Inhalt

A.2 Ringe

Wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird, verstehen wir in dieser Vorlesung unter einem Ring stets einen kommutativen Ring.

A.2.1 Ideale, Primideale, maximale Ideale

Lemma A.27

Seien \(K\) ein Körper, \(R\ne 0\) ein Ring und \(\varphi \colon K\to R\) ein Ringhomomorphismus. Dann ist \(\varphi \) injektiv.

Satz A.28

Sei \(R\) ein Ring und sei \(\mathfrak a\subseteq R\) ein Ideal. Sei \(\pi \colon R\to R/\mathfrak a\) die kanonische Projektion. Dann sind die Abbildungen

\begin{align*} \{ \mathfrak b\subseteq R\ \text{Ideal};\ \mathfrak a\subseteq \mathfrak b\} & \stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}\{ \mathfrak c\subseteq R/\mathfrak a\ \text{Ideal}\} \\ \mathfrak b & \mapsto \pi (\mathfrak b),\\ \pi ^{-1}(\mathfrak c) & \mathrel {\reflectbox {\ensuremath{\mapsto }}}\mathfrak c, \end{align*}

zueinander inverse, inklusionserhaltende Bijektionen.

Definition A.29

Sei \(R\) ein Ring. Ein Ideal \(\mathfrak p \subset R\) heißt Primideal, wenn \(\mathfrak p \ne R\) gilt und wenn für alle \(x,y\in R\) gilt: Falls \(xy\in \mathfrak p\), dann ist \(x\in \mathfrak p\) oder \(y\in \mathfrak p\).

Lemma A.30

Seien \(R\) ein kommutativer Ring und \(\mathfrak p\subseteq R\) ein Ideal. Dann sind äquivalent:

  1. der Quotient \(R/\mathfrak p\) ist ein Integritätsring,

  2. das Ideal \(\mathfrak p\) ist ein Primideal.

Definition A.31

Sei \(K\) ein Körper. Wir sagen, \(K\) habe Charakteristik 0, wenn der eindeutig bestimmte Ringhomomorphismus \(\mathbb Z\to K\) injektiv ist, und habe Charakteristik \(p\), wenn sein Kern von der Primzahl \(p\) erzeugt wird.

Satz A.32

Sei \(K\) ein Körper der Charakteristik \(p {\gt} 0\). Dann ist die Abbildung

\[ K\to K,\quad x\mapsto x^p, \]

ein Körperhomomorphismus, der sogenannte Frobenius-Homomorphismus von \(K\).

Definition A.33

Sei \(R\) ein Ring. Ein Ideal \(\mathfrak m\subset R\) heißt maximales Ideal, wenn \(\mathfrak m\ne R\) ist und \(\mathfrak m\) maximal mit dieser Eigenschaft bezüglich der Inklusion von Idealen ist, d.h. wenn für jedes Ideal \(\mathfrak a\subseteq R\) mit \(\mathfrak m\subseteq \mathfrak a\subseteq R\) gilt: \(\mathfrak a = \mathfrak m\) oder \(\mathfrak a = R\).

Lemma A.34

Sei \(R\) ein kommutativer Ring und \(\mathfrak m \subseteq R\) ein Ideal. Dann sind äquivalent:

  1. der Quotient \(\left.R\middle /\mathfrak m\right.\) ist ein Körper,

  2. das Ideal \(\mathfrak m\) ist ein maximales Ideal.

Insbesondere ist jedes maximale Ideal ein Primideal.

Satz A.35

Sei \(R\) ein Hauptidealring und \(\mathfrak p \subset R\) ein Primideal, das nicht das Nullideal ist. Dann ist \(\mathfrak p\) ein maximales Ideal von \(R\).

Satz A.36

Sei \(R\) ein Ring und sei \(\mathfrak a\subsetneq R\) ein Ideal. Dann besitzt \(R\) ein maximales Ideal, das \(\mathfrak a\) enthält. Insbesondere besitzt jeder Ring \(R\ne 0\) ein maximales Ideal.

Der Beweis beruht auf dem Lemma von Zorn, siehe Abschnitt LA1.B.1.

A.2.2 Polynomringe

Definition A.37

Sei \(R\) ein (kommutativer) Ring.

