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18.6 Die äußere Algebra eines Vektorraums

Das Tensorprodukt \(V_1\otimes \cdots \otimes V_n\) von Vektorräumen \(V_1,\dots , V_n\) ermöglicht es, zwischen multilinearen Abbildungen \(V_1\times \cdots \times V_n\to U\) und linearen Abbildungen \(V_1\otimes _K \cdots \otimes _K V_n\to U\) »hin- und herzugehen«. Als wir in der Linearen Algebra 1 über multilineare Abbildungen gesprochen haben, haben wir uns aber nicht für beliebige multilineare Abbildungen interessiert, sondern speziell für alternierende multilineare Abbildungen \(V\times \cdots \times V\to U\). Mit der \(r\)-ten äußeren Potenz \(\bigwedge \nolimits ^r V\) von \(V\) (über \(K\)) lernen wir in diesem Abschnitt einen Vektorraum kennen, für den lineare Abbildungen \(\bigwedge \nolimits ^r V\to U\) mit alternierenden multilinearen Abbildungen \(V\times \cdots \times V\to U\) (mit \(r\) Faktoren in dem Produkt \(V\times \cdots \times V\)) identifiziert werden können. Die \(n\)-te äußere Potenz eines \(n\)-dimensionalen Vektorraums \(V\) steht, vielleicht nicht überraschend, in engem Zusammenhang zur Determinante von Endomorphismen von \(V\).

Wie beim Tensorprodukt beginnen wir mit einer Definition anhand der gewünschten universellen Eigenschaft.

Definition 18.65

Seien \(K\) ein Körper und \(V\) ein \(K\)-Vektorraum. Sei \(r\in \mathbb N\). Ein Vektorraum \(\Lambda \) zusammen mit einer alternierenden multilinearen Abbildung \(\beta \colon V^r\to \Lambda \) heißt \(r\)-te äußere Potenz von \(V\) über \(K\), wenn die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

Für jeden \(K\)-Vektorraum \(U\) und jede alternierende multilineare Abbildung \(b\colon V^r \to U\) gibt es genau eine lineare Abbildung \(\psi \colon \Lambda \to U\), so dass \(\psi \circ \beta = b\) gilt.
\begin{tikzcd} [ampersand replacement = \& ] V^r \ar {rr}{b}\ar {dr}{\beta } \&  \&  U \\ \&  \Lambda \ar [dashed]{ur}{\psi } \end{tikzcd}

Beispiel 18.66
  1. Für jeden \(K\)-Vektorraum \(V\) gilt \(\bigwedge \nolimits ^1 V = V\), denn eine alternierende multilineare Abbildung \(V\to U\) ist nichts anderes als eine lineare Abbildung \(V\to U\). Die Gleichheit ist hier so zu verstehen, dass \(V\) zusammen mit der »offensichtlichen« alternierenden multilinearen Abbildung \(\operatorname{id}_V\colon V\to V\) die universelle Eigenschaft der \(1\)-ten äußeren Potenz erfüllt. Daher können wir \(\bigwedge \nolimits ^1 V\) in dieser Weise konstruieren und/oder \(V\) und \(\bigwedge \nolimits ^1 V\) mittels eines eindeutig bestimmten Isomorphismus (der mit den beiden alternierenden multilinearen Abbildungen \(V\to \bigwedge \nolimits ^1 V\) und \(\operatorname{id}_V\) verträglich ist) identifizieren, den wir als Gleichheit schreiben.

  2. Für jeden \(K\)-Vektorraum \(V\) identifizieren wir \(\bigwedge \nolimits ^0 V\) aufgrund der folgenden Überlegung mit dem eindimensionalen Vektorraum \(K\). Das leere Produkt (Bemerkung 18.8) ist \(\prod _\emptyset V = \{ 0\} \). Jede Abbildung vom leeren Produkt in irgendeinen \(K\)-Vektorraum \(U\) ist alternierend und multilinear, denn die Bedingungen dafür beziehen sich auf die Faktoren des Produkts; hier hat das Produkt aber gar keine Faktoren. Insbesondere ist es nicht erforderlich, dass die Abbildung linear ist, sondern das (einzige) Element \(0\) kann auf ein beliebiges Element von \(U\) abgebildet werden. Wir können die Menge der alternierenden multilinearen Abbildungen \(\prod _\emptyset V\to U\) also mit \(U=\operatorname{Hom}_K(K, U)\) identifizieren, wobei das Gleichheitszeichen hier bedeutet, dass wir \(\varphi \colon K\to U\) mit \(\varphi (1)\in U\) identifizieren.

