6.2 Norm und Spur, Hilbert 90 *
Motivation; siehe auch: https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/galoistheory/tracenorm.pdf
Norm hat nicht viel zu tun mit Norm eines Vektors …; (immerhin auch multiplikativ)
Auch Diskriminante?! (Wenigstens als Ergänzung; siehe https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/galoistheory/tracenorm.pdf, auch [Samuel])
Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche Körpererweiterung. Wir betrachten \(L\) als \(K\)-Vektorraum und für jedes Element \(\alpha \in L\) die Multiplikation mit \(\alpha \) als Element \(m_\alpha \in \operatorname{End}_K(L)\). Dann heißt \(N_{\left.L\middle /K\right.}(\alpha ):=\det (\alpha )\) die Norm und \(\operatorname{Spur}_{\left.L\middle /K\right.}(\alpha ):=\operatorname{Spur}(m_\alpha )\) die Spur von \(\alpha \).
Wir erhalten so einen Gruppenhomomorphismus
die sogenannte Normabbildung der Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\), und einen \(K\)-Vektorraumhomomorphismus
die sogenannte Spurabbildung der Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\).
Norm, Spur für Elemente aus \(K\)
Der Fall \(L=K(\alpha )\).
Transitivität von Norm und Spur.
https://www.dpmms.cam.ac.uk/study/II/Galois/handout-3.pdf
Eigenschaften der Normabbildung
Berechnung in Termen von \(K\)-Homomorphismen \(\sigma \colon L\to \overline{K}\). (\(\operatorname{minpol}\) ist irreduzibel, also ist \(\operatorname{charpol}\) eine Potenz des Minimalpolynoms; das absolute Glied des Minimalpolynoms ist das Produkt der Bilder von \(\alpha \) unter \(K\)-Homomorphismen \(K(\alpha )\to \overline{K}\) FALLS SEPARABEL?!)
Eigenschaften der Spurabbildung
Sie Spurabbildung \(\operatorname{Spur}_{\left.L\middle /K\right.}\) ist genau dann die Nullabbildung, wenn die Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) inseparabel ist.
Falls inseparabel:
Für \(\left.L\middle /K\right.\) galoissch: Norm und Spur sind Galois-invariant.
Im separablen Fall: \(\operatorname{Spur}(xy)\) nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform.