Die Eindeutigkeit zeigt man, wie schon erwähnt, nach dem üblichen Prinzip, wie wir es in Satz 18.4 gesehen haben. Weil zwischen zwei verschiedenen Tensorprodukten ein eindeutiger Isomorphismus existiert, haben wir (genau) eine Möglichkeit, alle Tensorprodukte in kompatibler Weise miteinander zu identifizieren. Daher ist es gerechtfertigt, von dem Tensorprodukt zu sprechen und es mit dem Symbol \(V\otimes _KW\) zu bezeichnen, ohne sich auf eine konkrete Konstruktion festzulegen. Wichtig ist, dass die bilineare Abbildung \(V\times W\to V\otimes _KW\) immer »mit dazugehört«. Diese Abbildung ist Teil des Datums eines Tensorprodukt und ist essentiell, um die Eindeutigkeit sicherzustellen.

Es bleibt, die Existenz eines Tensorprodukts zu beweisen. Wir geben zwei Beweise dafür, zunächst einen, der sich gut auf andere Situationen verallgemeinert, zum Beispiel kann man auch das Tensorprodukt von kommutativen Gruppen konstruieren, oder allgemeiner das Tensorprodukt von »Moduln« über einem kommutativen Ring (wie Sie sie in den Ergänzungen kennenlernen können, siehe Abschnitt 18.7), und dann einen, der speziell auf die Vektorraumsituation zugeschnitten und daher etwas einfacher ist.

Erster Beweis. Seien \(V\) und \(W\) gegeben. Sei \(S\) der Vektorraum \(K^{(V\times W)}\), also

ein »riesengroßer« Vektorraum, dessen Elemente Tupel \((a_i)_i\) mit \(a_i\in K\) sind, wobei der Index \(i\) die Menge \(V\times W\) durchläuft und in jedem Element von \(S\) nur endlich viele Einträge von Null verschieden sind.

Wir erhalten eine Abbildung

wobei \(e_{(v,w)}\) den »Standardbasisvektor« bezeichne, der an der Stelle mit Index \((v,w)\in V\times W\) eine Eins hat, und sonst überall Nullen. Diese Abbildung ist allerdings offensichtlich (! – machen Sie sich das klar …) nicht bilinear. Wir werden das gesuchte Tensorprodukt als einen Quotientenvektorraum von \(S\) erhalten, wobei wir einen möglichst kleinen Untervektorraum aus \(S\) herausteilen, der gerade groß genug ist, dass die Abbildung von \(V\times W\) in den Quotientenvektorraum bilinear ist.

Und zwar sei \(T\) der Quotientenvektorraum von \(S\) nach dem Untervektorraum \(S^\prime \), der von allen Elementen der folgenden Form erzeugt wird:

für \(a, a^\prime \in K\), \(v,v^\prime \in V\), \(w, w^\prime \in W\).

Wir erhalten durch Verkettung der oben genannten Abbildung \(V\times W\to S\) mit der kanonischen Projektion \(S\to T\) eine Abbildung \(\beta \colon V\times W \to T\), und diese ist bilinear. Dann sind \(v, v^\prime \in V\), \(a, a^\prime \in K\) und \(w\in W\), so gilt

also werden die Elemente \(e_{(av+a^\prime v^\prime , w)}\) und \((ae_{(v,w)} +a^\prime e_{(v^\prime , w)})\) von \(S\) unter der kanonischen Projektion \(S\to T\) auf dasselbe Element von \(T\) abgebildet, und das bedeutet gerade \(\beta (av+a^\prime v^\prime , w) = a\beta (v,w)+a^\prime \beta (v^\prime , w)\), also dass \(\beta \) linear in der ersten Variablen ist. Die Linearität in der zweiten Variablen zeigt man ganz analog.

Behauptung. \(T\) zusammen mit der Abbildung \(\beta \) ist ein Tensorprodukt von \(V\) und \(W\).

Begründung. Sei \(b\colon V\times W\to U\) eine bilineare Abbildung. Jedenfalls kann es höchstens eine lineare Abbildung \(\psi \colon T\to U\) geben, so dass \(b = \psi \circ \beta \) gilt, denn die \(e_{(v,w)}\) bilden ein Erzeugendensystem von \(S\) (sogar eine Basis), und daher bilden ihre Bilder ein Erzeugendensystem von \(T\). Das Bild \(\overline{e}_{(v,w)}\) von \(e_{(v,w)}\) in \(T\) muss aber unter \(\psi \) auf \(b(v,w)\) abgebildet werden, so dass \(\psi \) eindeutig festgelegt ist.

