6.3 Einheitswurzeln und zyklische Erweiterungen
Sei \(K\) ein Körper. Sei \(n\in \mathbb N_{{\gt} 0}\).
Ein Element \(\zeta \in K^\times \) heißt eine \(n\)-te Einheitswurzel, wenn \(\zeta ^n = 1\) gilt. Wir bezeichnen mit \(\mu _n(K)\) die Menge der \(n\)-ten Einheitswurzeln. Dies ist eine Untergruppe von \(K^\times \).
Ein Element \(\zeta \in K^\times \) heißt primitive \(n\)-te Einheitswurzel, wenn \(\zeta \) als Element der Gruppe \(K^\times \) Ordnung \(n\) hat, wenn also \(\zeta ^n = 1\), aber \(\zeta ^m \ne 1\) für alle \(1\le m {\lt} n\) gilt. Wir bezeichnen mit \(\mu _n^{\text{prim}}(K)\) die Menge der primitiven \(n\)-ten Einheitswurzeln.
Die \(n\)-ten Einheitswurzeln in einem Körper \(K\) sind gerade die Nullstellen des Polynoms \(X^n -1\). Es gilt also \(\# \mu _n(K) \le n\), und Gleichheit gilt genau dann, wenn es eine primitive \(n\)-te Einheitswurzel gibt. In diesem Fall zerfällt also das Polynom \(X^n-1\) in \(n\) verschiedene Linearfaktoren. Insbesondere kann es in einem Körper positiver Charakteristik \(p\) für \(p\, |\, n\) niemals eine primitive \(n\)-te Einheitswurzel geben (denn die Ableitung von \(X^n -1\) ist in dieser Situation gleich Null).
Die Gruppe \(\mu _n(K)\) ist zyklisch. Gibt es in \(K\) eine primitive \(n\)-te Einheitswurzel \(\zeta \), so ist die Abbildung
ein Isomorphismus. (Weil \(\zeta ^n = 1\) gilt, ist der Ausdruck \(\zeta ^i\) wohldefiniert, also unabhängig von der Zahl eines Repräsentanten von \(\mathbb Z\) von \(i\in \left.\mathbb Z\middle /n\right.\).) Dieser Isomorphismus schränkt sich ein zu einer Bijektion zwischen \((\left.\mathbb Z\middle /n\right.)^\times \) und \(\mu _n^{\text{prim}}(K)\).
Es gilt \(\mu _n(\mathbb C) = \{ \exp (\frac{2k\pi i}{n});\ k=1,\dots , n\} \). Insbesondere ist \(\exp (\frac{2\pi i}{n})\) eine primitive \(n\)-te Einheitswurzel.
BILD!!
Sei \(K\) ein Körper, \(\overline{K}\) ein algebraischer Abschluss von \(K\) und \(\zeta \in \overline{K}\) eine Einheitswurzel. Dann gilt: Die Erweiterung \(\left.K(\zeta )\middle /K\right.\) ist eine Galois-Erweiterung.
Sei in der Situation des Satzes \(\zeta \) eine primitive \(n\)-te Einheitswurzel in \(\overline{K}\). Wir betrachten die Abbildung \(\psi ^\prime \colon \operatorname{Gal}(K(\zeta )/K) \to \mu _n^{\text{prim}}\), \(\psi ^\prime (\sigma ) = \sigma (\zeta )\). Dies ist eine injektive Abbildung, und durch Verkettung mit der Bijektion \(\mu _n^{\text{prim}}(K(\zeta )) \cong (\left.\mathbb Z\middle /n\right.)^\times \) erhalten wir einen injektiven Gruppenhomomorphismus \(\psi \colon \operatorname{Gal}(K(\zeta )/K)\to (\left.\mathbb Z\middle /n\right.)^\times \).
Sei \(K\) ein Körper, \(\overline{K}\) ein algebraischer Abschluss von \(K\) und \(\zeta \in \overline{K}\) eine primitive \(n\)-te Einheitswurzel. Dann gilt: Die Erweiterung \(\left.K(\zeta )\middle /K\right.\) ist eine abelsche Galois-Erweiterung. Die Galois-Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe von \((\left.\mathbb Z\middle /n\right.)^\times \).
