Die Spur einer Matrix

Zum Abschluss des Kapitels definieren wir noch die sogenannte Spur einer quadratischen Matrix. Die Spur von \(A\) ist, wie die Determinante, ein Element von \(K\). Einerseits ist die Spur einfacher zu definieren als die Determinante, andererseits ist es zu Beginn weniger klar, was man aus der Spur von \(A\) über die Matrix \(A\) »ablesen« kann. Jedenfalls werden wir sehen, dass zueinander konjugierte Matrizen dieselbe Spur haben. Nachdem wir die Theorie der Eigenwerte einer Matrix in der Linearen Algebra 2 noch weiter vertieft haben, werden wir die Spur auch noch durchsichtiger interpretieren können.

Definition 9.35

Sei \(A = (a_{ij})_{i,j}\in M_{n\times n}(K)\). Wir definieren die Spur von \(A\) als

\[ \operatorname{Spur}(A) = \sum _{i=1}^n a_{ii}, \]

das heißt als die Summe der Diagonalelemente von \(A\).

Es gilt \(\operatorname{Spur}(A+B)=\operatorname{Spur}(A)+\operatorname{Spur}(B)\) und \(\operatorname{Spur}(aA)=a\, \operatorname{Spur}(A)\) für \(A,B\in M_n(K)\), \(a\in K\), wir erhalten also eine lineare Abbildung \(\operatorname{Spur}\colon M_n(K)\to K\).

Satz 9.36

Seien \(A\in M_{m\times n}(K)\) und \(B\in M_{n\times m}(K)\) Matrizen. Dann gilt \(\operatorname{Spur}(AB) = \operatorname{Spur}(BA)\).

Beweis

Wir bezeichnen die Einträge von \(A\) mit \(a_{ij}\), die von \(B\) mit \(b_{ij}\). Dann gilt

\[ \operatorname{Spur}(AB) = \sum _{i=1}^m \sum _{j=1}^n a_{ij}b_{ji} = \sum _{j=1}^n \sum _{i=1}^m b_{ji}a_{ij} = \operatorname{Spur}(BA). \]

Korollar 9.37

Sei \(A\in M_{n\times n}(K)\), \(S\in GL_n(K)\). Dann gilt \(\operatorname{Spur}(A) = \operatorname{Spur}(SAS^{-1})\), d.h. zueinander konjugierte Matrizen haben dieselbe Spur.

Beweis

Nach dem Satz gilt \(\operatorname{Spur}(SAS^{-1}) = \operatorname{Spur}(S^{-1}SA) = \operatorname{Spur}(A)\).

Das bedeutet, dass für zueinander konjugierte Matrizen \(A\) und \(B\) gilt: \(\operatorname{Spur}(A^j) = \operatorname{Spur}(B^j)\) für alle \(j\ge 0\). (Denn wenn \(B = SAS^{-1}\), dann gilt \(B^j = SA^j S^{-1}\) für alle \(j\ge 0\).) Das kann man manchmal benutzen, um zu zeigen, dass zwei gegebene Matrizen \(A\) und \(B\) nicht zueinander konjugiert sind: Es genügt, ein \(j\) zu finden, so dass \(A^j\) und \(B^j\) nicht dieselbe Spur haben.

Weil konjugierte Matrizen dieselbe Spur haben, gilt für jeden Endomorphismus \(f\) eines endlich-dimensionalen \(K\)-Vektorraums \(V\), dass die Spur der Matrix \(M^\mathscr B_\mathscr B(f)\) unabhängig ist von der Wahl der Basis \(\mathscr B\). Daher ist die folgende Definition sinnvoll.

Definition 9.38

Seien \(K\) ein Körper und \(f\) ein Endomorphismus des endlich-dimensionalen \(K\)-Vektorraums \(V\). Sei \(\mathscr B\) eine Basis von \(V\). Dann heißt \(\operatorname{Spur}(f):=\operatorname{Spur}(M^\mathscr B_\mathscr B(f))\) auch die Spur des Endomorphismus \(f\).