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3.3 Exakte Funktoren

Seien \(R\) und \(R^\prime \) Ringe. Für \(R\)-Moduln \(M, N\) trägt die Menge \(\operatorname{Hom}_R(M, N)\) durch die Gruppenstruktur auf \(N\) die Struktur einer abelschen Gruppe (und sogar, induziert durch die \(R\)-Modulstruktur auf \(N\), die Struktur eines \(R\)-Moduls).

Definition 3.17

Ein (kovarianter) Funktor \(F\colon (R\text{-}\operatorname{Mod}) \to (R^\prime \text{-}\operatorname{Mod})\) heißt additiv, falls für alle \(R\)-Moduln \(M, N\) die durch \(F\) gegebene Abbildung

\[ \operatorname{Hom}_R(M, N) \to \operatorname{Hom}_{R^\prime }(F(M), F(N)) \]

ein Homomorphismus abelscher Gruppen ist.

Ein kontravarianter Funktor \(F\colon (R\text{-}\operatorname{Mod}) \to (R^\prime \text{-}\operatorname{Mod})\) heißt additiv, falls für alle \(R\)-Moduln \(M, N\) die durch \(F\) gegebene Abbildung

\[ \operatorname{Hom}_R(M, N) \to \operatorname{Hom}_{R^\prime }(F(N), F(M)) \]

ein Homomorphismus abelscher Gruppen ist.

Bemerkung 3.18

Ist \(F\) ein additiver Funktor, so gilt \(F(0)=0\).

Definition 3.19
  1. Ein kovarianter Funktor \(F\colon (R\text{-}\operatorname{Mod}) \to (R^\prime \text{-}\operatorname{Mod})\) heißt linksexakt, falls \(F\) additiv ist und falls für jede kurze exakte Sequenz

    \[ 0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0 \]

    die Sequenz

    \[ 0 \to F(M_1) \to F(M_2) \to F(M_3) \]

    exakt ist.

  2. Ein kontravarianter Funktor \(F\colon (R\text{-}\operatorname{Mod}) \to (R^\prime \text{-}\operatorname{Mod})\) heißt linksexakt, falls \(F\) additiv ist und falls für jede kurze exakte Sequenz

    \[ 0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0 \]

    die Sequenz

    \[ 0 \to F(M_3) \to F(M_2) \to F(M_1) \]

    exakt ist.

  3. Ein kovarianter Funktor \(F\colon (R\text{-}\operatorname{Mod}) \to (R^\prime \text{-}\operatorname{Mod})\) heißt rechtsexakt, falls \(F\) additiv ist und falls für jede kurze exakte Sequenz

    \[ 0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0 \]

    die Sequenz

    \[ F(M_1) \to F(M_2) \to F(M_3) \to 0 \]

    exakt ist. Analog: rechtsexakte kontravariante Funktoren.

  4. Ein kovarianter Funktor \(F\colon (R\text{-}\operatorname{Mod}) \to (R^\prime \text{-}\operatorname{Mod})\) heißt exakt, falls \(F\) additiv ist und falls für jede kurze exakte Sequenz

    \[ 0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0 \]

    die Sequenz

    \[ 0 \to F(M_1) \to F(M_2) \to F(M_3) \to 0 \]

    exakt ist, d. h. wenn \(F\) linksexakt und rechtsexakt ist. Analog: exakte kontravariante Funktoren.

Bemerkung 3.20
  1. Sei \(F\) ein linksexakter kovarianter Funktor und sei \(0 \to M_1 \to M_2 \to M_3\) exakt. Dann ist \(0 \to F(M_1) \to F(M_2) \to F(M_3)\) exakt. Analog für kontravariante Funktoren.

  2. Sei \(F\) ein rechtsexakter kovarianter Funktor und sei \(M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\) exakt. Dann ist \(F(M_1) \to F(M_2) \to F(M_3) \to 0\) exakt. Analog für kontravariante Funktoren.

  3. Sei \(F\) ein exakter kovarianter Funktor und sei \(M_1 \to M_2 \to M_3\) exakt. Dann ist \(F(M_1) \to F(M_2) \to F(M_3)\) exakt. Analog für kontravariante Funktoren.

