E.5 Bilinearformen und Sesquilinearformen
E.5.1 Bilinearformen und Sesquilinearformen über allgemeinen Körpern
Sei \(K\) ein Körper und \(V\) ein \(K\)-Vektorraum.
Eine Bilinearform auf \(V\) ist eine bilineare Abbildung \(\beta \colon V\times V\to V\), d.h. eine Abbildung so dass für alle \(v_0\in V\) die Abbildungen
lineare Abbildungen sind.
Sei nun \(\sigma \colon K\to K\) ein Ringautomorphismus. (Wir sprechen auch von einem Körperautomorphismus.) Es gelte außerdem \(\sigma = \sigma ^{-1}\), äquivalent ausgedrückt: \(\sigma \circ \sigma =\operatorname{id}_K\). Für uns sind vor allem die beiden folgenden Fälle von Bedeutung:
\(K\) beliebig, \(\sigma = \operatorname{id}_K\).
\(K=\mathbb C\), \(\sigma \) die komplexe Konjugation, d.h. \(\sigma (a+bi) = a-bi\) (\(a,b\in \mathbb R\)). Man schreibt in diesem Fall oft \(\overline{z}\) statt \(\sigma (z)\).
Eine Sesquilinearform auf \(V\) ist eine Abbildung \(\beta \colon V\times V\to V\), so dass für alle \(v_0\in V\) gilt
Die Abbildung
\[ V\to V,\ v\mapsto \beta (v_0, v), \]ist linear. (Wir sagen, \(\beta \) sei linear im zweiten Eintrag.)
- \[ V\to V,\ v\mapsto \beta (v, v_0), \]
ist \(\sigma \)-linear, d.h. es gilt
\[ \beta (v+v', v_0) = \beta (v, v_0)+\beta (v', v_0),\quad \beta (av, v_0) = \sigma (a)\, \beta (v, v_0) \]für alle \(v\in V\), \(a\in K\). (Wir sagen, \(\beta \) sei \(\sigma \)-linear (oder: semilinear) im zweiten Eintrag.)
Im Fall \(\sigma =\operatorname{id}_K\) ist also eine Sesquilinearform nichts anderes als eine Bilinearform. Daher können wir die beiden Fälle im folgenden zusammen abhandeln. Wir fixieren den Körper \(K\) zusammen mit dem Körperautomorphismus \(\sigma \).
Eine Sesquilinearform \(\beta \colon V\times V\to K\) heißt hermitesch, wenn \(\beta (v,w)=\sigma (\beta (w,v))\) für alle \(v,w\in V\) gilt.
Ist \(\sigma =\operatorname{id}\), so nennt man \(\beta \) auch eine symmetrische Bilinearform.
Eine Sesquilinearform \(\beta \colon V\times V\to K\) heißt nicht-ausgeartet, wenn für alle \(v_0, w_0\in V\) die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
falls \(\beta (v_0,w)=0\) für alle \(w\in V\), so gilt \(v_0= 0\),
falls \(\beta (v,w_0)=0\) für alle \(v\in V\), so gilt \(w_0= 0\).
Das wichtigste Beispiel einer Sesquilinearform ist für uns das Standardskalarprodukt
Dieses ist hermitesch und nicht-ausgeartet (und positiv definit, siehe Definition E.80). Durch Einschränkung auf \(\mathbb R^n\times \mathbb R^n\) erhält man das Standardskalarprodukt auf \(\mathbb R^n\), eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform auf dem \(\mathbb R\)-Vektorraum \(\mathbb R^n\).
Eine nichtausgeartete Bilinearform \(\beta \) induziert einen Isomorphismus \(V\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}V^\vee \), \(v\mapsto (w\mapsto \beta (v,w))\), zwischen \(V\) und seinem Dualraum.
Sei \(\beta \) eine Sesquilinearform auf dem endlichdimensionalen Vektorraum \(V\) und \(\mathscr B\) eine Basis von \(V\). Dann ist \(\beta \) nicht-ausgeartet genau dann, wenn \(M_\mathscr B(\beta )\) invertierbar ist.
Für \(A\in M_{m\times n}(K)\) bezeichnen wir mit \(A^\sigma \) die Matrix, die aus \(A\) hervorgeht, indem auf jeden Eintrag die Abbildung \(\sigma \) angewendet wird, und mit \(A^\ast \) die Matrix \((A^t)^\sigma = (A^\sigma )^\ast \). Ist \(K=\mathbb C\) und \(\sigma \) die komplexe Konjugation, so schreibt man auch \(\overline{A}\) statt \(A^\sigma \). Wir benutzen diese Schreibweise insbesondere für quadratische Matrizen und für Spaltenvektoren. Damit gilt in der Situation der Definition:
Sei \(V\) ein endlichdimensionaler \(K\)-Vektorraum mit einer Basis \(\mathscr B\). Die Abbildung, die einer Sesquilinearform \(\beta \) ihre Strukturmatrix \(M_\mathscr B(\beta )\) zuordnet, ist eine Bijektion von der Menge aller Sesquilinearform auf den Raum \(M_n(K)\).