Als erstes wollen wir die Frage abhandeln, ob eine äußere Potenz stets existiert. Wie beim Tensorprodukt ist es aber für alles spätere dann ausreichend zu wissen, dass das der Fall ist. Die genaue Konstruktion spielt keine Rolle, sondern wir arbeiten später immer mit der universellen Eigenschaft.

Satz 18.67

Die \(r\)-te äußere Potenz von \(V\) existiert für jeden \(K\)-Vektorraum \(V\) und ist eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus. Wir bezeichnen sie mit \(\bigwedge \nolimits ^r V\). Das Bild von \((v_1, \dots , v_r)\in V^r\) in \(\bigwedge \nolimits ^r V\) wird mit \(v_1\wedge \cdots \wedge v_r\) bezeichnet.

Beweis

Die Eindeutigkeit bis auf eindeutigen Isomorphismus ergibt sich wie üblich aus der universellen Eigenschaft.

Um die Existenz zu beweisen, sei \(V^{\otimes r} = V\otimes _K \cdots \otimes _K V\) das \(r\)-fache Tensorprodukt von \(V\) mit sich selbst über \(K\).

Sei \(U\subseteq V^{\otimes r}\) der Untervektorraum, der erzeugt wird von allen Elementen der Form

\[ v_1\otimes \cdots \otimes v_r,\quad \text{so dass}\ i\ne j\ \text{existieren mit}\ v_i = v_j. \]

Die Verkettung \(V^r\to V^{\otimes r}\to \left.V^{\otimes r}\middle /U\right.\), die ein Tupel \((v_1, \dots , v_r)\) abbildet auf die Restklasse von \(v_1\otimes \cdots \otimes v_r\) in \(\left.V^{\otimes r}\middle /U\right.\) ist dann eine alternierende multilineare Abbildung. Die Multilinearität folgt dabei aus der entsprechenden Eigenschaft des Tensorprodukts, denn sie bleibt bei der Verkettung mit einer linearen Abbildung erhalten. Die Eigenschaft, alternierend zu sein, folgt direkt aus der Definition von \(U\).

Behauptung. Der Vektorraum \(\left.V^{\otimes r}\middle /U\right.\) zusammen mit der soeben konstruierten alternierenden multilinearen Abbildung \(V^r\to \left.V^{\otimes r}\middle /U\right.\) hat die universelle Eigenschaft der \(r\)-ten äußeren Potenz von \(V\).

Begründung. Sei \(b\colon V^r \to W\) eine alternierende multilineare Abbildung. Wegen der Multilinearität faktorisiert die Abbildung in eindeutiger Weise über einen Homomorphismus \(V^{\otimes r}\to W\). Dass die ursprüngliche Abbildung alternierend ist, impliziert, dass \(U\) im Kern von \(V^{\otimes r}\to W\) liegt, wir erhalten also eine eindeutig bestimmte Abbildung \(\left.V^{\otimes r}\middle /U\right.\to W\), so dass das folgende Diagramm kommutiert:

\begin{tikzcd} 
            V^r \ar{r}\ar{d} & W     \\
            V^{\otimes r} \ar{r} & \left.V^{\otimes r}\middle/U\right.. \ar{u}
        \end{tikzcd}

Das beweist die Existenz der in der universellen Eigenschaft geforderten Abbildung \(\left.V^{\otimes r}\middle /U\right.\to W\). Die Eindeutigkeit ist klar, weil die Abbildung auf den Bildern der Elementartensoren \(v_1\otimes \cdots \otimes v_n\) in \(\left.V^{\otimes r}\middle /U\right.\) bestimmt ist (als \(b(v_1,\dots , v_r)\)), und diese den Vektorraum \(\left.V^{\otimes r}\middle /U\right.\) erzeugen.

