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7.2 Kern und Bild einer linearen Abbildung

Sei \(f\colon V\rightarrow W\) ein \(K\)-Vektorraumhomomorphismus.

Definition 7.20

Der Kern von \(f\) ist definiert als

\[ \operatorname{Ker}(f) := f^{-1}(\{ 0 \} ) = \{ v\in V;\ f(v) = 0 \} . \]

Wie bei jeder Abbildung, so haben wir auch für die lineare Abbildung \(f\) den Begriff des Bildes \(\operatorname{Im}(f)\): \(\operatorname{Im}(f) = \{ f(v);\ v\in V\} \subseteq W\).

Lemma 7.21

Für jede lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) ist \(\operatorname{Ker}(f)\) ein Untervektorraum von \(V\) und \(\operatorname{Im}(f)\) ein Untervektorraum von \(W\).

Proof
Weil \(f(0)=0\) ist, ist \(0\in Ker(f)\). Sind \(v, v^\prime \in \operatorname{Ker}(f)\), so gilt \(f(v+v^\prime )=f(v)+f(v^\prime )=0+0=0\), also \(v+v^\prime \in \operatorname{Ker}(f)\). Sind \(v\in \operatorname{Ker}(f)\) und \(a\in K\), so gilt \(f(av)=af(v)=a\cdot 0 =0\), also \(av\in \operatorname{Ker}(f)\).

Wir zeigen nun die Behauptung für \(\operatorname{Im}(f)\). Es gilt \(f(0)=0\), also \(0\in \operatorname{Im}(f)\). Sind \(w, w^\prime \in \operatorname{Im}(f)\), so existieren \(v, v^\prime \in V\) mit \(w=f(v)\), \(w^\prime =f(v^\prime )\). Dann gilt

\[ w+w^\prime = f(v) + f(v^\prime ) = f(v+v^\prime ) \in \operatorname{Im}(f) \]

wegen der Linearität von \(f\). Für \(w = f(v) \in \operatorname{Im}(f)\) und \(a\in K\) erhalten wir entsprechend \(aw = af(v) = f(av)\in \operatorname{Im}(f)\).

Proof

Satz 7.22

Die lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) ist genau dann injektiv, wenn \(\operatorname{Ker}(f)=\{ 0\} \).

Proof
Wenn \(f\) injektiv ist, kann es höchstens ein Element von \(V\) geben, das auf \(0\in W\) abgebildet wird. Weil jedenfalls \(f(0) =0\) gilt, folgt \(\operatorname{Ker}(f)=\{ 0\} \). Ist andererseits \(\operatorname{Ker}(f)=\{ 0\} \) und gilt \(f(v) = f(v^\prime )\), so folgt \(f(v-v^\prime )=f(v)-f(v^\prime )=0\), also \(v-v^\prime \in \operatorname{Ker}(f) = 0\), das heißt \(v=v^\prime \).
Proof

Eine injektive lineare Abbildung \(V\to W\) nennt man auch einen Monomorphismus. Eine surjektive lineare Abbildung \(V\to W\) nennt man auch einen Epimorphismus.

Für eine Matrix \(A\) gilt \(\operatorname{Ker}(A) = \operatorname{Ker}(\mathbf f_A)\), \(\operatorname{Im}(A) = \operatorname{Im}(\mathbf f_A)\). Nun ist \(\operatorname{Ker}(A)\) gerade die Lösungsmenge des durch \(A\) gegebenen linearen Gleichungssystems, und \(\operatorname{Im}(A)\) ist der Teilraum derjenigen Vektoren \(b\), für die das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Koeffizientenmatrix \((A\mid b)\) lösbar ist. Wir können also die hier gegebenen Definitionen von Kern und Bild einer linearen Abbildung als (weitreichende) Verallgemeinerungen dieser Konzepte aus der Theorie der linearen Gleichungssysteme betrachten. Andererseits liefert die abstrakte Sichtweise auch Erkenntnisse über lineare Gleichungssysteme: Das folgende Theorem, die Dimensionsformel für lineare Abbildungen, gibt eine präzise und sehr elegante Antwort auf die in Frage 5.27 (2) formulierte Frage, siehe auch Abschnitt 7.4.

Theorem 7.23 Dimensionsformel für lineare Abbildungen

Sei \(f\colon V\rightarrow W\) eine lineare Abbildung zwischen \(K\)-Vektorräumen und sei \(V\) endlich-dimensional. Dann gilt:

\[ \dim V = \dim \operatorname{Ker}f + \dim \operatorname{Im}f. \]

Die Zahl \(\dim \operatorname{Im}f\) heißt auch der Rang von \(f\), in Zeichen: \(\operatorname{rg}(f)\).