3.3.1 Der \(\operatorname{Hom}\)-Funktor ist linksexakt

Als Teil von Satz 3.14 haben wir schon die folgende Aussage bewiesen.

Satz 3.21

Seien \(R\) ein Ring und \(N\) ein \(R\)-Modul. Dann sind die Funktoren \(\operatorname{Hom}_R(\cdot , N)\) und \(\operatorname{Hom}(N, \cdot )\) linksexakt. (Vergleiche Definition 3.11 und Satz 3.14).

3.3.2 Tensorprodukt ist rechtsexakt

Satz 3.22

Seien \(R\) ein Ring und \(N\) ein \(R\)-Modul. Dann ist der Funktor \(M\mapsto M\otimes _RN\) rechtsexakt.

Beweis

Sei \(M^\prime \to M\to M^{\prime \prime }\to 0\) exakt. Um zu zeigen, dass die mit \(N\) tensorierte Sequenz

\[ M^\prime \otimes _RN \to M\otimes _RN\to M^{\prime \prime }\otimes _RN\to 0 \]

exakt ist, benügt es nach Satz 3.14 zu zeigen, dass für jeden \(R\)-Modul \(T\) die Sequenz

\[ 0\to \operatorname{Hom}_R(M^{\prime \prime }\otimes _RN, T)\to \operatorname{Hom}_R(M\otimes _RN, T)\to \operatorname{Hom}_R(M^\prime \otimes _RN, T) \]

exakt ist. Weil wir \(\operatorname{Hom}_R(M\otimes _RN, T)\) mit \(\operatorname{Hom}(M, \operatorname{Hom}_R(N, T))\) identifizieren können (und entsprechend für \(M^\prime \) und \(M^{\prime \prime }\), siehe Satz 2.93), folgt dies aus Satz 3.14, angewandt auf die Ursprungssequenz (und \(\operatorname{Hom}_R(-, \operatorname{Hom}_R(N, T))\)).

Wir haben hier die Aussage, dass der Funktor Tensorprodukt rechtsexakt ist, im wesentlichen durch ein formales Argument aus Satz 2.93 erhalten. Das ist insofern die »richtige« Sichtweise, als derselbe Beweis zeigt, dass jeder Funktor \((R\text{-}\operatorname{Mod})\to (R\text{-}\operatorname{Mod})\), der einen »rechtsadjungierten Funktor besitzt«, rechtsexakt ist. (Satz 2.93 besagt, dass der Funktor \(-\otimes _RN\) als rechtsadjungierten Funktor den Funktor \(\operatorname{Hom}(N, -)\) besitzt; wir gehen aber an dieser Stelle auf den Begriff adjungierter Funktoren nicht weiter ein.) Alternativ könnte man für diesen Satz auch »direkter« argumentieren, zum Beispiel ist praktisch offensichtlich, dass Tensorieren Surjektivität erhält.

3.3.3 Flache Moduln

Definition 3.23

Sei \(R\) ein Ring. Ein \(R\)-Modul \(M\) heißt flach, wenn der Funktor \(N \mapsto M\otimes _RN\) exakt ist.

Weil Tensorieren stets rechtsexakt ist, ist ein \(R\)-Modul \(M\) genau dann flach, wenn für jeden injektiven Homomorphismus \(\varphi \colon N^\prime \to N\) von \(R\)-Moduln auch der Homomorphismus \(\operatorname{id}_M\otimes \varphi \colon M\otimes _RN^\prime \to M\otimes _RN\) injektiv ist.

Beispiel 3.24

Sei \(n\in \mathbb Z\), \(n{\gt}1\). Dann ist der \(\mathbb Z\)-Modul \(\left.\mathbb Z\middle /n\right.\) nicht flach.

Lemma 3.25

Seien \(R\) ein Ring, \(N\) ein \(R\)-Modul und \(M_i\), \(i\in I\) eine Familie von \(R\)-Moduln. Der natürliche \(R\)-Modul-Homomorphismus

\[ \left(\bigoplus _i M_i\right)\otimes _R N\to \bigoplus _i (M_i\otimes _RN),\quad (m_i)_i\otimes n\mapsto (m_i\otimes n)_i, \]

ist ein Isomorphismus.

Satz 3.26

Ist \(R\) ein Ring und \(M\) ein freier \(R\)-Modul, so ist \(M\) flach.

