Algebra, WS 2021/22

Inhalt

6.1 Lineare Unabhängigkeit von Charakteren *

Ist \(G\) eine Gruppe und \(K\) ein Körper, so nennt man einen Gruppenhomomorphismus \(G\to K^\times \) auch einen (multiplikativen) Charakter von \(G\) mit Werten in \(K\).

Satz 6.1

Sei \(G\) eine Gruppe, sei \(K\) ein Körper und seien \(\sigma _1,\dots , \sigma _r\colon G\to K^\times \) paarweise verschiedene Charaktere.

Dann sind \(\sigma _1,\dots , \sigma _r\) als Elemente des \(K\)-Vektorraums \(\operatorname{Abb}(G, K)\) linear unabhängig, das heißt: Sind \(a_1, \dots , a_r\in K\) mit

\[ \sum _{i=1}^r a_i \sigma _i(g) = 0 \in K\quad \text{für alle}\ g\in G, \]

so gilt \(a_1= \cdots = a_r = 0\).

Korollar 6.2

Sei \(L\) ein Körper und seien \(\sigma _1,\dots , \sigma _r\in \operatorname{Aut}(L)\) paarweise verschiedene Automorphismen von \(L\). Dann sind \(\sigma _1,\dots , \sigma _r\) als Elemente des \(L\)-Vektorraums \(\operatorname{Abb}(L, L)\) linear unabhängig.

Satz 6.3

Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine Galois-Erweiterung vom Grad \(n\) mit Galois-Gruppe \(G = \{ \sigma _1,\dots , \sigma _n\} \). Dann existiert ein Element \(\alpha \in L\), derart dass die Elemente \(\sigma _1(\alpha ),\dots , \sigma _n(\alpha )\) eine Basis des \(K\)-Vektorraums \(L\) bilden.

Ergänzung 6.4 Die Existenz einer Normalbasis

Existenz einer Normalbasis siehe Lorenz und/oder Jantzen-Schwermer.