Ist \(\mathscr C\) eine weitere Basis von \(V\), so gilt \(M_\mathscr C(\beta ) = (M^\mathscr C_\mathscr B)^\ast \, M_\mathscr B(\beta )\, M^\mathscr C_\mathscr B\).
Sei \((V, \beta )\) ein Vektorraum mit einer nicht-ausgearteten hermiteschen Sesquilinearform. Sei \(U\subseteq V\) ein Untervektorraum. Dann heißt
das orthogonale Komplement von \(U\) in \(V\).
Sei \((V, \beta )\) ein endlichdimensionaler Vektorraum mit einer nicht-ausgearteten hermiteschen Sesquilinearform, und \(U\subseteq V\) ein Untervektorraum. Dann gilt \(V= U\oplus U^\perp \), also insbesondere \(\dim U^\perp = \dim V - \dim U\). Ferner ist \((U^\perp )^\perp = U\).
E.5.2 Die adjungierte Abbildung
Sei \(V\) ein endlichdimensionaler \(\mathbb K\)-Vektorraum mit einer nicht-ausgearteten hermiteschen Sesquilinearform \(\beta \). Sei \(f\in \operatorname{End}_{\mathbb K}(V)\). Dann existiert ein eindeutig bestimmter Endomorphismus \(g\) von \(V\), so dass für alle \(v, w\in V\) gilt:
In dieser Situation heißt \(g\) die zu \(f\) adjungierte Abbildung; wir bezeichnen die adjungierte Abbildung zu \(f\) mit \(f^\ast \).
Im Fall \(\sigma =\operatorname{id}\) entspricht die zu \(f\) adjungierte Abbildung \(f^\ast \) unter dem durch \(\beta \) induzierten Isomorphismus \(V\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}V^\vee \) der dualen Abbildung von \(f\). Siehe Ergänzung 19.37 für eine Verallgemeinerung auf den Fall von Sesquilinearformen.
Sei \(V\) ein endlichdimensionaler Vektorraum mit einer nicht-ausgearteten hermiteschen Sesquilinearform \(\beta \).
Die Abbildung \(\operatorname{End}_{\mathbb K}(V)\rightarrow \operatorname{End}_{\mathbb K}(V)\), \(f\mapsto f^\ast \) ist semilinear (d.h. sie ist ein Homomorphismus abelscher Gruppen (bzgl. \(+\)) und es gilt \((\alpha f)^\ast = \sigma (\alpha ) \cdot f^\ast \) für alle \(f\in \operatorname{End}_{\mathbb K}(V)\), \(\alpha \in \mathbb K\)).
Es gilt \(\operatorname{id}^\ast =\operatorname{id}\), \((f^\ast )^\ast = f\), \((f\circ g)^\ast = g^\ast \circ f^\ast \).
Es gilt
\[ \operatorname{Ker}(f^\ast ) = (\operatorname{Im}f)^\perp ,\qquad \operatorname{Im}(f^\ast ) = (\operatorname{Ker}f)^\perp , \]und \(\operatorname{rg}f = \operatorname{rg}f^\ast \).
E.5.3 Isometrien, orthogonale und unitäre Gruppen
Sei \(V\) ein endlichdimensionaler \(K\)-Vektorraum mit einer nicht-ausgearteten hermiteschen Sesquilinearform \(\beta \).
Ein Endomorphismus \(f\colon V\to V\) heißt eine Isometrie (bezüglich \(\beta \)), wenn
gilt.
Weil \(\beta \) nicht-ausgeartet ist, kann für eine Isometrie \(f(v)=0\) nur dann gelten, wenn \(v=0\) ist, eine Isometrie ist also notwendigerweise ein Isomorphismus. Ein Endomorphismus \(f\) ist daher genau dann eine Isometrie, wenn \(f\) invertierbar und \(f^\ast = f^{-1}\) gilt.
Die Menge der Isometrien bildet eine Untergruppe der Gruppe \(\operatorname{Aut}_K(V)\) aller Automorphismen von \(V\). Wir bezeichnen sie mit \(\operatorname{Aut}_K(V, \beta )\).