Insbesondere folgt aus dem Satz: Ist \(K\) ein Körper, so ist jeder \(K\)-Vektorraum flach.

Eine \(R\)-Algebra \(A\) heißt flach, wenn \(A\) als \(R\)-Modul flach ist.

Beispiel 3.27

Sei \(k\) ein Körper und sei \(R=k[T]\) der Polynomring in einer Variablen \(T\) über \(k\).

  1. Die \(R\)-Algebren \(R[X]/(X-T)\) und \(R[X]/(X^2-T)\) sind flach (sie sind sogar freie \(R\)-Moduln).

  2. Die \(R\)-Algebra \(R[X]/(XT-1)\) ist flach (aber kein freier \(R\)-Modul).

  3. Die \(R\)-Algebra \(R[X]/(XT)\) ist nicht flach.

3.3.4 Lokalisierung ist exakt

Satz 3.28

Seien \(R\) ein Ring und \(S\subseteq R\) eine multiplikative Teilmenge. Dann ist der Funktor \(M\mapsto S^{-1}M\) exakt.

Beweis

Diese Aussage ist leicht zu überprüfen. Sei dazu die Sequenz

\begin{tikzcd} 
            M^\prime\arrow{r}{f} & M\arrow{r}{g} & M^{\prime\prime}
        \end{tikzcd}

exakt bei \(M\). Dann gilt \(g\circ f = 0\), und da Lokalisierung verträglich mit Verkettung ist, folgt die analoge Aussage nach Lokalisierung. Das bedeutet \(\operatorname{Im}(S^{-1}f)\subseteq \operatorname{Ker}(S^{-1}g)\).

Sei nun \(\frac ms\in \operatorname{Ker}(S^{-1}g)\) mit \(m\in M\), \(s\in S\). Dann gilt \(\frac{g(m)}{s} = 0\) in \(M^{\prime \prime }\), also existiert \(t\in S\) mit \(g(tm) =tg(m)=0\). Das bedeutet \(tm\in \operatorname{Ker}(g)=\operatorname{Im}(f)\), etwa \(f(m^\prime ) = tm\). Aber dann ist \(\frac{m}{s} = \frac{tm}{st} = \frac{f(m^\prime )}{st}\in \operatorname{Im}(S^{-1}f)\).

Angesichts der Identifikation \(S^{-1}M = M\otimes _R S^{-1}R\) können wir den Satz auch so formulieren, dass \(S^{-1}R\) eine flache \(R\)-Algebra ist.

Korollar 3.29

Sei \(R\) ein Ring, und sei \(S\subseteq R\) eine multiplikative Teilmenge.

  1. Ist \(N\subseteq M\) eine Inklusion von \(R\)-Moduln, so ist \(S^{-1}N\subseteq S^{-1}M\) und \(S^{-1}M/S^{-1}N \cong S^{-1}(M/N)\).

  2. Sei \(f\colon M\to N\) ein \(R\)-Modul-Homomorphismus und \(S^{-1}f\colon S^{-1}M\to S^{-1}N\) der auf den Lokalisierungen induzierte Homomorphismus. Dann gilt \(S^{-1}\operatorname{Ker}(f) = \operatorname{Ker}(S^{-1}f)\), \(S^{-1}\operatorname{Im}(f) = \operatorname{Im}(S^{-1}f)\) und \(S^{-1}N/S^{-1}\operatorname{Im}(f) = S^{-1}(N/\operatorname{Im}(f))\).

Beweis

Teil (1) ist eine direkte Konsequenz dessen, dass Lokalisierung ein exakter Funktor ist, wie wir gerade gezeigt haben. Dasselbe gilt in Teil (2) für die Verträglichkeit mit Kern und dem Kokern \(N/\operatorname{Im}(f)\); man betrachte die exakte Sequenz \(0\to \operatorname{Ker}(f)\to M\to N\to N/\operatorname{Im}(f)\to 0\). Indem wir \(\operatorname{Im}(f) = \operatorname{Ker}(N\to N/\operatorname{Im}(f))\) schreiben, folgt dann auch die Verträglichkeit mit der Bildung des Bilds.