Es bleibt zu zeigen, dass eine Abbildung \(\psi \) mit \(\psi (\overline{e}_{(v,w)}) = b(v,w)\) für alle \(v\in V\); \(w\in W\) existiert. (Hier ist noch etwas zu tun, weil die \(\overline{e}_{(v,w)}\) keine Basis von \(T\) bilden, wir also ihre Bilder nicht beliebig festlegen können.)

Wir können jedenfalls eine (eindeutig bestimmte) lineare Abbildung \(S\to U\) definieren durch \(e_{(v,w)}\mapsto b(v,w)\), denn die \(e_{(v,w)}\) bilden eine Basis von \(S\). Wenn wir zeigen können, dass \(U\) im Kern dieser Abbildung liegt, dann folgt aus dem Homomorphiesatz, dass sie über eine Abbildung \(\psi \colon T\to U\) faktorisiert, die genau die gewünschte Eigenschaft hat.

Es genügt dazu zu zeigen, dass alle Elemente des Erzeugendensystems, das wir benutzt haben, um \(U\) zu definieren, im Kern der Abbildung liegen. In der Tat wird

wegen der Linearität der Abbildung abgebildet auf \(b(av+a^\prime v^\prime , w) - ab(v,w) - a^\prime b(v^\prime , w)\), und dies ist \(=0\), weil \(b\) nach Voraussetzung bilinear ist. Für den anderen Typ von Elementen unseres Erzeugendensystems können wir analog vorgehen.

Zweiter Beweis. Wir können alternativ benutzen, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Damit kann man vermeiden, mit einem »sehr großen« Vektorraum wie \(S\) im ersten Beweis arbeiten zu müssen.

Seien \((b_i)_{i\in I}\) eine Basis von \(V\) und \((c_j)_{j\in J}\) eine Basis von \(W\). Sei \(T:= K^{(I\times J)}\), wir haben also die Standardbasis \((e_{ij})_{(i,j)\in I\times J}\) von \(T\).

Sei \(\beta \colon V\times W \to T\) die eindeutig bestimmte bilineare Abbildung mit

Explizit bedeutet das für beliebige Elemente von \(V\) und \(W\) (die wir als Linearkombination der jeweiligen Basen schreiben), dass

gilt (wobei in den Summen jeweils nur endlich viele Summanden \(\ne 0\) sind). Es ist nicht schwer nachzuprüfen, dass diese Abbildung tatsächlich bilinear ist.

Behauptung. \(T\) mit dieser Abbildung ist ein Tensorprodukt von \(V\) und \(W\).

Begründung. Sei \(b\colon V\times W\to U\) eine bilineare Abbildung. Wir definieren \(\psi \colon T\to U\) durch \(e_{ij}\mapsto b(b_i, c_j)\). Man rechnet dann nach, dass \(\psi \circ \beta = b\) gilt. Es ist auch klar, dass dies die einzige Möglichkeit ist, eine Abbildung \(T\to U\) zu definieren, deren Verkettung mit \(\beta \) die vorgegebene Abbildung \(b\) liefert.

Man kann das Lemma mit einem Blick auf die Konstruktion des Tensorprodukts in Satz 18.38 beweisen; aus dem zweiten Beweis ergibt sich die Aussage ganz direkt, weil wir dort gesehen haben, dass für Basen \((b_i)_i\) von \(V\) und \((c_j)_j\) von \(W\) die Elemente \(b_i\otimes c_j\) sogar eine Basis von \(V\otimes _K W\) liefern.

Da aber versprochen wurde, dass man die Konstruktion direkt wieder vergessen kann, hier noch ein anderer Beweis, der mit der universellen Eigenschaft arbeitet. Sei \(T\subseteq V\otimes _K W\) der von allen Elementartensoren erzeugte Untervektorraum. Wir wollen zeigen, dass die Inklusionsabbildung \(T\to V\otimes _KW\) ein Isomorphismus ist – das bedeutet gerade, dass \(T=V\otimes _KW\) gilt.

Es ist aber leicht zu sehen, dass auch \(T\) die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt. Denn ist \(b\colon V\times W\to U\) irgendeine bilineare Abbildung, so existiert zunächst eine lineare Abbildung \(\psi \colon V\otimes _KW\to U\) mit \(b=\psi \circ \beta \).

Verketten wir \(\psi \) mit der Inklusion \(T\subseteq V\otimes _KW\), so erhalten wir eine lineare Abbildung \(\varphi \colon T\to U\) mit \(b = \varphi \circ \beta \). Es ist klar, dass \(\varphi \) eindeutig bestimmt ist, denn das Bild ist ja auf jedem Elementartensor \(v\otimes w\) durch \(\varphi (v\otimes w)=b(v,w)\) festgelegt. Weil das Tensorprodukt durch die universelle Eigenschaft eindeutig bestimmt ist bis auf eindeutigen Isomorphismus, folgt, dass die Inklusion \(T\to V\otimes _KW\) tatsächlich ein Isomorphismus ist.

Wie praktisch immer bei Abbildungen aus einem Tensorprodukt heraus, verwenden wir zum Beweis die universelle Eigenschaft. (Das bedeutet insbesondere, dass wir nicht direkt die Linearität der Zuordnungsvorschrift \(v\otimes w\mapsto f(v)\otimes g(w)\) nachprüfen – erstens ist das problematisch, weil ja gar nicht alle Elemente die Form von Elementartensoren haben, zweitens ist das auch nicht der Kernpunkt, weil wir als erstes die Wohldefiniertheit der entsprechenden Vorschrift zeigen müssen).

Die universelle Eigenschaft hier anzuwenden, ist ganz einfach. Wir müssen nur beobachten, dass die Abbildung

bilinear ist, und das folgt direkt aus der Linearität von \(f\) und \(g\) und den Eigenschaften des Tensorprodukts \(V^\prime \otimes _KW^\prime \).

In allen Fällen konstruiert man die angegebene Abbildung mit der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts, und kann dann eine Umkehrabbildung konstruieren. Zum Beispiel im ersten Fall: Die Abbildung \(K\times W\to W\), \((a,w)\mapsto aw\), ist bilinear, es gibt also eine (eindeutig bestimmte) Abbildung wie in (1). Die Abbildung \(W\to K\otimes _KW\), \(w\mapsto 1\otimes w\) ist dazu invers.

Es folgt aus den Eigenschaften des Tensorprodukts, dass für alle \(\varphi \) und \(v\) wie im Satz die Abbildung \(w\mapsto \varphi (v\otimes w)\) linear ist, also ein Element von \(\operatorname{Hom}_K(W, U)\) ist.

Wir geben nun eine Umkehrabbildung an:

Hier ist wie üblich nachzuprüfen, dass es eine (eindeutig bestimmte) Abbildung \(V\otimes _KW\to U\) mit \(v\otimes w\mapsto \psi (v)(w)\) für alle \(v\), \(w\) überhaupt gibt. Das folgt aus der universellen Eigenschaft, weil sich der Ausdruck \(\psi (v)(w)\) bilinear in \(v\) und \(w\) verhält.

Es ist nicht schwer zu überprüfen, dass die beiden Abbildungen zueinander invers sind.

Wir zeigen, dass der Vektorraum \(V\otimes _K\bigoplus _{i\in I} W_i\) zusammen mit den Homomorphismen

die universelle Eigenschaft der direkten Summe erfüllt. (Hier bezeichne \(\iota _i\) die Inklusion von \(W_i\) in die direkte Summe \(\bigoplus _{i\in I} W_i\).) Weil die Verkettung der Abbildungen \(V\otimes _K W_i \to V\otimes _K\bigoplus _{i\in I} W_i\) mit der im Satz angegebenen Abbildung \(V\otimes _K\bigoplus _{i\in I} W_i \cong \bigoplus _{i\in I} V\otimes _KW_i\) die kanonische Inklusion von \(V\otimes _KW_i\) in die direkte Summe ist, folgt dann die Behauptung aus dem Satz, weil die universelle Eigenschaft die direkte Summe eindeutig charakterisiert.

Sei also ein \(K\)-Vektorraum \(U\) zusammen mit Abbildungen \(f_i\colon V\otimes W_i\to U\) gegeben.

Wir definieren \(\varphi \colon V\otimes _K\bigoplus _{i\in I} W_i\to U\) durch

Weil der Ausdruck \(\sum _{i\in I} f_i(v\otimes w_i)\) sowohl in \(v\) als auch in \((w_i)_{i\in I}\) bilinear ist, gibt es eine solche lineare Abbildung \(\varphi \). Es gilt dann \(f_i = \varphi \circ (\operatorname{id}_V\otimes \iota _i)\), und \(\varphi \) ist die einzige Abbildung mit dieser Eigenschaft.