Ist \(\sigma =\operatorname{id}\), also \(\beta \) eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform, so nennt man \(\operatorname{Aut}_K(V, \beta )\) auch die orthogonale Gruppe zu \(V\) und \(\beta \) und schreibt \(O(V, \beta )\) (oder einfach \(O(V)\), wenn klar ist, welches \(\beta \) gemeint ist) für diese Gruppe.
Ist \(\sigma \ne \operatorname{id}\) und \(\beta \) eine nicht-ausgeartete hermitesche Sesquilinearform, so nennt man \(\operatorname{Aut}_K(V, \beta )\) auch die unitäre Gruppe zu \(V\) und \(\beta \) und schreibt \(U(V, \beta )\) (oder einfach \(U(V)\), wenn klar ist, welches \(\beta \) gemeint ist) für diese Gruppe.
E.5.4 Euklidische und unitäre Vektorräume
Wir schränken uns nun auf die folgenden beiden Fälle ein
\(K= \mathbb R\), \(\sigma = \operatorname{id}\),
\(K=\mathbb C\), \(\sigma \) die komplexe Konjugation. Wir schreiben nun üblicherweise \(\overline{z}\) statt \(\sigma (z)\). Diese Schreibweise können wir auch für \(z\in \mathbb R\) anwenden; dann gilt \(\overline{z}=z\).
Dann gilt \(z\overline{z} \in \mathbb R_{\ge 0}\) für alle \(z\in K\), und wir können den Absolutbetrag von \(z\) definieren als \(\lvert z\rvert := \sqrt{z\, \overline{z}}\). Der Positivitätsbegriff, den wir hier zur Verfügung haben, ist der entscheidende Unterschied zum allgemeinen Fall, und ermöglicht es zum Beispiel, einen sinnvollen Abstands- und Winkelbegriff einzuführen.
Um in der Notation sichtbar zu machen, dass wir nur diese beiden Fälle erlauben, bezeichnen wir den Grundkörper mit \(\mathbb K\).
Sei \(V\) ein \(\mathbb K\)-Vektorraum. Eine hermitesche Sesquilinearform \(\beta \) auf \(V\) heißt positiv definit, wenn
gilt.
Entsprechend definiert man die Begriffe positiv semidefinit, negativ definit, negativ semidefinit, siehe Definition 19.49.
Sei \(\mathbb K= \mathbb R\). Ein Skalarprodukt auf einem endlichdimensionalen \(\mathbb R\)-Vektorraum ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform \(V\times V\to \mathbb R\). Ein endlichdimensionaler \(\mathbb R\)-Vektorraum zusammen mit einem Skalarprodukt heißt euklidischer Vektorraum.
Sei \(\mathbb K= \mathbb C\). Ein Skalarprodukt auf einem endlichdimensionalen \(\mathbb C\)-Vektorraum ist eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform \(V\times V\to \mathbb C\). Ein endlichdimensionaler \(\mathbb C\)-Vektorraum zusammen mit einem Skalarprodukt heißt unitärer Vektorraum.
Sei \(\beta \) eine positiv semidefinite hermitesche Sesquilinearform auf dem \(\mathbb K\)-Vektorraum \(V\). Dann gilt für alle \(v,w\in V\):
Ist die gegebene Form sogar positiv definit, so gilt in der Ungleichung genau dann \(=\), wenn \(v\) und \(w\) linear abhängig sind.
Sei \(\beta \) eine positiv semidefinite hermitesche Sesquilinearform auf \(V\). Die Form \(\beta \) ist genau dann nicht-ausgeartet, wenn sie positiv definit ist.
Sei \(V\) ein euklidischer/unitärer Vektorraum mit Skalarprodukt \((\cdot , \cdot )\). Dann definieren wir die Länge eines Vektors \(v\in V\) als \(\lVert v \rVert := \sqrt{(v,v)}\).
Mit dem Längenbegriff für Vektoren kann man auch den Abstand von Elementen \(v,w\in V\) als \(\lVert w-v\rVert \) definieren. Für das Standardskalarprodukt erhält man so den »gewohnten« euklidischen Abstand auf \(\mathbb R^n\) bzw. \(\mathbb C^n\).
Sei \(V\) ein euklidischer/unitärer Vektorraum mit Skalarprodukt \((\cdot , \cdot )\). Für alle \(v,w\in V\) gilt
Sei \(V\) ein euklidischer/unitärer Vektorraum mit Skalarprodukt \((\cdot , \cdot )\). Wir nennen Vektoren \(v,w\in V\) orthogonal zueinander, wenn \((v,w)=0\) gilt.