Man nennt den Vektor \(v_1\wedge \cdots \wedge v_r\) manchmal auch das Dachprodukt der Vektoren \(v_1, \dots , v_r\).

Bemerkung 18.68 Rechenregeln für Dachprodukte

Genau wie Elementartensoren verhalten sich Dachprodukte multilinear, wir haben also

\begin{align*} & v_1\wedge \cdots \wedge (av_i+a^\prime v^\prime _i)\wedge v_{i+1}\wedge \cdots \wedge v_r\\ = & a(v_1\wedge \cdots \wedge v_i\wedge v_{i+1}\wedge \cdots \wedge v_r) + a^\prime (v_1\wedge \cdots \wedge v^\prime _i\wedge v_{i+1}\wedge \cdots \wedge v_r) \end{align*}

für \(a,a^\prime \in K\), \(v_1, \dots , v_r, v_i^\prime \in V\).

Zudem sind sie alternierend, es gilt also

\[ v_1\wedge \cdots \wedge v_r = 0,\quad \text{wenn es}\ i\ne j\ \text{mit}\ v_i=v_j\ \text{gibt.} \]

Wir können nun Lemma I.9.2 auf die alternierende multilineare Abbildung \(V^r\to \bigwedge \nolimits ^r V\) anwenden und erhalten, dass

\[ v_1\wedge \cdots \wedge v_r= -v_1\wedge \cdots \wedge \underbrace{v_j}_i\wedge \cdots \wedge \underbrace{v_i}_j\wedge \cdots \wedge v_r \]

gilt, vertauscht man also im Dachprodukt \(v_1\wedge \cdots \wedge v_r\) zwei der Einträge, so unterscheidet sich der neue Eintrag vom alten genau um den Faktor \(-1\).

Aus demselben Lemma erhalten wir dann das Verhalten von Dachprodukten, wenn wir eine beliebige Permutation auf die Einträge anwenden:

\[ v_{\sigma (1)}\wedge \cdots \wedge v_{\sigma (r)} = \operatorname{sgn}(\sigma ) v_1\wedge \cdots \wedge v_r,\quad \text{für alle}\ \sigma \in S_r. \]

Ähnlich wie beim Tensorprodukt verträgt sich die äußere Potenz gut mit Homomorphismen von Vektorräumen.

Satz 18.69

Seien \(V\) und \(W\) Vektorräume über \(K\), \(r\in \mathbb N\), und sei \(f\colon V\to W\) eine lineare Abbildung. Dann ist

\[ \bigwedge \nolimits ^r f\colon \bigwedge \nolimits ^r V\to \bigwedge \nolimits ^r W,\quad v_1 \wedge \cdots \wedge v_r\mapsto f(v_1)\wedge \cdots \wedge f(v_r), \]

eine lineare Abbildung. Diese Konstruktion ist kompatibel mit der Verkettung von Homomorphismen.

Beweis

Wir zeigen die Existenz einer Abbildung, die die angegebene Zuordnungsvorschrift für Elemente der Form \(v_1\wedge \cdots \wedge v_r\) hat, mit der universellen Eigenschaft (und es folgt daraus auch, dass sie eindeutig bestimmt ist).

Dazu betrachten wir die Abbildung

\[ V^r \to \bigwedge \nolimits ^r W,\quad (v_1, \cdots , v_r)\mapsto f(v_1)\wedge \cdots \wedge f(v_r). \]

Aus der Definition von \(\bigwedge \nolimits ^r W\) und der Linearität von \(f\) folgt leicht, dass diese Abbildung alternierend und multilinear ist. Daraus folgt die Existenz der gesuchten Abbildung \(\bigwedge \nolimits ^r f\).

Die Verträglichkeit mit Verkettung ist dann auch leicht nachzuprüfen.