  1. Eine \(R\)-Algebra ist ein (kommutativer) Ring \(S\) zusammen mit einem Ringhomomorphismus \(\varphi \colon R\to S\).

  2. Seien \(S\), \(S^\prime \) mit Ringhomomorphismen \(\varphi \colon R\to S\), \(\varphi ^\prime \colon R\to S^\prime \) Algebren über \(R\). Ein Homomorphismus von \(R\)-Algebren ist ein Ringhomomorphismus \(\psi \colon S\to S^\prime \), so dass \(\varphi = \varphi ^\prime \circ \psi \) gilt.

    Wir bezeichnen mit \(\operatorname{Hom}_R(S, S^\prime )\) die Menge aller \(R\)-Algebren-Homomorphismen von \(S\) nach \(S^\prime \). Besonders dann, wenn \(R\) ein Körper ist, sprechen wir statt von einem \(R\)-Algebren-Homomorphismus auch einfach von einem \(K\)-Homomorphismus.

Ist \(K\) ein Körper und \(A\) eine \(K\)-Algebra, gegeben durch einen Ringhomomorphismus \(\varphi \colon K\to A\), so können wir \(A\) als \(K\)-Vektorraum mit der Skalarmultiplikation \(x\cdot a :=\varphi (x)a\) verstehen (für \(x\in K\), \(a\in A\), und wobei rechts die Ringmultiplikation von \(A\) verwendet wird). Es ist leicht nachzurechnen, dass die Vektorraumaxiome erfüllt sind. Ist andererseits \(A\) ein Ring, der auch ein \(K\)-Vektorraum ist, stimmen Ring- und Vektorraumaddition überein und gilt \(x(ab) = (xa)b = a(xb)\) für alle \(x\in K\), \(a,b\in A\), so trägt \(A\) eine \(K\)-Algebrenstruktur, nämlich \(K\to A\), \(x\mapsto x\cdot 1\). Verwendet man den Begriff des \(R\)-Moduls (siehe Abschnitt LA2.18.7.1) so kann man den Begriff der \(R\)-Algebra auch für beliebige kommutative Ringe in analoger Weise betrachten.

Wir verallgemeinern die Konstruktion des Polynomrings über einem Ring in einer Variablen, indem wir auch mehrere Variablen zulassen (gegebenenfalls auch unendlich viele). Ist \(I\) die vorgegebene Indexmenge für die Variablen, so sind die Elemente des Polynomrings \(R[X_i,\ i\in I]\) »Linearkombinationen« von Ausdrücken der Form \(X_{i_1}^{n_1}\cdot \cdots \cdot X_{i_r}^{n_r}\) für \(r\in \mathbb N\), \(i_s\in I\), \(n_s\in \mathbb N_{{\gt} 0}\). (In jedem einzelnen Polynom treten also immer nur endlich viele Variablen auf. Der Ring ist kommutativ, d.h. die Variablen kommutieren miteinander und mit Skalaren aus \(R\).) Polynome werden in der offensichtlichen Weise addiert. Die Multiplikation ist durch die Regel

\[ X_{i_1}^{m_1}\cdot \cdots \cdot X_{i_r}^{m_r}\, \cdot \, X_{i_1}^{n_1}\cdot \cdots \cdot X_{i_r}^{n_r} = X_{i_1}^{m_1+n_1}\cdot \cdots \cdot X_{i_r}^{m_r+n_r} \]

und die Distributivgesetze eindeutig bestimmt (wobei wir hier auch \(0\) als Exponenten zulassen und \(X_i^0 = 1\) setzen).

Den Polynomring \(R[X_1,\dots , X_n]\) in endlich vielen Variablen \(X_1,\dots , X_n\) kann man identifizieren mit \((R[X_1,\dots , X_{n-1}])[X_n]\), so dass man diese Ringe auch induktiv konstruieren kann. Im Fall unendlich vieler Variablen ist dies allerdings nicht ohne weiteres möglich. In jedem Fall haben wir den Begriff des Einsetzungshomomorphismus, der auch als universelle Eigenschaft des Polynomrings betrachtet werden kann:

Definition A.38

Sei \(R\) ein kommutativer Ring und \(I\) eine Menge. Dann existiert eine \(R\)-Algebra \(P\) zusammen mit Elementen \(X_i\in P\), \(i\in I\), so dass für alle \(R\)-Algebren \(S\) die Abbildung

\[ \operatorname{Hom}_R(P, S) \to \operatorname{Abb}(I, S),\quad f\mapsto (i\mapsto f(X_i)), \]

bijektiv ist.

