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A.2 Vektorräume

Referenz: Kapitel 6. Sei $K$ ein Körper.

A.2.1 Definitionen

Definition A.6

Ein Vektorraum (über $K$) ist eine Menge $V$ zusammen mit Verknüpfungen $+\colon V\times V\to V$ (Addition) und $\cdot \colon K\times V\to V$ (Skalarmultiplikation), so dass gilt:

  1. $(V,+)$ ist eine kommutative Gruppe,

  2. $(ab)v=a(bv)$ für alle $a,b\in K$, $v\in V$,

  3. $1v=v$ für alle $v\in V$,

  4. $(a+b)v=av+bv$, $a(v+w)=av+aw$ für alle $a,b\in K$, $v,w\in V$.

Die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren.

Definition A.7

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine nicht-leere Teilmenge $U\subseteq V$ heißt Untervektorraum von $V$, wenn $u+u^\prime \in U$ und $au\in U$ für alle $u,u^\prime \in U$ und $a\in K$ gilt.

Ist $U\subseteq V$ ein Untervektorraum, so ist $U$ mit der Einschränkung der Addition und Skalarmultiplikation selbst ein Vektorraum. Der Durchschnitt von Untervektorräumen eines Vektorraums ist ein Untervektorraum.

Ist $M\subseteq V$ eine Teilmenge, so ist der Durchschnitt aller Untervektorräume von $V$, die $M$ enthalten, der kleinste Untervektorraum von $V$, der $M$ enthält. Wir bezeichnen diesen mit $\langle M\rangle $ und nennen ihn den von $M$ erzeugten Untervektorraum.

Beispiel A.8
  1. Der Vektorraum $\{ 0\} $ heißt der Nullvektorraum. Der Körper $K$ ist mit der Addition und Multiplikation auf $K$ ein $K$-Vektorraum.

  2. Für Vektorräume $V_i$, $i\in I$ ist das kartesische Produkt $\prod _{i\in I} V_i$ mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation ein $K$-Vektorraum, den wir als das Produkt der Vektorräume $V_i$ bezeichnen. Die Teilmenge $\bigoplus _{i\in I} V_i\subseteq \prod _{i\in I}V_i$ der Elemente des Produkts, in denen nur endlich viele Einträge $\ne 0$ ist, ist ein Untervektorraum, die sogenannte direkte Summe der $V_i$. Wir schreiben $V^I :=\prod _{i\in I} V$, $V^{(I)} := \bigoplus _{i\in I} V$, $V^n := \prod _{i=1}^n V$.

  3. Für $n\in \mathbb N$ nennen wir den Vektorraum $K^n$ den Standardvektorraum »der Dimension $n$« (siehe Definition A.13 unten). Allgemeiner können wir für eine Menge $I$ den Vektorraum $K^{(I)}$ als Standardvektorraum bezeichnen.

  4. Sind $V$, $W$ Vektorräume über $K$, so ist die Menge $\operatorname{Abb}(V,W)$ aller Abbildungen $V\to W$ mit der Addition und Skalarmultiplikation von Abbildungen:

    \[ f+g\colon v\mapsto f(v)+g(v),\qquad af\colon v\mapsto a\, f(v), \]

    ein $K$-Vektorraum.

Definition A.9 Definition 7.1

Seien $V$ und $W$ Vektorräume über dem Körper $K$. Eine lineare Abbildung (oder: ein Vektorraum-Homomorphismus) ist ein Homomorphismus $f\colon V\to W$ von additiven Gruppen, so dass zusätzlich für alle $v\in V$, $a\in K$ gilt: $f(av)=a\, f(v)$.

Ein Isomorphismus von Vektorräumen ist ein Homomorphismus $f\colon V\to W$, so dass ein Homomorphismus $g\colon W\to V$ existiert, derart dass $f$ und $g$ Umkehrabbildungen voneinander sind.

Wir bezeichnen mit $\operatorname{Hom}_K(V,W)\subset \operatorname{Abb}(V,W)$ die Teilmenge aller linearen Abbildungen. Dies ist ein Untervektorraum. Wir schreiben auch $\operatorname{End}_K(V) := \operatorname{Hom}_K(V,V)$ und nennen die Elemente dieser Menge Endomorphismen von $V$. Ein Automorphismus von $V$ ist ein Isomorphismus $V\to V$.

Jeder bijektive Vektorraumhomomorphismus ist ein Isomorphismus.

Ist $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung, so heißt $\operatorname{Ker}(f):=f^{-1}(\{ 0\} )$ der Kern und $\operatorname{Im}(f)$ das Bild der linearen Abbildung $f$. Es handelt sich dabei um Untervektorräume von $V$ bzw. $W$. Ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn sein Kern trivial (d.h. der Nullvektorraum) ist.

