Sei \(\zeta \) eine primitive \(p\)-te Einheitswurzel über \(\mathbb Q\). Es gilt \(\operatorname{minpol}_{\zeta ,\mathbb Q} = X^{p-1} + \cdots + 1\) (siehe ??). Wir haben gesehen, dass \(G:=\operatorname{Gal}(\left.\mathbb Q(\zeta )\middle /\mathbb Q\right.)\cong \left.\mathbb Z\middle /p\right.^\times \) gilt (??), und dies ist eine zyklische Gruppe (??). Insbesondere gibt es in \(G\) genau eine Untergruppe vom Index \(2\). Dies übersetzt sich mit dem Hauptsatz der Galois-Theorie in die Tatsache, dass die Erweiterung \(\left.\mathbb Q(\zeta )\middle /\mathbb Q\right.\) einen eindeutig bestimmten Zwischenkörper \(E\) mit \([E:\mathbb Q]=2\) besitzt.

Um \(E\) zu bestimmen, versuchen wir, ein Element \(\gamma \in E\) »explizit« anzugeben, das nicht in \(\mathbb Q\) liegt, aber so dass das Quadrat \(\gamma ^2\) eine rationale Zahl ist. Offenbar gilt dann \(E=\mathbb Q(\gamma )\). Statt das Ergebnis »vom Himmel fallen zu lassen«, wollen wir uns an dieser Stelle etwas mehr Zeit nehmen und illustrieren, wie man (mit genügend Ausdauer und den richtige Ideen …) darauf kommen könnte.

Jedenfalls bildet \(1, \zeta ,\dots , \zeta ^{p-2}\) eine Vektorraumbasis von \(\mathbb Q(\zeta )\) als \(\mathbb Q\)-Vektorraum. Da die Multiplikation mit \(\zeta \) ein \(\mathbb Q\)-Vektorraum-Isomorphismus \(\mathbb Q(\zeta )\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}\mathbb Q(\zeta )\) ist, ist auch \(\zeta ,\zeta ^2,\dots , \zeta ^{p-1}\) eine Basis von \(\mathbb Q(\zeta )\), und diese ist für unsere Zwecke noch etwas besser geeignet. Jedes Element von \(\mathbb Q(\zeta )\) lässt sich also eindeutig in der Form

schreiben, und wir wollen untersuchen, unter welchen Bedingungen an die \(c_a\) wir ein Element erhalten, dessen Quadrat in \(\mathbb Q\) liegt.

Es ist

Dieses Element liegt genau dann in \(\mathbb Q\), wenn es von allen Galois-Automorphismen \(\mathbb Q(\zeta )\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}\mathbb Q(\zeta )\) fixiert wird. Wie oben bemerkt, haben diese Automorphismen die Form \(\sigma _i\) für \(\sigma _i(\zeta )= \zeta ^i\) für ein \(i\in \{ 1, \dots , p-1\} \). Das Bild des obigen Elements unter \(\sigma _i\) ist

Wir sehen also, dass die beiden Summen jedenfalls dann gleich sind, wenn

gilt.

Nach Skalierung nehmen wir an, dass \(c_1=1\) gelte. …Sehen dann, dass \(a\mapsto c_a\) ein Gruppenhomomorphismus \(\mathbb F_p^\times \to \{ \pm 1\} \) ist, dessen Kern die Untergruppe \(\mathbb F_p^{\times 2}\) aller Quadrate in \(\mathbb F_p^\times \) enthält.

Die Möglichkeit, \(c_a = 1\) für alle \(a\) zu setzen, scheidet für unsere Zwecke aus, weil das Element \(\sum _{a=1}^{p-1} \zeta _a = -1\) in \(\mathbb Q\) liegt (und wir ein Element finden möchten, das den Erweiterungskörper \(E\) über \(\mathbb Q\) erzeugt). Wir definieren daher

(wobei wir hier \(\{ 1, \dots , p-1\} \) mit \(\mathbb F_p^\times \) identifizieren). UMSCHREIBEN MIT LEGENDRE-SYMBOL?!

Wir wollen nun zeigen, dass \(\gamma ^2 = p^\ast \) gilt. Damit ist dann der Satz vollständig bewiesen. Nach dem obigen wissen wir bereits, dass \(\gamma ^2\in \mathbb Q\) ist. In dem Ausdruck

(den wir nun mit der obigen speziellen Wahl der \(c_a\) betrachten) müssen sich also viele Terme wegheben. Genauer gilt: Wenn wir den Ausdruck umschreiben als Linearkombination der Basisvektoren \(1,\zeta , \dots , \zeta ^{p-2}\), dann wissen wir bereits, dass die Koeffizienten von \(\zeta ^i\) für alle \(i {\gt} 0\) verschwinden, und wir müssen nur den Koeffizienten des Basisvektors \(1\) berechnen. In der obigen Summe tritt allerdings auch noch die Potenz \(\zeta ^{p-1}\) auf, die wir »Loswerden« müssen, um diesen Plan auszuführen. Jedenfalls sehen wir

wobei wir in der ersten Summe diejenigen Summanden mit \(a+b = 0\) und in der zweiten diejenigen mit \(a+b = p-1\) gesammelt haben, und \(\xi \) ein »Korrekturterm« ist, der in \(\langle \zeta ,\dots , \zeta ^{p-2}\rangle _\mathbb Q\) liegt. Im Ausdruck \(c_{-1-a}\) ist der Index in \(\mathbb F_p\) zu sehen. Da in der Ursprungssumme \(b\) nicht \(0\) sein durfte, darf \(a\) in der zweiten Summe nicht gleich \(-1 = p-1\) sein. Nun gilt \(\zeta ^{p-1} = -1 -\zeta - \cdots - \zeta ^{p-2}\), und damit erhalten wir

wobei \(\xi ^\prime \) auch in \(\langle \zeta ,\dots , \zeta ^{p-2}\rangle _\mathbb Q\) liegt. An dieser Stelle sehen wir mit dem schon genannten Argument, dass \(\xi ^\prime = 0\) ist, denn die ersten beiden Summen liegen in \(\mathbb Q\). Wir haben also erhalten:

Bleibt: \(c_{-1} = (-1)^{(p-1)/2}\).

Außerdem: \(\sum _{a=1}^{p-2} c_{a^2+a} = -1\), denn \(c_{a^2+a} = c_{1+a^{-1}}\) und mit \(a = 1, \dots , p-2\) durchläuft auch \(a^{-1}\) die Elemente \(1, \dots , p-2\), also \(1+a^{-1}\) die Elemente \(2, \dots , p-1\), und von diesen sind \((p-3)/2\) Quadrate, und \((p-1)/2\) Nicht-Quadrate.

Damit insgesamt: \(\gamma ^2 = p^\ast \).