Sind \(u\in R^\times \) und \(a\in R\) nilpotent, so ist \(u-a\in R^\times \). Es ist ausreichend, das für \(u=1\) zu zeigen, weil mit \(a\) auch \(u^{-1}a\) nilpotent ist. Es gilt aber \((1-a)\left(\sum _{i\ge 0} a^i\right) = 1\). Die Summe hier ist nur formal unendlich, weil mit \(a\) offenbar auch \(-a\) nilpotent ist. Vergleiche die geometrische Reihe. Weil mit \(a\) auch \(-a\) nilpotent ist, folgt auch \(u+a\in R^\times \).

1. In jedem Ring \(R\) sind \(\{ 0 \} \) (das Nullideal) und \(R\) (das Einsideal) Ideale.

2. Der Durchschnitt von Idealen ist ein Ideal.

3. Sind \(R\) ein Ring und ist \(X\subseteq R\) eine Teilmenge, so ist

   \[ (X) := \bigcap _{\mathfrak a \subseteq R\ \text{Ideal}, X\subseteq \mathfrak a} \mathfrak a \quad = \left\{ \sum _{i=1}^n a_i x_i;\quad n\ge 0,\ a_i \in R,\ x_i\in X \right\} \]

   das kleinste Ideal von \(R\), das \(X\) enthält. Wir nennen \((X)\) das von \(X\) erzeugte Ideal. Ist \(X = \{ x_1, \dots , x_n \} \), so schreiben wir \((x_1, \dots , x_n) := (X)\). Beispiel: \((0) = \{ 0 \} \), \((1) = R\). Ein Ideal \(\mathfrak a\) heißt endlich erzeugt, wenn endlich viele Elemente \(a_1, \dots , a_n\in \mathfrak a\) existieren mit \(\mathfrak a=(a_1, \dots , a_n)\). Ein Ideal \(\mathfrak a\) heißt Hauptideal, wenn ein Element \(a\in \mathfrak a\) existiert mit \(\mathfrak a=(a)\). Ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring.

4. Sei \(R\) ein Ring. Sind \(\mathfrak a_\nu \subseteq R\) Ideale, so heißt das von \(\bigcup _\nu \mathfrak a_\nu \) erzeugte Ideal die Summe der Ideale \(\mathfrak a_\nu \), in Zeichen \(\sum _\nu \mathfrak a_\nu \). Es gilt

   \[ \sum _\nu \mathfrak a_\nu = \left\{ \sum _\nu x_\nu ; \ x_\nu \in \mathfrak a_\nu ,\ \text{nur endlich viele}\ x_\nu \ \text{ungleich}\ 0\right\} . \]

1. Im allgemeinen kann die obige Bedingung wie folgt ausformuliert werden: Sei \(f\colon R\to S\) ein Ringhomomorphismus. Der Homomorphismus \(f\) faktorisiert genau dann über \(\pi \) (d.h., lässt sich schreiben in der Form \(f=\psi \circ \pi \) für ein \(\psi \colon \overline{R}\to S\)), wenn \(\operatorname{Ker}(f)\supseteq \mathfrak a\). In diesem Fall ist \(\psi \) eindeutig bestimmt.

   Das bedeutet: Der »wie üblich« konstruierte Quotient \(R/\mathfrak a\) (siehe unten) ist ein Quotient im Sinne der obigen Definition – dies ist gerade der Homomorphiesatz.

2. Aus der universellen Eigenschaft folgt, dass ein Quotient eindeutig bestimmt ist bis auf eindeutigen Isomorphismus, siehe den Beweis von Satz LA2.18.4.

3. Alternativ kann man einen Ringhomomorphismus \(R\to S\) (also eine \(R\)-Algebra-Struktur auf \(S\)) von vorneherein fixieren und die Äquivalenz, dass \(f\) genau dann über \(\pi \) faktorisiert, wenn \(\mathfrak a\subseteq \operatorname{Ker}(f)\) gilt, dadurch ausdrücken, dass die Abbildung

   \[ \operatorname{Hom}_R(\overline{R}, S) \longrightarrow \{ f\in \operatorname{Hom}_R(R, S);\ \operatorname{Ker}(f) \supseteq \mathfrak a \} ,\quad \psi \mapsto \psi \circ \pi , \]

   eine Bijektion ist. Hier werden also auf beiden Seiten \(R\)-Algebra-Homomorphismen betrachtet. (Das hat zur Folge, dass beide Seiten höchstens ein Element haben.)

4. In der Definition kann man die Bedingung \(\mathfrak a\subseteq \operatorname{Ker}(\pi )\) fallenlassen, weil sie aus der zweiten Bedingung folgt (denn für \(S=\overline{R}\) liegt \(\operatorname{id}_{\overline{R}}\) in der linken Seite der Bijektion).

5. Aus der obigen Definition geht nicht hervor, ob ein Quotient in diesem Sinne überhaupt immer existiert. Man kann mit dieser abstrakteren Definition also nicht darum herumkommen, die Konstruktion des Quotienten durchzuführen.