Bemerkung A.10

Ist $V$ ein $K$-Vektorraum und $(v_i)_{i\in I}$ eine Familie von Vektoren, so erhalten wir eine lineare Abbildung

\[ K^{(I)} \to V,\qquad (a_i)_{i\in I}\mapsto \sum _i a_iv_i. \]

Das Bild dieser Abbildung ist $\langle \{ v_i;\ i\in I\} \rangle $.

A.2.2 Basen

Definition A.11

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Für eine Familie $(v_i)_{i\in I}$ von Vektoren aus $v$ nennen wir die zugehörige Abbildung aus Bemerkung A.10 die natürliche Abbildung $K^{(I)}\to V$ (zu der gegebenen Familie von Vektoren).

  1. Eine Familie $(v_i)_{i\in I}$ heißt Erzeugendensystem von $V$, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:

    1. Jedes Element von $V$ lässt sich als Linearkombination der Familie $(v_i)_i$ schreiben.

    2. Die natürliche Abbildung $K^{(I)}\to V$ ist surjektiv.

  2. Eine Familie $(v_i)_{i\in I}$ heißt linear unabhängig, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:

    1. Die einzige Möglichkeit, den Nullvektor $0\in V$ als Linearkombination der Familie $(v_i)_i$ auszudrücken, ist die triviale Linearkombination.

    2. Jeder Vektor $v\in \langle \{ v_i;\ i\in I\} \rangle $ lässt sich in eindeutiger Weise als Linearkombination der Familie $(v_i)_{i\in I}$ schreiben.

    3. Die natürliche Abbildung $K^{(I)}\to V$ ist injektiv.

  3. Eine Familie $(v_i)_{i\in I}$ heißt eine Basis von $V$, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind. (Siehe Satz 6.36.)

    1. Jedes Element von $V$ lässt sich in eindeutiger Weise als Linearkombination der Familie $(v_i)_i$ schreiben.

    2. Die Familie $(v_i)_i$ ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

    3. Die Familie $(v_i)_i$ ist ein minimales Erzeugendensystem.

    4. Die Familie $(v_i)_i$ ist ein maximales linear unabhängiges System von Vektoren.

    5. Die natürliche Abbildung $K^{(I)}\to V$ ist ein Isomorphismus.

Sei $V= K^{(I)}$ für eine Menge $I$. Für $i\in I$ sei $e_i\in K^{(I)}$ der Vektor, der an der Stelle $i$ den Eintrag $1$, und an allen anderen Stellen den Eintrag $0$ hat. Dann bildet die Familie $(e_i)_{i\in I}$ eine Basis von $V$, die sogenannte Standardbasis.

Ist $V$ ein Vektorraum mit Basis $\mathscr B=(v_1, \dots , v_n)$, so bezeichnen wir die Umkehrabbildung $c_\mathscr B\colon V\to K^n$ des Isomorphismus $K^n\to V$, $e_i\mapsto v_i$, als die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis $\mathscr B$.

Wir nennen einen Vektorraum $V$ endlich erzeugt, wenn ein Erzeugendensystem von $V$ existiert, das aus nur endlich vielen Elementen besteht.

Theorem A.12
  1. Sei $V$ ein [endlich erzeugter] $K$-Vektorraum. Ist $E$ ein Erzeugendensystem von $V$ und $M$ ein linear unabhängiges System von Vektoren aus $V$, dessen Elemente sämtlich in $E$ enthalten sind, dann lässt sich $M$ durch Hinzunahme von Elementen aus $E$ zu einer Basis von $V$ ergänzen.

  2. Je zwei Basen eines [endlich erzeugten] Vektorraums haben dieselbe Mächtigkeit (d.h. haben gleich viele Elemente).

Dieses Theorem ist ein wichtiges Ergebnis der linearen Algebra, dessen Beweis nicht offensichtlich ist. Für unseren Ansatz spielt das Austauschprinzip eine wichtige Rolle, das in seiner einfachsten Form sagt, dass jeder Vektor $v\ne 0$ eines [endlich erzeugten] $K$-Vektorraums $V$ durch Hinzufügen von Elementen aus einem vorgegebenen Erzeugendensystem zu einer Basis ergänzt werden kann. Teil (2) des Theorems erlaubt es uns, die folgende Definition zu machen:

Definition A.13

Sei $V$ ein [endlich erzeugter] Vektorraum. Die Anzahl $\dim (V)$ der Elemente in einer Basis nennen wir die Dimension von $V$.

Dann gilt: [Endlich erzeugte] $K$-Vektorräume $V$ und $W$ sind genau dann isomorph, wenn sie dieselbe Dimension haben.

Satz A.14

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit Basis $(v_i)_{i\in I}$, sei $W$ ein $K$-Vektorraum und seien $w_i\in W$, $i\in I$. Dann existiert genau eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$ mit $f(v_i)=w_i$ für alle $i\in I$.

