Sei \(\alpha \in \mathbb K(M)\). Ist \(\alpha \in \mathbb R\), so ist für die Äquivalenz von (i) und (ii) nichts zu zeigen. Andernfalls können wir \(\overline{\alpha }\) aus \(\alpha \) durch Spiegelung an der Gerade \(\mathbb R= g(0,1)\) konstruieren.

Ist \(\alpha \in \mathbb K(M)\), so lassen sich Real- und Imaginärteil konstruieren, wenn man die Konstruktion der Senkrechten zur reellen bzw. imaginären Achse durch \(\alpha \) benutzt. Sind andererseits \(a, b\in \mathbb R\) konstruierbar, so ist \(ib\) einer der Schnittpunkte von \(K(0, \lvert b\rvert )\) mit der imaginären Achse \(g(0, i)\) (der Mittelsenkrechten der Strecke zwischen \(1\) und \(-1\)). Dann können wir die Parallele zur reellen Achse durch \(ib\) und die Parallele zur imaginären Achse durch \(a\) konstruieren. Ihr Schnittpunkt ist \(a+ib\).

Zu (1). Offenbar gilt \(0, 1\in \mathbb K(M)\). Es ist also zu zeigen, dass für Elemente \(a, b\in \mathbb K(M)\) auch die komplexen Zahlen

in \(\mathbb K(M)\) liegen. Wir arbeiten das nacheinander ab.

Summe: \(a+b\in \mathbb K(M)\). Seien zunächst \(a\) und \(b\) linear unabhängig über \(\mathbb R\) (also nicht auf derselben Ursprungsgeraden). Dann ist \(a+b\) einer der Schnittpunkte von \(K(a, d(0,b))\) und \(K(b, d(0,a))\).

Sind \(a\ne 0\) und \(b\) linear abhängig über \(\mathbb R\), dann ist \(a+b\) einer der Schnittpunkte von \(g(0,a)\) mit \(K(b, d(0,a))\).

Negatives: \(-a\in \mathbb K(M)\). Für \(a\ne 0\) ist \(-a\) der zweite Schnittpunkt (neben \(a\) selbst) von \(g(0,a)\) und \(K(0, d(0,a))\).

Produkt: \(ab\in \mathbb K(M)\). Vorbemerkung: Für \(a\in \mathbb K(M)\) gilt \(\lvert a\rvert \in \mathbb K(M)\). (Einer der Schnittpunkte von \(K(0, d(0,a))\) und \(g(0,1)=\mathbb R\).) Wir beweisen als nächstes die

Behauptung. Für \(a\in \mathbb K(M)\cap \mathbb R_{{\gt} 0}\), \(b\in \mathbb K(M)\) gilt \(ab\in \mathbb K(M)\) und \(a^{-1}\in \mathbb K(M)\).

Begründung. Sei \(g\) die Gerade \(g(0,b)\) und \(h\) irgendeine andere bereits konstruierte Ursprungsgerade. (Es ist leicht zu sehen, dass es eine solche gibt.) Sei \(P\) einer der Schnittpunkte von \(h\) mit dem Einheitskreis \(K(0, 1)\) und \(Q\) der Schnittpunkt von \(h\) mit dem Kreis \(K(0, d(0,a))\), der auf \(h\) auf derselben Seite des Ursprungs liegt, wie \(P\). Sei \(l\) die Parallele zu \(g(b, P)\) durch \(Q\). Dann ist nach dem ersten Strahlensatz \(ab\) der Schnittpunkt von \(g\) mit \(l\).

Für die Konstruktion von \(a^{-1}\) können wir ebenfalls den Strahlensatz anwenden. Sei \(g = g(0,1)=\mathbb R\) die reelle Achse, sei \(h\) eine andere Ursprungsgerade, sei \(P\) einer der Schnittpunkte von \(K(0,1)\) mit \(h\) und \(Q\) der Schnittpunkt von \(h\) mit dem Kreis \(K(0, d(0,a))\), der auf \(h\) auf derselben Seite des Ursprungs liegt wie \(P\). Dann ist \(a^{-1}\) nach dem ersten Strahlensatz der Schnittpunkt der Parallelen zu \(g(Q,1)\) durch \(P\) mit \(g\).

Für den allgemeinen Fall genügt es angesichts der Vorbemerkung und der soeben bewiesenen Behauptung, den Fall \(\lvert a\rvert = \lvert b\rvert = 1\) zu betrachten. In diesem Fall liegen \(a\), \(b\) und \(a+b\) auf dem Einheitskreis und man kann \(a+b\) aus \(a\) und \(b\) durch »Winkeladdition« konstruieren, was einfach ist. Alternativ kann man Real- und Imaginärteil des Produkts als Produkte/Summen/Differenzen in Termen der Real- und Imaginärteile der Faktoren ausdrücken.

Multiplikatives Inverses: \(a^{-1}\in \mathbb K(M)\). Nach obigem ist ohne Einschränkung \(\lvert a\rvert = 1\), also \(a^{-1}=\overline{a}\), und die Konstruierbarkeit von \(\overline{a}\) haben wir bereits gezeigt.

Zu (2). Zur Konstruktion der Quadratwurzel einer Zahl \(a\in \mathbb K(M)\) können wir wieder die Fälle \(\lvert a \rvert = 1\) und \(a\in \mathbb R_{{\gt} 0}\) separat behandeln. Für den ersten Fall genügt es zu bemerken, dass sich die Winkelhalbierende des Winkels zwischen der reellen Achse und der Ursprungsgerade durch \(a\) konstruieren lässt, was nicht schwierig ist.