Proof
Sei \(U\subseteq V\) ein Komplementärraum von \(\operatorname{Ker}(f)\). Wir bezeichnen die Einschränkung von \(f\) auf \(U\) mit \(f_{|U}\). Ihr Bild liegt natürlich in \(\operatorname{Im}(f)\). Wir zeigen gleich, dass \(f_{|U}\colon U \to \operatorname{Im}(f)\) ein Isomorphismus ist. Daraus folgt jedenfalls der Satz, denn es folgt \(\dim (U) = \dim \operatorname{Im}(f)\) und damit \(\dim V = \dim \operatorname{Ker}(f) + \dim U = \dim \operatorname{Ker}(f) + \dim \operatorname{Im}(f)\) (benutze Satz 6.46 oder Korollar 6.54 und Lemma 7.11).

Um zu zeigen, dass \(f_{|U}\colon U \to \operatorname{Im}(f)\) ein Isomorphismus ist, zeigen wir die Injektivität und die Surjektivität.

Injektivität. Ist \(u\in U\), \(f_{|U}(u) = 0\), so gilt \(u\in U\cap \operatorname{Ker}(f) = 0\), also \(u=0\).

Surjektivität. Sei \(w\in \operatorname{Im}(f)\). Dann existiert \(v\in V\) mit \(f(v)=w\). Wir schreiben \(v = v^\prime + u\) mit \(v^\prime \in \operatorname{Ker}(f)\), \(u\in U\) und erhalten

\[ f_{|U}(u) = f(v-v^\prime ) = f(v) - f(v^\prime ) = w. \]

Proof

Korollar 7.24

Seien \(V\), \(W\) endlich-dimensionale \(K\)-Vektorräume mit \(\dim V = \dim W\). Ferner sei \(f\colon V\rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Dann sind äquivalent:

  1. \(f\) ist ein Isomorphismus,

  2. \(f\) ist injektiv,

  3. \(f\) ist surjektiv.

Proof
Wir schreiben \(d = \dim (V) = \dim (W)\), \(d^\prime = \dim \operatorname{Ker}(f)\) und \(d^{\prime \prime } = \dim \operatorname{Im}(f)\). Dann gilt \(0\le d^\prime , d^{\prime \prime } \le d\) und die Dimensionsformel besagt \(d^\prime + d^{\prime \prime } = d\). Daraus folgt die Äquivalenz

\[ d^\prime =0\ \text{und}\ d^{\prime \prime } = d \quad \Longleftrightarrow \quad d^\prime = 0\quad \Longleftrightarrow \quad d^{\prime \prime } = d. \]

Das Korollar folgt nun daraus, dass \(d^\prime =0\) gleichbedeutend damit ist, dass \(\operatorname{Ker}(f)=0\), also dass \(f\) injektiv ist, und dass \(d^{\prime \prime }=d\) bedeutet, dass \(\operatorname{Im}(f) = W\), also dass \(f\) surjektiv ist.

Proof

Beachten Sie die Analogie zu Satz 3.64 der besagt, dass eine Abbildung zwischen endlichen Mengen mit gleich vielen Elementen genau dann injektiv ist, wenn sie surjektiv ist.

Wir skizzieren noch einen etwas anderen Beweis des Korollars, der direkt Theorem 6.43 und das folgende einfache Lemma benutzt.

Lemma 7.25

Sei \(f\colon V\to W\) ein Vektorraum-Homomorphismus. Seien \(v_1, \dots , v_n\in V\) linear unabhängig. Wir schreiben \(w_i := f(v_i)\). Dann sind äquivalent:

  1. Die Abbildung \(f\) ist injektiv.

  2. Die Familie \(w_1, \dots , w_n\) ist linear unabhängig.

Sei nun \(f\colon V\to W\) wie im Korollar ein Homomorphismus zwischen Vektorräumen derselben Dimension \(n\), und sei \(v_1,\dots , v_n\) eine Basis. Ist \(f\) injektiv, so sind die Bilder \(f(w_i)\) nach dem Lemma ebenfalls linear unabhängig, bilden also nach Theorem 6.43 eine Basis. Damit enthält \(\operatorname{Im}(f)\) ein Erzeugendensystem, \(f\) ist folglich surjektiv. Ist andererseits \(f\) surjektiv, so bilden die \(f(v_i)\), die offenbar das Bild von \(f\) erzeugen, ein Erzeugendensystem von \(W\), das aus \(\dim (W)\) Elementen besteht, also eine Basis. Nach dem Lemma ist \(f\) injektiv.

Für Abbildungen der Form \(\mathbf f_A\) für eine Matrix \(A\) folgt der Satz auch unmittelbar aus Korollar 5.22 (und andersherum erhalten wir mit dem obigen Satz einen neuen Beweis dieses Korollars).