Mit anderen Worten: Sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit Basis $(v_i)_{i\in I}$. Dann ist für jeden $K$-Vektorraum die Abbildung

\[ \operatorname{Hom}_K(V, W)\to W^I,\quad f\mapsto (f(v_i))_{i\in I}, \]

ein Isomorphismus.

Es ist klar, dass die Abbildung $f$ im ersten Teil des Satzes wegen der Linearität durch $f(\sum _i a_iv_i)=\sum _i a_if(v_i)$ eindeutig bestimmt ist; man prüft leicht nach, dass die so definierte Abbildung tatsächlich linear ist.

Satz A.15

Sei $V$ ein endlich-dimensionaler $K$-Vektorraum.

  1. Sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann ist $U$ endlich erzeugt und $\dim (U)\le \dim (V)$. Der Fall der Gleichheit tritt nur für $U=V$ ein.

  2. Zu jedem Untervektorraum $U\subseteq V$ existiert ein Komplement, d.h. ein Untervektorraum $W\subseteq V$, so dass die Abbildung $U\oplus W\to V$, $(u,w)\mapsto u+w$, ein Isomorphismus ist.

  3. Seien $U, W\subseteq V$ Untervektorräume. Dann gilt

    \[ \dim (U+W)+\dim (U\cap W) = \dim (U) + \dim (W). \]

Teil (1) folgt aus den obigen beiden Theoremen. Für Teil (2) wähle man eine Basis von $U$ und setze diese zu einer Basis von $V$ fort; die hinzugenommenen Basisvektoren erzeugen ein Komplement von $U$. Um Teil (3) zu beweisen, kann man ebenfalls den Basisergänzungssatz benutzen; oder die Dimensionsformel für lineare Abbildungen, siehe unten.

Für eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$ nennen wir $\operatorname{rg}(f):= \dim (\operatorname{Im}(f))$ den Rang von $f$. Es gilt dann

Theorem A.16 Dimensionsformel für lineare Abbildungen, Theorem 7.23

Seien $V$, $W$ Vektorräume über $K$, und sei $V$ endlich-dimensional. Dann gilt

\[ \dim (V) = \dim (\operatorname{Ker}(f)) + \operatorname{rg}(f). \]

Insbesondere ist ein Endomorphismus $f$ eines endlich-dimensionalen $K$-Vektorraums genau dann injektiv, wenn er surjektiv ist (Korollar 7.24, vergleiche auch Satz A.27 weiter unten).

Sind $U,W\subseteq V$ Untervektorräume, so liefert die Dimensionsformel für lineare Abbildungen, angewandt auf die Abbildung $U\oplus W\to V$, $(u,w)\mapsto u-w$, einen Beweis der Dimensionsformel für Schnitt und Summe von Untervektorräumen aus Satz A.15 (2).

A.2.3 Der Dualraum eines Vektorraums

(Abschnitt 7.5) Sei $V$ ein Vektorraum. Der Vektorraum $V^\vee :=\operatorname{Hom}_K(V,K)$ heißt der Dualraum von $K$. Ist $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung, so heißt $f^\vee \colon W^\vee \to V^\vee $, $\lambda \mapsto \lambda \circ f$, die duale Abbildung von $f$; dies ist ein Vektorraumhomomorphismus. Für eine Verkettung $f\circ g$ gilt $(f\circ g)^\vee = g^\vee \circ f^\vee $.

Satz A.17

Sei $f\colon V\to W$ ein Homomorphismus.

  1. Die Abbildung $f^\vee $ ist genau dann surjektiv, wenn $f$ injektiv ist.

  2. Die Abbildung $f^\vee $ ist genau dann injektiv, wenn $f$ surjektiv ist.

  3. Sind $V$ und $W$ endlich-dimensional, so gilt $\operatorname{rg}(f) = \operatorname{rg}(f^\vee )$.

Ist $V$ ein $K$-Vektorraum mit Basis $v_1, \dots , v_n$, so bilden die Elemente $\lambda _1,\dots , \lambda _n\in V^\vee $ mit $\lambda _i(v_j) = 1$ für $i=j$, $\lambda _i(v_j) = 0$ für $i\ne j$, eine Basis von $V^\vee $, die sogenannte duale Basis zur Basis $v_1,\dots , v_n$. Insbesondere gilt: Ist $V$ endlich-dimensional, dann ist $\dim (V) = \dim (V^\vee )$. Die Koordinatenabbildung für die duale Basis ist der Isomorphismus aus Satz A.14, angewandt auf $W=K$ und die gewählte Basis von $V$.

Die kanonische Abbildung $V\to V^{\vee \vee } := (V^\vee )^\vee $ von $V$ in seinen Doppeldualraum, die gegeben ist durch $v\mapsto (V^\vee \to K,\ \lambda \mapsto \lambda (v))$, ist immer injektiv. Ist $V$ endlich-dimensional, so ist sie ein Isomorphismus, weil $V$ und $V^{\vee \vee }$ nach dem oben Gesagten dieselbe Dimension haben.