A.5 Eigenwerte
Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum und \(f\in \operatorname{End}_K(V)\). Ein Eigenvektor von \(f\) zum Eigenwert \(\lambda \in K\) ist ein Element \(v\in V\setminus \{ 0\} \), so dass \(f(v)=\lambda v\). Ein Element \(\lambda \in K\) wird als Eigenwert von \(f\) bezeichnet, wenn ein Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda \) existiert.
Ist \(\lambda \in K\) ein Eigenwert von \(f\), so nennen wir
Ist \(A\in M_n(K)\) eine Matrix, so nennt man die Eigenwerte und Eigenwerte der Abbildung \(\mathbf f_A\) auch die Eigenwerte bzw. Eigenvektoren von \(A\). Für jede Basis \(\mathscr B\) von \(V\) stimmen dann die Eigenwerte von \(f\in \operatorname{End}_K(V)\) und von \(M^\mathscr B_\mathscr B(f)\) überein (aber nicht notwendigerweise die jeweiligen Eigenvektoren, die ja sogar in unterschiedlichen Vektorräumen liegen, wenn \(V\) nicht der Standardvektorraum \(K^n\) ist).
Seien \(V\) ein \(K\)-Vektorraum und \(f\in \operatorname{End}_K(V)\). Sind \(v_1, \dots , v_m\in V\) Eigenvektoren von \(f\) zu paarweise verschiedenen Eigenwerten, so ist die Familie \(v_1, \dots , v_m\) linear unabhängig.
Sei \(V\) ein endlich-dimensionaler \(K\)-Vektorraum und \(f\) ein Endomorphismus von \(V\). Wir nennen \(f\) diagonalisierbar, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:
Es existiert eine Basis \(\mathscr B\) von \(V\), so dass \(M^\mathscr B_\mathscr B(f)\) eine Diagonalmatrix ist.
Es existiert eine Basis von \(V\), die aus Eigenvektoren von \(f\) besteht.
Der Vektorraum \(V\) ist die (direkte) Summe der Eigenräume von \(f\).
Eine Matrix \(A\in M_n(K)\) heißt diagonalisierbar, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:
Es existiert eine invertierbare Matrix \(S\), so dass \(SAS^{-1}\) eine Diagonalmatrix ist.
Der Endomorphismus \(\mathbf f_A\) von \(K^n\) ist diagonalisierbar im Sinn von Teil (1).