Sei \(V\) ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt \((\cdot , \cdot )\). Der Winkel zwischen zwei Vektoren \(v,w\in V\) ist die eindeutig bestimmte reelle Zahl \(\vartheta \in [0,\pi ]\), für die gilt
\[ \cos \vartheta = \frac{(v,w)}{\lVert v\rVert \cdot \lVert w\rVert }. \]
E.5.5 Existenz von Orthonormalbasen
Sei \((V, (\cdot , \cdot ))\) ein euklidischer/unitärer Vektorraum. Eine Familie \(v_1,\dots , v_n\in V\) heißt Orthogonalsystem, falls \(v_i\ne 0\) für alle \(i\) und für alle \(i\ne j\) gilt: \((v_i,v_j)=0\). Gilt zusätzlich \(|v_i|=1\) für alle \(i\), so bezeichnet man die Familie auch als \(\emph{Orthonormalsystem}\).
Sofern die \(v_i\) eine Basis von \(V\) bilden, spricht man auch von einer Orthogonalbasis bzw. Orthonormalbasis.
Wenn wir den Vektorraum \(\mathbb K^n\) mit dem Standardskalarprodukt versehen, dann bildet die Standardbasis eine Orthonormalbasis.
Sei \((V, (\cdot , \cdot ))\) ein euklidischer/unitärer Vektorraum und sei \(v_1,\dots , v_n\in V\) ein Orthogonalsystem. Dann sind \(v_1,\dots , v_n\) linear unabhängig.
Sei \((V, (\cdot , \cdot ))\) ein euklidischer/unitärer Vektorraum und sei \(\mathscr B=(b_1,\dots , b_n)\) eine Basis von \(V\). Dann existiert eine Orthonormalbasis \(v_1,\dots , v_n\) von \(V\), für die außerdem gilt:
\(V_i:=\langle v_1,\dots , v_i \rangle = \langle b_1,\dots , b_i\rangle \) für alle \(i\),
für alle \(i\) gilt mit \(\mathscr B_i = (b_1,\dots , b_i)\), \(\mathscr C_i = (v_1,\dots , v_i)\): \(\det M^{\mathscr B_i}_{\mathscr C_i}(\operatorname{id}_{V_i}) \in \mathbb R_{{\gt}0}\).
Durch diese Bedingungen sind \(v_1,\dots , v_n\) eindeutig bestimmt, und zwar gilt
Sei \(V\) ein endlichdimensionaler \(\mathbb K\)-Vektorraum mit Basis \(b_1,\dots , b_n\) und \(\beta \) eine symmetrische Bilinearform / Hermitesche Form auf \(V\). Dann gilt: \(\beta \) ist genau dann positiv definit, wenn für alle \(r=1,\dots , n\) gilt:
E.5.6 Der Spektralsatz für normale Endomorphismen
Sei \(V\) ein euklidischer/unitärer \(\mathbb K\)-Vektorraum mit Skalarprodukt \((\cdot ,\cdot )\), und \(f\in \operatorname{End}_{\mathbb K}(V)\). Ist \(\mathscr B\) eine Orthonormalbasis von \(V\), so gilt \(M_{\mathscr B}^{\mathscr B}(f^\ast )=M_{\mathscr B}^{\mathscr B}(f)^\ast \).
Sei \(V\) ein euklidischer/unitärer Vektorraum, \(\mathscr B\) eine Orthonormalbasis von \(V\). Dann gilt:
Ein Endomorphismus \(f\) von \(V\) ist genau dann selbstadjungiert, wenn \(M_{\mathscr B}^{\mathscr B}(f)\) hermitesch ist, d.h. wenn \(M_{\mathscr B}^{\mathscr B}(f)^\ast = M_{\mathscr B}^{\mathscr B}(f)\) gilt.
Ein Automorphismus \(f\) von \(V\) ist genau dann eine Isometrie, wenn \(M_{\mathscr B}^{\mathscr B}(f)\) unitär (bzw. orthogonal) ist, d.h. wenn \(M_{\mathscr B}^{\mathscr B}(f)^\ast = M_{\mathscr B}^{\mathscr B}(f)^{-1}\) gilt.
Sei \(V\) ein euklidischer/unitärer \(\mathbb K\)-Vektorraum mit Skalarprodukt \((\cdot ,\cdot )\), und \(f\in \operatorname{End}_{\mathbb K}(V)\). Der Endomorphismus \(f\) heißt normal, wenn \(f\circ f^\ast = f^\ast \circ f\) gilt.
Eine Matrix \(A\in M_{n}(\mathbb K)\) heißt normal, wenn \(A\, A^\ast =A^\ast \, A\) gilt.