Weil offensichtlich auch \(\bigwedge \nolimits ^r \operatorname{id}_V = \operatorname{id}_{\bigwedge \nolimits ^rV}\) gilt, folgt aus dem Satz in der üblichen Weise, dass für einen Isomorphismus \(f\) auch der Homomorphismus \(\bigwedge \nolimits ^r f\) ein Isomorphismus ist.

Wir bezeichnen mit \(\binom {n}{k}\) den Binomialkoeffizienten, \(\binom {n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\). Dies ist die Anzahl der \(k\)-elementigen Teilmengen einer \(n\)-elementigen Menge.

Satz 18.70

Ist \(V\) ein endlichdimensionaler \(K\)-Vektorraum, \(n=\dim (V)\), und \(b_1, \dots , b_n\) eine Basis von \(V\), dann bilden die Elemente

\[ b_{i_1}\wedge \cdots \wedge b_{i_r}\quad \text{für alle}\ 1\le i_1 {\lt} \cdots {\lt} i_r \le n \]

eine Basis von \(\bigwedge \nolimits ^r V\).

Folglich gilt \(\dim (\bigwedge \nolimits ^r V) = \binom {n}{r}\).

Insbesondere gilt \(\bigwedge \nolimits ^r V = 0\) für \(r {\gt} n\).

Eine lineare Abbildung \(\bigwedge \nolimits ^n V\to K\) (für \(n=\dim V\)) können wir identifizieren mit einer alternierenden multilinearen Abbildung \(V^n\to K\), also gerade mit einer Determinantenfunktion auf \(V\). Dass \(\dim \bigwedge \nolimits ^nV=\binom {n}{n} =1\) ist, ist also dazu äquivalent, dass der Vektorraum der Determinantenfunktionen auf \(V\) Dimension \(1\) hat. Daher sollte es nicht überraschen, dass wir diesen Satz nun im Beweis benutzen, denn sonst müssten wir uns mehr oder weniger dieselbe Mühe wie damals beim Beweis noch einmal machen.

Beweis

Aus den Rechenregeln für Dachprodukte, Bemerkung 18.68, folgt, dass die Elemente \(b_{i_1}\wedge \cdots \wedge b_{i_r}\) für alle Tupel \((i_1, \dots , i_r)\) mit \(1\le i_1 {\lt} \cdots {\lt} i_r \le n\) ein Erzeugendensystem von \(\bigwedge \nolimits ^r V\) bilden. An diesem Punkt des Beweises bekommen wir schon die Abschätzung \(\dim (\bigwedge \nolimits ^r V) \le \binom {n}{r}\). (Achten Sie, wenn Sie den Beweis nachvollziehen, darauf, dass Sie auch die Fälle \(r {\gt} n\) berücksichtigen. In diesem Fall ist das angegebene Erzeugendensystem die leere Menge, der Raum \(\bigwedge \nolimits ^r V\) folglich der Nullvektorraum.)

Es bleibt noch die lineare Unabhängigkeit zu zeigen. Dazu zeigen wir die folgende Aussage:

Behauptung. Sei \((i_1, \dots , i_r)\) mit \(1\le i_1 {\lt} \cdots {\lt} i_r \le n\) gegeben. Dann gibt es eine lineare Abbildung \(\bigwedge \nolimits ^r V\to K\), so dass für alle \((j_1, \dots , j_r)\) mit \(1\le j_1 {\lt} \cdots {\lt} j_r \le n\) gilt:

\[ b_{j_1}\wedge \cdots \wedge b_{j_r} \mapsto \begin{cases} 1 & \text{wenn}\ (i_1, \dots , i_r) = (j_1, \dots , j_r),\\ 0 & \text{sonst.} \end{cases} \]

Es ist leicht zu sehen, dass daraus die lineare Unabhängigkeit folgt. Denn wenn eine Linearkombination der Elemente \(b_{j_1}\wedge \cdots \wedge b_{j_r}\) gegeben ist, die den Nullvektor darstellt, folgt durch Anwenden der obigen Abbildung (für \((i_1, \dots , i_r)\)), dass der Koeffizient von \(b_{i_1}\wedge \cdots \wedge b_{i_r}\) verschwindet. Insgesamt folgt also, dass alle Koeffizienten verschwinden müssen, und damit die lineare Unabhängigkeit.