Sei \(K=\mathbb Q\) und \(\zeta \) eine primitive \(n\)-te Einheitswurzel (in einem algebraischen Abschluss von \(\mathbb Q\)). Dann gilt \([\mathbb Q(\zeta ) : \mathbb Q] = \# (\left.\mathbb Z\middle /n\right.)^\times \) und \(\operatorname{Gal}(\left.\mathbb Q(\zeta )\middle /\mathbb Q\right.) \cong (\left.\mathbb Z\middle /n\right.)^\times \).
Seien \(n\in \mathbb N_{{\gt} 1}\) und \(K\) ein Körper, der eine primitive \(n\)-te Einheitswurzel enthält. Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine Körpererweiterung.
Wenn \(L = K(\alpha )\) gilt für ein Element \(\alpha \in L\), das Nullstelle eines Polynoms der Form \(X^n - c\) mit \(c\in K\) ist, dann ist \(\left.L\middle /K\right.\) eine zyklische Galois-Erweiterung. Der Grad \(d:=[L:K]\) ist ein Teiler von \(n\), es gilt \(\alpha ^d\in K\) und \(X^d - \alpha ^d\) ist das Minimalpolynom von \(\alpha \) über \(K\).
Wenn die Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) zyklisch vom Grad \(n\) ist, dann existiert \(\alpha \in L\), so dass \(L=K(\alpha )\) ist und das Minimalpolynom von \(\alpha \) über \(K\) die Form \(\operatorname{minpol}_{\alpha , K}=X^n - c\) für ein \(c\in K\) hat.
zu (1). TODO, aber das ist nicht so schwierig.
zu (2). Sei \(\sigma \) ein Erzeuger von \(\operatorname{Gal}(\left.L\middle /K\right.)\). Wir betrachten \(\sigma \) als \(K\)-Vektorraum-Isomorphismus \(L\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}L\). Aus \(\sigma ^n = \operatorname{id}\) folgt \(\operatorname{minpol}_\sigma \, |\, (X^n-1)\) (hier ist \(\operatorname{minpol}_\sigma \) das Minimalpolynom von \(\sigma \) im Sinne der Linearen Algebra).
Behauptung. Es gilt \(\operatorname{minpol}_\sigma = X^n-1\).
Begründung. Die Menge der Eigenwerte von \(\sigma \) ist eine Untergruppe von \(K^\times \). (Zu EV \(v\), \(w\) betrachte das Produkt \(vw\) bzw. \(v^{-1}\).) Genauer: eine Untergruppe von \(\mu _n(K)\), also von der Form \(\mu _d(K)\). Es folgt dann (diagonalisiere \(\sigma \)…), dass \(\sigma ^d = \operatorname{id}\) gilt. Weil \(\sigma \) die Gruppe \(\operatorname{Gal}(\left.L\middle /K\right.)\) mit \(n\) Elementen erzeugt, folgt \(d=n\).
Damit: \(\zeta \) (primitive \(n\)-te EW) ist Eigenwert von \(\sigma \), es existiert also \(\alpha \in L\) mit \(\sigma (\alpha ) = \zeta \alpha \).
DER REST IST DANN NICHT MEHR SCHWIERIG.
Alternativ:
Zweite Hälfte des Beweises von (2) mit lin.Unab. von Charakteren.
Lagrangesche Resolvente (siehe Jantzen-Schwermer) (+ Lin.Unabh. von Char.)
Hilbert 90.
Der Satz von Kronecker-Weber.
Vielleicht auch (ggfs. als Ergänzung) EW über \(\mathbb F_p\), …, das ist ganz nett.
siehe auch https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/galoistheory/cyclotomic.pdf
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~klopsch/mathematics/Manuskripte/applications_field_theory.pdf (Dirichlet für \((k,1)\).)