A.4 Determinante
Referenz: Kapitel 9.
A.4.1 Definition und Existenz
Seien \(K\) ein Körper und \(V\) ein \(K\)-Vektorraum.
Wir nennen eine Abbildung \(f\colon V^n\to W\) in einen \(K\)-Vektorraum \(W\) multilinear, wenn für alle \(i\) und \(v_1,\dots , v_{i-1}, v_{i+1}, \dots , v_n\in V\) die Abbildung \(V\to W\), \(v\mapsto f(v_1, \dots , v_{i-1}, v, v_{i+1}, \dots , v_n)\) linear ist.
Wir nennen eine multilineare Abbildung \(f\colon V^n\to W\) in einen \(K\)-Vektorraum \(W\) alternierend, wenn für alle \(v_1, \dots , v_n\in V\), so dass \(i\ne j\) mit \(v_i = v_j\) existieren, gilt, dass \(f(v_1,\dots , v_n)=0\).
Sei nun \(V\) endlich-dimensional. Eine alternierende multilineare Abbildung \(V^n\to K\) heißt Determinantenfunktion. Die Menge der Determinantenfunktionen bildet einen Untervektorraum von \(\operatorname{Abb}(V^n, K)\), den wir mit \(\mathscr D_V\) bezeichnen.
Die Funktion \(\det \colon M_n(K)\to K\),
ist eine Determinantenfunktion auf \(M_n(K) = (K^n)^n\). Wir nennen \(\det (A)\in K\) die Determinante der Matrix \(A\). Für \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in M_2(K)\) ist \(\det (A) = ad-bc\).
Der Vektorraum \(\mathscr D_V\) hat Dimension \(1\).
A.4.2 Eigenschaften der Determinante
Seien \(A,B\in M_n(K)\). Dann gilt \(\det (AB) = \det (A)\det (B)\).
Für \(A\in M_n(K)\) vom Rang \({\lt} n\) gilt \(\det (A)=0\). Für invertierbare Matrizen ist die Determinante \(\ne 0\), genauer gilt:
Die Determinante induziert einen Gruppenhomomorphismus \(GL_n(K)\to K^\times \). Sein Kern ist die spezielle lineare Gruppe \(SL_n(K)\), das ist die Untergruppe von \(GL_n(K)\), die erzeugt wird von den Matrizen der Form \(E_{ij}(a)\), \(a\in K\).
Es gilt \(\det (A) = \det (A^t)\). Für eine Permutation \(\sigma \) mit zugehöriger Permutationsmatrix \(P_\sigma \) ist \(\det (P_\sigma ) = \operatorname{sgn}(\sigma )\) (wobei hier \(\operatorname{sgn}(\sigma )\) als Element des Grundkörpers \(K\) aufzufassen ist).
Sei \(V\) ein endlich-dimensionaler \(K\)-Vektorraum und \(f\in \operatorname{End}_K(V)\). Ist \(\mathscr B\) eine Basis von \(V\), so nennen wir \(\det (f):=\det (M^\mathscr B_\mathscr B(f))\in K\) die Determinante des Endomorphismus \(f\). Diese ist unabhängig von der Wahl von \(\mathscr B\).
Für eine quadratische Matrix \(A\in M_{n}(K)\) bezeichnen wir mit \(A_{ij}^\prime \in M_{n-1}(K)\) die Matrix, die aus \(A\) durch Streichen der \(i\)-ten Zeile und \(j\)-ten Spalte hervorgeht. Die Komplementärmatrix von \(A\) ist \(A^{\text{ad}}\in M_n(K)\) mit Eintrag \((-1)^{i+j}\det (A_{ji}^\prime )\) in Zeile \(i\) und Spalte \(j\).
Laplacescher Entwicklungssatz, Satz 9.29. Für alle \(i\) gilt die »Entwicklung von \(\det A\) nach der \(i\)-ten Zeile«:
\[ \det A = \sum _{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij}^\prime \]und für alle \(j\) die »Entwicklung von \(\det A\) nach der \(j\)-ten Spalte«:
\[ \det A = \sum _{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij}^\prime . \]Cramersche Regel, Satz 9.32.
\[ AA^{\text{ad}} = A^{\text{ad}}A = \det (A)E_n. \]
A.4.3 Die Spur einer Matrix
Für eine quadratische Matrix \(A=(a_{ij})_{i,j}\in M_n(K)\) definieren wir die \(\emph{Spur}\) \(\operatorname{Spur}(A)\in K\) von \(A\) als die Summe \(\sum _{i=1}^n a_{ii}\) der Diagonaleinträge von \(A\). Wir erhalten einen Gruppenhomomorphismus \(M_n(K)\to K\) von additiven Gruppen. Es gilt \(\operatorname{Spur}(AB)=\operatorname{Spur}(BA)\) für alle \(A,B\in M_n(K)\) und insbesondere \(\operatorname{Spur}(SAS^{-1})=\operatorname{Spur}(A)\) für alle \(A\in M_n(K)\), \(S\in GL_n(K)\).