(Dies ist gewissermaßen das Wichtigste, und vielleicht auch das Schwierigste …)

1. Mathematische Sprache verstehen,

2. Definitionen und Aussagen verstehen und präzise wiedergeben,

3. Beweise nachvollziehen, auf Korrektheit/Vollständigkeit prüfen und reproduzieren,

4. Beweise selbst finden und verständlich dokumentieren.

Diese Kompetenzen gehen ineinander über. (Zum Verstehen muss man »Details einfüllen«, d.h. Mini-Beweise selbst entwickeln. Je weiter man kommt, desto mehr …)

Auch wenn man nicht forschende Mathematiker∗in werden möchte, muss man im Mathematikstudium beweisen lernen. Denn um den Stoff des Studiums zu meistern, muss sich die Lerngeschwindigkeit im Laufe der Zeit erhöhen, das bedeutet, dass in Vorlesungen späterer Semester Details, die in den Anfängervorlesungen ausführlich begründet werden, nicht weiter erklärt werden: Die Student∗in muss sich selbst überlegen, warum etwas richtig ist, d.h., einen (kleinen oder manchmal auch größeren) Beweis »einfüllen«. Umso mehr gilt das, wenn man seine Bachelor-Arbeit schreibt oder Forschungsartikel lesen möchte, wie bei der Vorbereitung auf ein (Master-)Seminar oder bei der eigenen Masterarbeit.

Diese Fertigkeit (Problemlösen, Strukturen erkennen, …) ist das Wichtigste, was diejenigen aus dem Mathematikstudium mitnehmen, die später nicht an der Uni bleiben (oder in der Schule unterrichten). Und sie ist auch der Hauptgrund, warum Mathematiker*innen keine Sorgen zu haben brauchen, ob sie einen Arbeitsplatz finden.

Sie sollen am Ende der Vorlesung vertraut sein mit den folgenden Themen/Objekten/Begriffen:

1. Mengen, Abbildungen

2. Körper

3. Lineare Gleichungssysteme

4. Vektorraum, Untervektorraum

5. linear (un-)abhängig, Erzeugendensystem, Basis, Dimension

6. lineare Abbildungen, Kern, Bild, Rang, Dimensionsformel für lineare Abbildungen

7. Zusammenhang lineare Abbildungen und Matrizen, Zeilenrang/Spaltenrang

8. Gruppen, \(S_n\), \(GL_n(K)\), \(SL_n(K)\)

9. Determinanten (einer Matrix, eines Endomorphismus), Cramersche Regel

10. Eigenwerte und Eigenvektoren (Grundbegriffe)

1. Gauß-Algorithmus (zum Beispiel zur Lösung von linearen Gleichungssystemen; Bestimmung von Kern und Bild einer Matrix; Bestimmung von Basen; Berechnung von Determinanten)

2. Rechnen mit Matrizen (Matrizenprodukt, Determinanten)

3. Bestimmung von Eigenwerten und Eigenräumen eines Endomorphismus/einer Matrix

Die Rechenmethoden stehen hier bewusst an letzter Stelle (auch wenn wir in der Vorlesung recht bald zu dem zentralen Gauß-Algorithmus kommen werden), weil die anderen Punkte wichtiger sind. Dennoch empfehle ich, auch viel zu rechnen, weil das erstens ausreichend geübt werden muss, damit es fehlerfrei und zügig funktioniert, und zweitens das Verständnis der abstrakten Begriffe profitiert, wenn man sich genügend viele Beispiele rechnerisch erarbeitet hat.

Manchmal wird unterschieden zwischen Rechenaufgaben und Beweisaufgaben. Der Übergang ist natürlich fließend und auch für eine »Rechenaufgabe« werden Sie oft erstmal ein bisschen nachdenken müssen, um herauszufinden, welche Rechnung überhaupt gefragt ist. Aber in der Tat gibt es verschiedene Kompetenzen, die beide wichtig sind: Einerseits, eine Rechnung korrekt und in angemessener Zeit durchführen zu können; andererseits, eine Aussage begründen (oder gegebenenfalls widerlegen) zu können. In beiden Fällen ist es wichtig, dass Sie Ihre Lösung angemessen dokumentieren können.

Die Rechenkompetenz allein lässt sich gut in den Online-Aufgaben abdecken, außerdem fallen die Rechenaufgaben in der Regel den Studienanfänger∗innen leichter. Deshalb liegt in den Hausaufgaben, die Sie abgeben müssen und die dann per Hand korrigiert werden, und in der Klausur der Schwerpunkt auf den Beweisaufgaben. Dabei geht es nicht darum, geniale Ideen zu entwickeln, sondern einfache Zusammenhänge (wieder) zu erkennen und verstandene Argumente klar dokumentieren zu können.