Die \(R\)-Algebra \(P\) ist eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus im folgenden Sinne: Ist \(P^\prime \) zusammen mit Elementen \(X_i^\prime \in P^\prime \) eine \(R\)-Algebra, die ebenfalls die obige Eigenschaft besitzt, so existiert ein eindeutig bestimmter \(R\)-Algebren-Isomorphismus \(P\to P^\prime \) mit \(X_i\mapsto X_i^\prime \) für alle \(i\).

Wir schreiben auch \(R[X_i,\ i\in I] := P\) und nennen diesen Ring den Polynomring über \(R\) in den Variablen \(X_i\), \(i\in I\).

Definition A.39

Sei \(R\) ein Ring, \(f\in R[X]\) ein Polynom und \(\varphi \colon R\to S\) ein Ringhomomorphismus. Sei \(\alpha \in S\).

  1. Das Element \(\alpha \) heißt Nullstelle von \(f\) (in \(S\)), wenn \(f(\alpha )=0\) gilt. Wir fassen hierbei \(f\) vermöge \(\varphi \) als Element von \(S[X]\) auf, wenden also auf alle Koeffizienten von \(f\) den Homomorphismus \(\varphi \) an.

  2. Sei nun in der obigen Situation \(S\) ein Integritätsring und \(f\ne 0\). Die eindeutig bestimmte natürliche Zahl \(m\) mit \((X-\alpha )^m\, |\, f\) und \((X-\alpha )^{m+1}\nmid f\) heißt die Vielfachheit (oder Ordnung) von \(\alpha \) als Nullstelle von \(f\); wir schreiben \(\operatorname{mult}_\alpha (f) := m\).

Es ist also \(\alpha \) genau dann eine Nullstelle von \(f\), wenn \(\operatorname{mult}_\alpha (f) \ge 1\) gilt. Im Fall \(\operatorname{mult}_\alpha (f) = 1\) nennen wir \(\alpha \) auch eine einfache Nullstelle, falls \(\operatorname{mult}_\alpha (f) {\gt} 1\) ist, so heißt \(\alpha \) eine mehrfache Nullstelle. Genauer sprechen wir im Fall \(\operatorname{mult}_\alpha (f) = 2\) von einer doppelten Nullstelle, usw.

Definition A.40

Sei \(R\) ein Ring. Die (formale) Ableitung eines Polynoms \(f = \sum _{i=0}^n a_i X^i\in R[X]\) ist das Polynom

\[ f^\prime := \sum _{i=1}^n ia_iX^{i-1} \in R[X]. \]

Lemma A.41

Sei \(R\) ein Ring. Die Bildung der Ableitung von Polynomen genügt den folgenden Rechenregeln. Hier seien \(f,g\in R[X]\), \(a\in R\).

  1. \((af)^\prime = a\cdot f^\prime \),

  2. \((f+g)^\prime = f^\prime + g^\prime \),

  3. \((fg)^\prime = f^\prime g + fg^\prime \).

Lemma A.42

Sei \(R\) ein Ring, \(f\in R[X]\), \(f\ne 0\), und \(\alpha \in R\) eine Nullstelle von \(f\). Dann sind äquivalent:

  1. \(\alpha \) ist eine mehrfache Nullstelle von \(f\),

  2. \(f^\prime (\alpha ) = 0\).

A.2.3 Der Satz von Gauß

Definition A.43

Sei \(R\) ein faktorieller Ring und sei \(p\) ein Primelement von \(R\). Sei \(K\) der Quotientenkörper von \(R\).

Für \(x\in K^\times \) schreiben wir \(v_p(x)\) für die eindeutig bestimmte ganze Zahl \(m\), so dass sich \(x\) in der Form \(x = p^m y\) für ein \(y\in K^\times \) schreiben lässt, in dessen Darstellung als gekürzter Bruch weder der Zähler noch der Nenner durch \(p\) teilbar sind. Außerdem setzen wir \(v_p(0) = \infty \).