Wichtige Beispiele für normale Endomorphismen sind selbstadjungierte Endomorphismen (also solche mit \(f= f^\ast \)) und Isometrien (also Isomorphismen mit \(f^{-1} = f^\ast \)).
Sei \(V\) ein euklidischer/unitärer \(\mathbb K\)-Vektorraum mit Skalarprodukt \((\cdot ,\cdot )\), und \(f\in \operatorname{End}_{\mathbb K}(V)\) ein Endomorphismus, dessen charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Dann sind äquivalent:
\(f\) ist normal.
Es existiert eine Orthonormalbasis von \(V\), die aus Eigenvektoren von \(f\) besteht.
E.5.7 Die Hauptachsentransformation
Sei \(V\) ein euklidischer/unitärer Vektorraum und \(f\in \operatorname{End}_{\mathbb K}(V)\) selbstadjungiert. Dann existiert eine Orthonormalbasis von \(V\), die aus Eigenvektoren von \(f\) besteht, und alle Eigenwerte von \(f\) sind reell.
Sei \(A\in M_{n}(\mathbb K)\) eine hermitesche Matrix. Dann existiert eine unitäre Matrix \(S\in GL_n(\mathbb K)\), so dass \(S^{-1}AS\) eine Diagonalmatrix mit reellen Einträgen ist.
Sei \(V\) ein euklidischer/unitärer Vektorraum mit Skalarprodukt \((\cdot ,\cdot )\). Sei \(\beta \) eine hermitesche Sesquilinearform auf \(V\). Dann existiert eine Orthonormalbasis \(\mathscr B\) von \(V\), so dass \(M_{\mathscr B}(\beta )\) eine Diagonalmatrix mit reellen Einträgen ist.
Sei \(V\) ein endlichdimensionaler \(\mathbb K\)-Vektorraum und \(\beta \) eine hermitesche Sesquilinearform. Dann sind äquivalent:
Die Form \(\beta \) ist positiv definit.
Es existiert eine Basis \(\mathscr B\) von \(V\), so dass \(M_{\mathscr B}(\beta )\) nur positive reelle Eigenwerte hat.
Sei \(V\) ein endlichdimensionaler \(\mathbb K\)-Vektorraum, \(n=\dim V\) und \(\beta \) eine hermitesche Sesquilinearform auf \(V\). Sei \(\mathscr B\) eine Basis von \(V\), und seien \(k_+\), \(k_-\) bzw. \(k_0\) die Anzahlen der Eigenwerte von \(M_{\mathscr B}(\beta )\), die positiv, negativ bzw. \(=0\) sind, jeweils gezählt mit der Vielfachheit der entsprechenden Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
Dann ist \(k_++k_-+k_0=n\), und die Zahlen \(k_+\), \(k_-\) und \(k_0\) sind unabhängig von der Wahl der Basis \(\mathscr B\).
Es existiert eine Basis \(\mathscr C\) von \(V\), so dass
(mit \(k_+\) Einträgen \(=1\), \(k_-\) Einträgen \(=-1\) und \(k_0\) Einträgen \(=0\)) ist.
E.5.8 Polarzerlegung und Singulärwertzerlegung
Besonders in praktischen Anwendungen ist die folgende Darstellung einer reellen oder komplexen Matrix als Produkt von großer Bedeutung.
Sei \(A\in M_{m\times n}(\mathbb K)\). Dann existieren unitäre Matrizen \(V\in M_m(\mathbb K)\) und \(W\in M_n(\mathbb K)\) und eine Matrix \(\Sigma = \operatorname{diag}(\sigma _1, \dots , \sigma _r, 0, \dots , 0) \in M_{m\times n}(\mathbb R)\), \(\sigma _1\ge \cdots \ge \sigma _r {\gt} 0\), \(r\le m,n\) (wenn \(m\ne n\) ist, ist \(\Sigma \) keine Diagonalmatrix!), so dass
ist.
Dabei ist die Matrix \(\Sigma \) eindeutig durch \(M\) bestimmt.
Analog zu der Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten haben wir die Polarzerlegung für Matrizen.
Ist \(A=UP\) die Polarzerlegung, so gilt \(A^\ast A = P^\ast U^\ast U P = P^2\), weil \(U\) unitär und \(P=P^\ast \) hermitesch ist. Ist umgekehrt \(A\) invertierbar und \(P\) eine positiv definite hermitesche Matrix mit \(P^2 = A^\ast A\), so ist \(AP^{-1}\) unitär und \(A = (AP^{-1})P\) die Polarzerlegung von \(A\).