Begründung. Sei

\[ \{ i^\prime _1,\dots , i^\prime _{n-r} \} = \{ 1,\cdots , n\} \setminus \{ i_1, \dots , i_r\} . \]

Das Tupel \(b_{i_1}, \dots , b_{i_r}, b_{i^\prime _1}, \dots , b_{i_{n-r}^\prime }\) ist dann bis auf eine Permutation die gewählte Basis von \(V\). Sei \(\Delta \colon V^n\to K\) die (eindeutig bestimmte) Determinantenfunktion mit

\[ \Delta (b_{i_1}, \dots , b_{i_r}, b_{i^\prime _1}, \dots , b_{i_{n-r}^\prime }) = 1. \]

(Für die Existenz benutzen wir die Ergebnisse der Linearen Algebra 1.) Wir erhalten so eine alternierende multilineare Abbildung

\[ V^r\to K,\quad (v_1,\dots , v_r)\mapsto \Delta (v_1, \dots , v_r, b_{i^\prime _1}, \dots , b_{i_{n-r}^\prime }). \]

Es ist klar, dass unter der dadurch induzierten Abbildung das Element \(b_{i_1}\wedge \cdots \wedge b_{i_r}\) auf \(1\) abgebildet wird. Ist andererseits \((j_1, \dots , j_r)\ne (i_1, \dots , i_r)\) mit \(1\le j_1 {\lt} \cdots {\lt} j_r \le n\) gegeben, so ist wenigstens eines der \(j_l\) in der Menge \(\{ i^\prime _1,\dots , i^\prime _{n-r} \} \) enthalten, so dass \(\Delta (b_{j_1}, \dots , b_{j_r}, b_{i^\prime _1}, \dots , b_{i_{n-r}^\prime }) = 0\) folgt. Damit ist die Behauptung bewiesen.

Zum Fall \(r=0\) dieses Satzes vergleiche auch Bemerkung 18.66.

Wir können auch die Determinante eines Endomorphismus mit den neuen Begrifflichkeiten beschreiben.

Satz 18.71

Sei \(V\) ein endlichdimensionaler \(K\)-Vektorraum, \(n=\dim (V)\). Dann ist \(\dim \bigwedge \nolimits ^n V = 1\). Ist \(f\colon V\to V\) ein Endomorphismus, so ist der Endomorphismus

\[ \bigwedge \nolimits ^n f\colon \bigwedge \nolimits ^n V\to \bigwedge \nolimits ^n V,\quad v_1 \wedge \cdots \wedge v_n\mapsto f(v_1)\wedge \cdots \wedge f(v_n), \]

die Multiplikation mit \(\det (f)\).

Beweis

Nach Satz 18.70 können wir einen Isomorphismus \(\bigwedge \nolimits ^n V \stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}K\) wählen. Dann ist die Verkettung \(\Delta \colon V^n \to \bigwedge \nolimits ^n V\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}K\) eine nicht-triviale alternierende multilineare Abbildung, also eine nicht-triviale Determinantenfunktion. Nach Definition von \(\det (f)\) ist daher \(\Delta \circ f^n = \det (f) \Delta \), wobei \(f^n\colon V^n\to V^n\) die Abbildung \((v_1, \dots , v_n)\mapsto (f(v_1), \dots , f(v_n))\) bezeichnet.

Andererseits haben wir ein kommutatives Diagramm

\begin{tikzcd} 
        V^n \ar{r}{}\ar{d}{f^n} & \bwnl^n V\ar{d}{\bwnl^n f} \\
        V^n \ar{r}{} & \bwnl^n V
    \end{tikzcd}

Insgesamt folgt die Behauptung.