Sind in der Situation der Definition \(p, p^\prime \in R\) zueinander assoziierte Primelemente, so gilt \(v_p(x) = v_{p^\prime }(x)\) für alle \(x\in K\). Es ist genau dann \(x\in R\), wenn \(v_p(x) \ge 0\) für alle Primelemente \(p\) von \(R\) gilt. Äquivalent genügt es, diese Bedingung für alle Elemente eines Vertretersystems der Primelemente bis auf Assoziiertheit nachzuprüfen.

Lemma A.44

Sei \(R\) ein faktorieller Ring und sei \(p\) ein Primelement von \(R\). Sei \(K\) der Quotientenkörper von \(R\) und seien \(x, y\in K\). Dann gilt:

  1. \(v_p(xy) = v_p(x) + v_p(y)\),

  2. \(v_p(x+y) \ge \min (v_p(x), v_p(y))\).

Definition A.45

Sei \(R\) ein faktorieller Ring und sei \(p\) ein Primelement von \(R\). Sei \(K\) der Quotientenkörper von \(R\).

Für \(f = \sum _{i=0}^n a_i X^i \in K[X]\) definieren wir

\[ v_p(f) := \min \{ v_p(a_i);\ i=0,\dots , n\} . \]

Es gilt dann also für \(f\in K[X]\): \(f\in R[X]\) genau dann, wenn \(v_p(f) \ge 0\) für alle Primelemente \(p\) von \(R\).

Lemma A.46 Lemma von Gauß

Sei \(R\) ein faktorieller Ring und sei \(p\) ein Primelement von \(R\). Sei \(K\) der Quotientenkörper von \(R\) und seien \(f, g\in K[X]\). Dann gilt: \(v_p(fg) = v_p(f) + v_p(g)\).

Korollar A.47

Sei \(R\) ein faktorieller Ring und sei \(h\in R[X]\) normiert. Ist dann \(h=fg\) eine Zerlegung von \(h\) als Produkt von normierten Polynomen \(f, g\in K[X]\) so gilt \(f, g\in R[X]\).

Definition A.48

Sei \(R\) ein faktorieller Ring. Ein Polynom \(f\in R[X]\) heißt primitiv, wenn \(f\ne 0\) und wenn \(1\) ein größter gemeinsamer Teiler der Koeffizienten von \(f\) ist.

Satz A.49 Satz von Gauß

Sei \(R\) ein faktorieller Ring, und sei \(K\) der Quotientenkörper von \(R\). Dann ist auch der Polynomring \(R[X]\) faktoriell.

Ein Element \(f\in R[X]\) ist genau dann irreduzibel, wenn

  1. \(\deg (f) = 0\) und \(f\) als Element von \(R\) irreduzibel ist, oder

  2. \(\deg (f) {\gt} 0\), \(f\) primitiv und \(f\) als Element von \(K[X]\) irreduzibel ist.

A.2.4 Irreduzibilitätskriterien

Satz A.50 Reduktionskriterium

Sei \(R\) ein faktorieller Ring mit Quotientenkörper \(K\), sei \(p\in R\) ein Primelement und sei \(f = \sum _{i=0}^n a_iX^i\in R[X]\) ein Polynom vom Grad \(n {\gt} 0\), so dass \(a_n\) nicht von \(p\) geteilt wird. Wenn das Bild von \(f\) in \((R/p)[X]\) irreduzibel ist, dann ist \(f\) irreduzibel in \(K[X]\).

Wird zusätzlich \(f\) als primitiv vorausgesetzt, so folgt, dass \(f\) in \(R[X]\) irreduzibel ist.

Satz A.51 Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein

Seien \(R\) ein faktorieller Ring und \(K\) sein Quotientenkörper, sei \(p\in R\) ein Primelement und sei \(f = \sum _{i=0}^n a_iX^i\in R[X]\) ein primitives Polynom vom Grad \(n {\gt} 0\). Es gelte

\[ p\, |\, a_i,\ i=0,\dots , n-1,\qquad p^2\nmid a_0. \]

Dann ist \(f\) irreduzibel in \(R[X]\) und folglich auch irreduzibel in \(K[X]\).