Algebra, WS 2021/22

Inhalt

4.1 Körper und die Charakteristik eines Körpers

Wir wollen uns nun detaillierter mit Körpern und insbesondere mit Körpererweiterungen beschäftigen, wie wir sie im nachfolgenden Abschnitt einführen werden. Ein Körper \(K\) ist ein (kommutativer) Ring, dessen Einheitengruppe aus allen Elementen \(\ne 0\) besteht. (Insbesondere ist der Nullring kein Körper.)

Einen Ringhomomorphismus zwischen zwei Körpern nennen wir auch Körperhomomorphismus (oder einfach Homomorphismus, wenn klar ist, was gemeint ist).

Jeder Körper \(K\) ist ein Integritätsring. Der Kern des eindeutigen Ringhomomorphismus \(\mathbb Z\to K\) (Beispiel 3.2 (1)) ist daher ein Primideal (Lemma 3.17).

Definition 4.1

Sei \(K\) ein Körper. Wir sagen, \(K\) habe Charakteristik 0, wenn der eindeutig bestimmte Ringhomomorphismus \(\mathbb Z\to K\) injektiv ist, und habe Charakteristik \(p\), wenn sein Kern von der Primzahl \(p\) erzeugt wird. Die

In einem Körper der Charakteristik \(p {\gt} 0\) gilt also \(1+\cdots +1 = 0\) (mit \(p\) Summanden auf der linken Seite), und \(p\) ist die kleinste Zahl \({\gt} 0\), für die das richtig ist.

Definition 4.2

Sei \(K\) ein Körper. Der kleinste Teilkörper von \(K\), mit anderen Worten der Durchschnitt aller Teilkörper von \(K\), heißt der Primkörper von \(K\).

Satz 4.3

Sei \(K\) ein Körper.

  1. Es sind äquivalent:

    1. Der Körper \(K\) hat Charakteristik \(0\).

    2. Der Primkörper von \(K\) ist isomorph zu \(\mathbb Q\).

  2. Es sind äquivalent:

    1. Der Körper \(K\) hat Charakteristik \(p {\gt} 0\).

    2. Der Primkörper von \(K\) ist isomorph zu \(\mathbb F_p\).

Beweis

In beiden Fällen ist die Implikation (ii) \(\Rightarrow \) (i) klar. (Diese Implikation folgt auch formal daraus, dass die in (i) betrachteten Fälle alle Möglichkeiten abdecken, sobald wir (i) \(\Rightarrow \) (ii) in (1) und (2) gezeigt haben.)

Wenn \(K\) Charakteristik \(0\) hat, dann ist der Ringhomomorphismus \(\varphi \colon \mathbb Z\to K\) injektiv und induziert durch \(\frac ab\mapsto \varphi (a)\varphi (b)^{-1}\) einen Homomorphismus \(\psi \colon \mathbb Q\to K\). Da das Bild von \(\varphi \) in jedem Teilkörper von \(K\) enthalten ist, gilt das auch für das Bild dieser Fortsetzung nach \(\mathbb Q\). Also liegt \(\psi (\mathbb Q)\) im Primkörper von \(K\). Andererseits handelt es sich bei \(\psi (\mathbb Q)\) um einen Teilkörper, so dass dies der Primkörper von \(K\) sein muss. Dann ist \(\psi \) der gesuchte Isomorphismus.

Im Fall positiver Charakteristik induziert der Ringhomomorphismus \(\varphi \colon \mathbb Z\to K\) einen Körperhomomorphismus \(\mathbb F_p\to K\), dessen Bild ein Körper ist, der in jedem Teilkörper von \(K\) enthalten ist. Wie vorher folgt auch in diesem Fall die Behauptung.

Bemerkung 4.4

Sei \(K\) ein endlicher Körper der Charakteristik \(p {\gt} 0\). Dann ist der Primkörper von \(K\) der Körper \(\mathbb F_p\), und wir können \(K\) als \(\mathbb F_p\)-Algebra betrachten. Insbesondere ist \(K\) ein \(\mathbb F_p\)-Vektorraum und folglich \(\# K\) eine Potenz von \(p\).

Wir werden später sehen, dass es zu jeder Potenz \(q = p^r\), \(r\ge 1\), einen Körper mit \(q\) Elementen gibt, und dass je zwei solche Körper zueinander isomorph sind.