Mithilfe der Basen von \(V\) und \(W\) können wir (Koordinaten-)Isomorphismen \(V\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}K^{(I)} = \bigoplus _I K\) und \(W\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}K^{(J)}\) definieren. Damit erhalten wir

wobei für die erste Isomorphie Bemerkung 18.44 und in der Mitte die Kompatibilität zwischen Tensorprodukt und direkter Summe benutzt wurde. Man rechnet leicht nach, dass der Standardbasisvektor \(e_{(i,j)}\in K^{(I\times J)}\) unter diesem Isomorphismus dem Vektor \(b_i\otimes c_j\) entspricht.

Wir wählen einen Isomorphismus \(W\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}K^n\) (das entspricht der Wahl einer Basis \(w_1,\dots , w_n\) von \(W\)). Damit erhalten wir Isomorphismen

wobei wir für den zweiten Isomorphismus die Verträglichkeit von Tensorprodukt und direkten Summen (Satz 18.48) benutzen, und für den vorletzten die endliche direkte Summe als direktes Produkt verstehen und die universelle Eigenschaft des Produkts verwenden (Bemerkung 18.7).

Es bleibt zu überprüfen, dass die Verkettung dieser Isomorphismus gerade die im Satz angegebene Abbildung ist. Da \(V^\vee \otimes _KW\) von den Elementartensoren \(\lambda \otimes w_i\) erzeugt wird (wo die \(w_i\) die oben gewählten Basisvektoren sind), genügt es, das für diese Elemente zu überprüfen, und das ist nicht schwierig.

Äquivalent zu der Gleichheit \(\operatorname{Spur}= \operatorname{ev}\circ \Psi \) ist es, \(\operatorname{Spur}\circ \Phi = \operatorname{ev}\) zu zeigen. Zum Beweis fixieren wir eine Basis \(\mathscr B= (b_1, \dots , b_n)\) von \(V\).

Seien \(\lambda \in V^\vee \), \(v = \sum _i a_ib_i\in V\). Dann rechnen wir wie folgt:

Da die Elementartensoren \(\lambda \otimes v\) den Vektorraum \(V^\vee \otimes V\) erzeugen, folgt, dass die beiden Abbildungen tatsächlich übereinstimmen.

Schreiben wir \(\mathscr B= (b_i)_i\) und entsprechend für die anderen Basen. Für \((i,k)\in \mathbf I\times \mathbf K\) gilt

und das liefert genau die Behauptung.

Um zu überprüfen, dass die angegebene Abbildung wohldefiniert ist, fixieren wir \(a\in L\). Dann ist die Abbildung \(V\times L\to V\otimes _KL\), \((v,b)\mapsto v\otimes ab\), bilinear (wobei wir \(V\) und \(L\) als \(K\)-Vektorräume betrachten). Wir erhalten also eine (eindeutig bestimmte) lineare Abbildung \(V\otimes _KL\to V\otimes _KL\), \(v\otimes b\mapsto v\otimes ab\). Dies ist die Multiplikation mit dem Skalar \(a\in L\) auf dem \(L\)-Vektorraum \(V\otimes _KL\). Wenn wir diese Abbildungen für alle \(a\in L\) zusammen betrachten, haben wir eine Abbildung \(L\times V\otimes _KL\to V\otimes _KL\) wie im Satz.

Es sind dann die Vektorraumaxiome nachzurechnen. Das ist einfach.

Wir betrachten die Wahl der Basis von \(V\) als wie Wahl eines Isomorphismus \(b\colon K^{(I)}\to V\). Durch »Tensorieren mit \(\operatorname{id}_L\)« erhalten wir (siehe Satz 18.43) eine lineare Abbildung

wobei wir für die erste Isomorphie noch die Verträglichkeit von Tensorprodukt und direkten Summen benutzen, Satz 18.48. Nach Bemerkung 18.44 ist auch dieser \(K\)-Vektorraum-Homomorphismus wieder bijektiv. Man überprüft unmittelbar, dass es sich dabei um einen Homomorphismus von \(L\)-Vektorräumen handelt, und dass \(b\otimes \operatorname{id}_L\) den Standardbasisvektor \(e_i\in L^{(I)}\) abbildet auf \(b_i\otimes 1\).