Satz 3.30

Sei \(R\) ein Ring, \(f\colon M\to N\) ein \(R\)-Modul-Homomorphismus. Dann sind äquivalent:

  1. \(f=0\)

  2. Für alle \(\mathfrak p\in \operatorname{Spec}R\) ist \(f\otimes \operatorname{id}_{R_{\mathfrak p}}\colon M_{\mathfrak p}\to N_{\mathfrak p}\) die Nullabbildung.

  3. Für alle \(\mathfrak m\in \operatorname{Spm}R\) ist \(f\otimes \operatorname{id}_{R_{\mathfrak m}}\colon M_{\mathfrak m}\to N_{\mathfrak m}\) die Nullabbildung.

Beweis

Dass ein \(R\)-Modul-Homomorphismus \(f\colon M\to N\) die Nullabbildung ist, ist äquivalent zu \(M/\operatorname{Ker}(f) = 0\). Damit folgt der Satz aus Korollar 3.29 und Satz 2.83.

Satz 3.31

Sei \(R\) ein Ring, und sei

\begin{tikzcd} 
            M^\prime \arrow{r}{f} & M \arrow{r}{g} & M^{\prime\prime}
        \end{tikzcd}

eine Sequenz von \(R\)-Moduln. Dann sind äquivalent:

  1. Die Sequenz \(M^\prime \to M \to M^{\prime \prime }\) ist exakt.

  2. Für alle \(\mathfrak p\in \operatorname{Spec}R\) ist die Sequenz \((M^\prime )_{\mathfrak p} \to M_{\mathfrak p} \to (M^{\prime \prime })_{\mathfrak p}\) exakt.

  3. Für alle \(\mathfrak m\in \operatorname{Spm}R\) ist die Sequenz \((M^\prime )_{\mathfrak m} \to M_{\mathfrak m} \to (M^{\prime \prime })_{\mathfrak m}\) exakt.

Beweis

Da Lokalisierung exakt ist, gilt die Implikation (i) \(\Rightarrow \) (ii), und (ii) \(\Rightarrow \) (iii) ist trivial, weil jedes maximale Ideal ein Primideal ist. Nun gelte (iii). Die Inklusion \(\operatorname{Im}(f)\subseteq \operatorname{Ker}(g)\) ist äquivalent zu \(g\circ f = 0\). Dies können wir nach Satz 3.30 nach Lokalisierung in maximalen Idealen überprüfen. Weil Lokalisierung mit der Verkettung von Homomorphismen kompatibel ist (denn es handelt sich um einen Funktor), stellt (iii) sicher, dass dies erfüllt ist. Angesichts dessen ist die Gleichheit \(\operatorname{Im}(f) = \operatorname{Ker}(g)\) dann gleichbedeutend mit \(\operatorname{Ker}(g)/\operatorname{Im}(f) = 0\). Es gilt \((\operatorname{Ker}(g)/\operatorname{Im}(f))_{\mathfrak m} = \operatorname{Ker}(g_{\mathfrak m})/\operatorname{Im}(f_{\mathfrak m}) = \operatorname{Ker}(g)_{\mathfrak m}/\operatorname{Im}(f)_{\mathfrak m} = 0\), wobei die ersten beiden Gleichheiten gelten, weil Lokalisierung exakt ist (Korollar 3.29 (2)), und die letzte wegen der Voraussetzung (iii). Wir schreiben hier zur Abkürzung \(f_{\mathfrak m} = f\otimes \operatorname{id}_{R_{\mathfrak m}}\) etc. Aus Satz 2.83 folgt damit \(\operatorname{Ker}(g)/\operatorname{Im}(f) = 0\).

Satz 3.32

Sei \(R\) ein Ring und sei \(M\) ein \(R\)-Modul. Dann sind äquivalent:

  1. Der \(R\)-Modul \(M\) ist flach.

  2. Für alle \(\mathfrak p\in \operatorname{Spec}R\) ist der \(R_{\mathfrak p}\)-Modul \(M_{\mathfrak p}\) flach.

  3. Für alle \(\mathfrak m\in \operatorname{Spm}R\) ist der \(R_{\mathfrak m}\)-Modul \(M_{\mathfrak m}\) flach.

Beweis

Das folgt angesichts der Kompatibilität von Tensorprodukt und Lokalisierung direkt aus dem vorherigen Satz.