A.1 Gruppen und Körper
Referenz: Kapitel 8, Kapitel 4.
Das neutrale Element ist eindeutig bestimmt, ebenso wie das inverse Elemente zu \(g\in G\). Wird die Verknüpfung als Multiplikation geschrieben, so schreiben wir \(1\) für das neutrale Element von \(G\) und \(g^{-1}\) für das inverse Element von \(g\in G\). Eine Gruppe, deren Verknüpfung kommutativ ist, heißt kommutative oder abelsche Gruppe. In diesem Fall wird die Verknüpfung oft als Addition \(+\) geschrieben, und entsprechend das neutrale Element als \(0\) und das Inverse eines Elements \(g\) als \(-g\). Man schreibt dann \(g-h := g+(-h)\).
Eine nicht-leere Teilmenge \(H\subseteq G\) einer Gruppe \(G\) heißt Untergruppe, wenn \(hh^\prime \in H\) und \(h^{-1}\in H\) für alle \(h,h^\prime \in H\).
Ist \(H\subseteq G\) eine Untergruppe, so ist \(H\) mit der Einschränkung der Gruppenverknüpfung selbst eine Gruppe. Der Durchschnitt von Untergruppen einer Gruppe ist eine Untergruppe.
Ist \(M\subseteq G\) eine Teilmenge der Gruppe \(G\), so ist der Durchschnitt aller Untergruppen von \(G\), die \(M\) enthalten, die kleinste Untergruppe von \(G\), die \(M\) enthält. Wir bezeichnen diese mit \(\langle M\rangle \) und nennen sie die von \(M\) erzeugte Untergruppe.
Seien \(G\), \(H\) (multiplikativ geschriebene) Gruppen. Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung \(f\colon G\to H\), so dass \(f(gg^\prime )=f(g)f(g^\prime )\) für alle \(g,g^\prime \in G\). Ein Isomorphismus von Gruppen ist ein Gruppenhomomorphismus \(f\colon G\to H\), so dass ein Gruppenhomomorphismus \(g\colon H\to G\) existiert, derart dass \(f\) und \(g\) Umkehrabbildungen voneinander sind.
Die Verkettung von Gruppenhomomorphismen ist ein Gruppenhomomorphismus. Die Identitätsabbildung einer Gruppe \(G\) ist ein Gruppenhomomorphismus. Jeder bijektive Gruppenhomomorphismus ist ein Isomorphismus von Gruppen.
Ist \(f\colon G\to H\) ein Gruppenhomomorphismus, so heißt \(\operatorname{Ker}(f):=f^{-1}(\{ 1\} )\) der Kern und \(\operatorname{Im}(f)\) das Bild des Homomorphismus \(f\). Es handelt sich dabei um Untergruppen von \(G\) bzw. \(H\). Ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn sein Kern trivial (d.h. die triviale Gruppe \(\{ 1\} \)) ist.
Sei \(n\in \mathbb N\). Die Gruppe \(S_n\) der Bijektionen \(\{ 1,\dots ,n\} \to \{ 1, \dots , n\} \) nennen wir die symmetrische Gruppe. Ihre Elemente heißen Permutationen. Eine Transposition ist eine Permutation \(\sigma \), so dass \(i\ne j\) existieren mit \(\sigma (i)=j\), \(\sigma (j)=i\) und \(\sigma (k)=k\) für alle \(k\ne i,j\). Es gibt einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus \(\operatorname{sgn}\colon S_n\to \{ 1, -1\} \), der alle Transpositionen auf \(-1\) abbildet. Wir nennen \(\operatorname{sgn}(\sigma )\) das Signum der Permutation \(\sigma \).
Ein Körper ist eine Menge \(K\) mit Verknüpfungen \(+\colon K\times K\to K\) (Addition) und \(\cdot \colon K\times K\to K\) (Multiplikation), so dass \((K,+)\) eine kommutative Gruppe mit neutralem Element \(0\in K\) und \((K\setminus \{ 0\} , \cdot )\) eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element \(1\)) ist, und so dass für Addition und Multiplikation das Distributivgesetz gilt.
Ist \(K\) ein Körper, so schreiben wir \(K^\times = K\setminus \{ 0\} \) für die multiplikative Gruppe von \(K\).
Sei \(L\) ein Körper. Unter einem Teilkörper \(K\) von \(L\) verstehen wir eine Teilmenge \(K\subseteq L\), so dass für die Inklusionsabbildung \(\iota \colon K\to L\) und alle \(x,y\in K\) gilt, dass \(\iota (x+y)=\iota (x)+\iota (y)\), \(\iota (xy)=\iota (x)\iota (y)\).
Die Körper der rationalen, reellen und komplexen Zahlen \(\mathbb Q\subseteq \mathbb R\subseteq \mathbb C\) sind Teilkörper voneinander.
Ist \(p\) eine Primzahl, so ist die Menge \(\left.\mathbb Z\middle /p\right. =:\mathbb F_p\) der Restklassen von \(\mathbb Z\) modulo \(p\) mit der Addition und Multiplikation von Restklassen ein Körper. (Abschnitt 4.2.1)