6.4 Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale
Um die Diskussion etwas zu vereinfachen, betrachten wir in diesem Abschnitt nur Körper der Charakteristik \(0\). Um die Ergebnisse in der »richtigen« Art und Weise auf Körper positiver Charakteristik zu übertragen, ist zu berücksichtigen, dass es über diesen im Allgemeinen auch zyklische Erweiterungen gibt, für die kein primitives Element mit Minimalpolynom der Form \(X^n - c\) existiert (vergleiche Satz A.103, der diese Fälle nicht abdeckt, weil es niemals eine primitive \(n\)-te Einheitswurzel gibt, wenn \(n\) ein Vielfaches der Charakteristik ist).
Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche Körpererweiterung.
Wir sagen, die Körpererweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) sei auflösbar durch Radikale, wenn eine Kette
\[ K= K_0 \subset K_1\subset \cdots \subset K_r \]endlicher Körpererweiterungen mit \(L\subseteq K_r\) existiert, so dass jede der Erweiterungen \(\left.K_{i+1}\middle /K_i\right.\) von einer der folgenden Formen ist:
\(K_{i+1}\) entsteht aus \(K_i\) durch Adjunktion einer Einheitswurzel,
\(K_{i+1} = K_i(\alpha )\) für ein Element \(\alpha \) aus \(K_{i+1}\), so dass eine positive Potenz von \(\alpha \) in \(K_i\) liegt.
Wir sagen, die Körpererweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) sei auflösbar, wenn ein Erweiterungskörper \(E\) von \(L\) existiert, so dass \(\left.E\middle /K\right.\) eine Galois-Erweiterung mit auflösbarer Galois-Gruppe ist.
Ist \(f\in K[X]\), so sagen wir die Gleichung \(f(x)=0\) (oder: das Polynom \(f\)) sei auflösbar durch Radikale bzw. auflösbar, wenn der Zerfüllungskörper von \(f\) die entsprechende Eigenschaft hat.
Eine Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) ist genau dann auflösbar durch Radikale, wenn die normale Hülle von \(L\) über \(K\) diese Eigenschaft hat.
Eine Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) ist genau dann auflösbar, wenn die normale Hülle von \(L\) über \(K\) eine Galois-Erweiterung mit auflösbarer Galois-Gruppe ist.
Die Eigenschaften auflösbar durch Radikale und auflösbar verhalten sich transitiv in einem Turm \(K\subset L\subset M\) von Körpererweiterungen.
Eine Körpererweiterung ist genau dann auflösbar durch Radikale, wenn sie auflösbar ist.
Es gibt Gleichungen (zum Beispiel vom Grad \(5\) über \(\mathbb Q\)), die nicht durch Radikale auflösbar sind.
Jede Gleichung vom Grad \(\le 4\) ist durch Radikale auflösbar.
Satz von Rost über ’Radikalabschluss’ von \(\mathbb Q\) in \(\mathbb R\), siehe zB Soergel 8.8.