Zusammen mit Satz 18.69 (speziell der Verträglichkeit mit Verkettung) erhält man aus diesem Satz einen neuen Beweis des Determinantenproduktsatzes Satz I.9.11 (der allerdings ähnlich ist zu dem Beweis, den wir mit Determinantenfunktionen gegeben haben). Wir erwähnen noch zwei Ergebnisse über die Verträglichkeit der äußeren Potenzen mit direkten Summen und dem Übergang zum Dualraum, die manchmal nützlich sind.

Satz 18.72

Seien \(K\) ein Körper, \(V\) und \(W\) Vektorräume über \(K\) und \(r\in \mathbb N\).

  1. Die Abbildungen

    \[ \bigwedge \nolimits ^i V\otimes _K \bigwedge \nolimits ^j W \to \bigwedge \nolimits ^r (V\oplus W),\quad (v_1\wedge \cdots \wedge v_i)\otimes (w_1\wedge \cdots \wedge w_j) \mapsto v_1\wedge \cdots \wedge v_i\wedge w_1\wedge \cdots \wedge w_j, \]

    (für \(0\le i,j\le r\) mit \(i+j=r\)) induzieren einen Isomorphismus

    \[ \bigoplus _{i+j=r} \bigwedge \nolimits ^i V\otimes _K \bigwedge \nolimits ^j W, \stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}\bigwedge \nolimits ^r (V\oplus W). \]
  2. Sei nun \(V\) endlichdimensional und \(V^\vee \) der Dualraum von \(V\). Dann haben wie einen Isomorphismus

    \[ \bigwedge \nolimits ^r V^\vee \to \left(\bigwedge \nolimits ^rV\right)^\vee ,\quad \lambda _1 \wedge \cdots \wedge \lambda _r\mapsto \left( v_1\wedge \cdots \wedge v_r\mapsto \det ((\lambda _i(v_j))_{i,j=1,\dots r}) \right) \]

    von \(K\)-Vektorräumen.

Beweis

In (1) schreiben wir für \(v\in V\) auf der rechten Seite einfach \(v\) für das Element \((v,0)\in V\oplus W\), und ähnlich für \(w\in W\). Wir lassen den Beweis hier aus. Man kann ihn mit ähnlichen Methoden wie oben führen, insbesondere für Teil (1) ist das aber ein bisschen Arbeit. In Teil (2) wähle man eine Basis von \(V\) und betrachte die zugehörige duale Basis von \(V^\vee \).

Zusatzfrage. Könnte man es in Teil (2) auch mit der Abbildungsvorschrift \(v_1\wedge \cdots \wedge v_r\mapsto \prod _{i=1}^r \lambda _i(v_i)\) versuchen?

Mit Teil (1) dieses Satzes kann man einen neuen Beweis von Satz 18.70 geben.

Bemerkung 18.73 Die äußere Algebra

Auf der direkten Summe \(\bigwedge \nolimits V:=\bigoplus _{r\in \mathbb N} \bigwedge \nolimits ^r V\) lässt sich eine Multiplikation definieren durch

\[ (v_1 \wedge \cdots \wedge v_r)\cdot (w_1 \wedge \cdots \wedge w_s) = v_1 \wedge \cdots \wedge v_r\wedge w_1 \wedge \cdots \wedge w_s. \]

Sie wird damit zu einem (nicht kommutativen) Ring, der außerdem eine \(K\)-Vektorraumstruktur trägt. Man nennt diesen Ring/Vektorraum die äußere Algebra des Vektorraums \(V\).

Ergänzung 18.74

Das Kreuzprodukt \(\mathbb R^3\times \mathbb R^3\times \mathbb R^3\), oder allgemeiner \(K^3\times K^3\to K^3\) für einen beliebigen Körper \(K\), lässt sich mittels des Isomorphismus

\[ \bigwedge \nolimits ^2 K^3 \stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}K^3, \]

der durch die Basis \(e_2\wedge e_3\), \(e_3\wedge e_1\), \(e_1\wedge e_2\) gegeben ist, identifizieren mit der natürlichen Abbildung \((K^3)^2 \to \bigwedge \nolimits ^2 K^3\).