Sei nun \(a\in \mathbb K(M)\cap \mathbb R_{{\gt} 0}\). Sei \(M = \frac{1-a}{2}\) der Mittelpunkt der Strecke zwischen \(-a\) und \(1\) und sei \(K=K(M, \frac{a+1}{2})\) der Kreis um \(M\), auf dem \(-a\) und \(1\) liegen. Sei \(P\) ein Schnittpunkt von \(K\) mit der imaginären Achse \(g(0, i)\). Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck mit den Eckpunkten \(-a\), \(1\) und \(P\) rechtwinklig (mit dem rechten Winkel bei \(P\)). Nach dem Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke ist \(d(0,P) = \sqrt{a}\), also ist \(\sqrt{a}\) als einer der Schnittpunkte von \(K(0, d(0,P))\) mit \(\mathbb R\) in \(\mathbb K(M)\).

Weil \(K\) unter der Konjugation auf sich selbst abgebildet wird und \(i\) enthält, sind mit jedem \(\alpha \in K\) auch der Realteil \(\frac12(\alpha +\overline{\alpha })\) und der Imaginärteil \(\frac{1}{2i}(\alpha -\overline{\alpha })\) Elemente von \(K\). Außerdem ist auch \(\lvert \alpha \rvert ^2 = \alpha \overline{\alpha }\in K\).

Wenn \(x\) der Schnittpunkt von zwei Geraden ist, die jeweils durch zwei Punkte aus \(M\) verlaufen, dann ist \(x\in \mathbb C=\mathbb R^2\) die eindeutig bestimmte Lösung eines linearen Gleichungssystems, dessen Koeffizienten durch Real- und Imaginärteil der Punkte auf diesen Geraden ausgedrückt werden können, liegt also sogar in \(K\).

Ist \(x\) der Schnittpunkt einer konstruierbaren Geraden und eines konstruierbaren Kreises oder der Schnittpunkt zweier konstruierbarer Kreise, dann ist \(x\in \mathbb C=\mathbb R^2\) eine der Lösungen eines Gleichungssystems in zwei Unbestimmten, das aus einer linearen und einer quadratischen Gleichung oder aus zwei quadratischen Gleichungen besteht. Die Koeffizienten dieser Gleichungen liegen dabei in \(K\). Zum Beispiel ist der Kreis um \(M = M_1 + iM_2\) mit Radius \(r\in \mathbb R_{{\gt} 0}\) (mit \(r^2\in K\)) gegeben durch die Gleichung

mit Koeffizienten in \(K\). In beiden Fällen sieht man (durch Einsetzen bzw. indem man die beiden Kreisgleichungen voneinander abzieht), dass sich Real- und Imaginärteil der Schnittpunkte durch Lösen einer quadratischen Gleichung »finden lassen«, genauer, dass sie in einem Erweiterungskörper \(L\) von \(K\) mit \([L:K]\le 2\) liegen, und dann liegt auch \(x\) in \(L\).

(i) \(\Rightarrow \) (ii). Wir zeigen die folgende Behauptung, aus der (ii) dann durch Induktion folgt. (Weil die Erweiterung \(\left.K_0(i)\middle /K_0\right.\) Grad \(\le 2\) hat, können wir \(K_1 = K_0(i)\) setzen und von dort die Induktion beginnen.)

Behauptung. Sei \(K\subseteq \mathbb C\) ein Teilkörper, der unter komplexer Konjugation stabil ist und die Zahl \(i\) enthält. Sei \(x\in K'\), also \(x\) in einem einzigen Schritt aus \(K\) konstruierbar. Dann existiert eine Kette \(K \subseteq L_1\subseteq L_2\) von Erweiterungen vom Grad \(\le 2\), so dass \(x\in L_2\) und \(\overline{L_2} = L_2\) gilt.

Begründung. Sei \(L_1 = K(x)\). Dann gilt nach dem vorherigen Lemma \([L_1:K]\le 2\). Wir setzen nun \(L_2 = L_1(\overline{x})\). Die Erweiterung \(K(\overline{x})\) hat über \(K\) denselben Grad wie \(K(x)\), denn aus dem Minimalpolynom von \(x\) über \(K\) erhalten wir die komplexe Konjugation der Koeffizienten das Minimalpolynom von \(\overline{x}\) über \(K\) (denn dieses Polynom hat ja wieder Koeffizienten in \(K\)). Insbesondere gilt \([L_2:L_1]\le [K(\overline{x}):K]\le 2\). Außerdem ist \(\overline{L_2} = \overline{K(x,\overline{x})} =L_2\).

(ii) \(\Rightarrow \) (i). Weil alle Elemente von \(\mathbb Q\) konstruierbar sind, genügt es zu zeigen, dass jede komplexe Zahl \(x\), die eine Gleichung der Form \(x^2 + px +q=0\) mit konstruierbaren Zahlen \(p\), \(q\) erfüllt, selbst konstruierbar ist. Aber das folgt angesichts von Satz 4.39 aus der Lösungsformel für diese quadratische Gleichung.

Ausgehend vom Würfel mit der Kantenlänge \(1\) ist als Kantenlänge des Würfels mit dem doppeltem Volumen, also mit Volumen \(2\) die Zahl \(\sqrt[3]{2}\) zu konstruieren. Weil \([\mathbb Q[\sqrt[3]{2}] : \mathbb Q] = 3\) gilt, ist aber \(\sqrt[3]{2}\) nicht in einem Erweiterungskörper von \(\mathbb Q\) enthalten, dessen Grad eine Potenz von \(2\) ist, liegt also nicht in \(\mathbb K\).