E.5 Bilinearformen und Sesquilinearformen

E.5.1 Bilinearformen und Sesquilinearformen über allgemeinen Körpern

Sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum.

Definition E.67

Eine Bilinearform auf $V$ ist eine bilineare Abbildung $\beta \colon V\times V\to V$ , d.h. eine Abbildung so dass für alle $v_0\in V$ die Abbildungen

$V\to V,\ v\mapsto \beta (v, v_0),\quad \text{und}\quad V\to V,\ v\mapsto \beta (v_0, v),$

lineare Abbildungen sind.

Sei nun $\sigma \colon K\to K$ ein Ringautomorphismus. (Wir sprechen auch von einem Körperautomorphismus.) Es gelte außerdem $\sigma = \sigma ^{-1}$ , äquivalent ausgedrückt: $\sigma \circ \sigma =\operatorname{id}_K$ . Für uns sind vor allem die beiden folgenden Fälle von Bedeutung:

$K$ beliebig, $\sigma = \operatorname{id}_K$ .
$K=\mathbb C$ , $\sigma$ die komplexe Konjugation, d.h. $\sigma (a+bi) = a-bi$ ( $a,b\in \mathbb R$ ). Man schreibt in diesem Fall oft $\overline{z}$ statt $\sigma (z)$ .

Definition E.68

Eine Sesquilinearform auf $V$ ist eine Abbildung $\beta \colon V\times V\to V$ , so dass für alle $v_0\in V$ gilt

Die Abbildung

$V\to V,\ v\mapsto \beta (v_0, v),$

ist linear. (Wir sagen, $\beta$ sei linear im zweiten Eintrag.)
$V\to V,\ v\mapsto \beta (v, v_0),$

ist $\sigma$ -linear, d.h. es gilt

$\beta (v+v', v_0) = \beta (v, v_0)+\beta (v', v_0),\quad \beta (av, v_0) = \sigma (a)\, \beta (v, v_0)$

für alle $v\in V$ , $a\in K$ . (Wir sagen, $\beta$ sei $\sigma$ -linear (oder: semilinear) im zweiten Eintrag.)

Im Fall $\sigma =\operatorname{id}_K$ ist also eine Sesquilinearform nichts anderes als eine Bilinearform. Daher können wir die beiden Fälle im folgenden zusammen abhandeln. Wir fixieren den Körper $K$ zusammen mit dem Körperautomorphismus $\sigma$ .

Definition E.69

Eine Sesquilinearform $\beta \colon V\times V\to K$ heißt hermitesch, wenn $\beta (v,w)=\sigma (\beta (w,v))$ für alle $v,w\in V$ gilt.

Ist $\sigma =\operatorname{id}$ , so nennt man $\beta$ auch eine symmetrische Bilinearform.
Eine Sesquilinearform $\beta \colon V\times V\to K$ heißt nicht-ausgeartet, wenn für alle $v_0, w_0\in V$ die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
1. falls $\beta (v_0,w)=0$ für alle $w\in V$ , so gilt $v_0= 0$ ,
2. falls $\beta (v,w_0)=0$ für alle $v\in V$ , so gilt $w_0= 0$ .

Beispiel E.70

Das wichtigste Beispiel einer Sesquilinearform ist für uns das Standardskalarprodukt

$\mathbb C^n\times \mathbb C^n\to \mathbb C,\quad (x, y) \mapsto x^\ast \, y = \sum _{i=1}^n \overline{x_i}y_i.$

Dieses ist hermitesch und nicht-ausgeartet (und positiv definit, siehe Definition E.80). Durch Einschränkung auf $\mathbb R^n\times \mathbb R^n$ erhält man das Standardskalarprodukt auf $\mathbb R^n$ , eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform auf dem $\mathbb R$ -Vektorraum $\mathbb R^n$ .

Eine nichtausgeartete Bilinearform $\beta$ induziert einen Isomorphismus $V\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}V^\vee$ , $v\mapsto (w\mapsto \beta (v,w))$ , zwischen $V$ und seinem Dualraum.

Proposition E.71

Sei $\beta$ eine Sesquilinearform auf dem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ und sei $\mathscr B= (b_1, \dots , b_n)$ eine Basis von $V$ . Dann heißt

$M_\mathscr B(\beta ) := (\beta (b_i, b_j))_{i,j}\in M_n(K)$

die Strukturmatrix der Sesquilinearform $\beta$ .

Sei $\beta$ eine Sesquilinearform auf dem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ und $\mathscr B$ eine Basis von $V$ . Dann ist $\beta$ nicht-ausgeartet genau dann, wenn $M_\mathscr B(\beta )$ invertierbar ist.

Für $A\in M_{m\times n}(K)$ bezeichnen wir mit $A^\sigma$ die Matrix, die aus $A$ hervorgeht, indem auf jeden Eintrag die Abbildung $\sigma$ angewendet wird, und mit $A^\ast$ die Matrix $(A^t)^\sigma = (A^\sigma )^\ast$ . Ist $K=\mathbb C$ und $\sigma$ die komplexe Konjugation, so schreibt man auch $\overline{A}$ statt $A^\sigma$ . Wir benutzen diese Schreibweise insbesondere für quadratische Matrizen und für Spaltenvektoren. Damit gilt in der Situation der Definition:

$\beta (v, w) = c_\mathscr B(w)^\ast \, M_\mathscr B(\beta )\, c_\mathscr B(w)\quad \text{für alle}\ v,w\in V.$

Satz E.72

Sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum mit einer Basis $\mathscr B$ . Die Abbildung, die einer Sesquilinearform $\beta$ ihre Strukturmatrix $M_\mathscr B(\beta )$ zuordnet, ist eine Bijektion von der Menge aller Sesquilinearform auf den Raum $M_n(K)$ .

Ist $\mathscr C$ eine weitere Basis von $V$ , so gilt $M_\mathscr C(\beta ) = (M^\mathscr C_\mathscr B)^\ast \, M_\mathscr B(\beta )\, M^\mathscr C_\mathscr B$ .

Definition E.73

Sei $(V, \beta )$ ein Vektorraum mit einer nicht-ausgearteten hermiteschen Sesquilinearform. Sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann heißt

$U^\perp := \{ v\in V;\ \text{für alle}\ u\in U\ \text{gilt:}\ \beta (u,v)=0 \}$

das orthogonale Komplement von $U$ in $V$ .

Satz E.74

Sei $(V, \beta )$ ein endlichdimensionaler Vektorraum mit einer nicht-ausgearteten hermiteschen Sesquilinearform, und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann gilt $V= U\oplus U^\perp$ , also insbesondere $\dim U^\perp = \dim V - \dim U$ . Ferner ist $(U^\perp )^\perp = U$ .

E.5.2 Die adjungierte Abbildung

Satz E.75

Sei $V$ ein endlichdimensionaler $\mathbb K$ -Vektorraum mit einer nicht-ausgearteten hermiteschen Sesquilinearform $\beta$ . Sei $f\in \operatorname{End}_{\mathbb K}(V)$ . Dann existiert ein eindeutig bestimmter Endomorphismus $g$ von $V$ , so dass für alle $v, w\in V$ gilt:

$\beta (f(v), w) = \beta (v, g(w)).$

In dieser Situation heißt $g$ die zu $f$ adjungierte Abbildung; wir bezeichnen die adjungierte Abbildung zu $f$ mit $f^\ast$ .

Im Fall $\sigma =\operatorname{id}$ entspricht die zu $f$ adjungierte Abbildung $f^\ast$ unter dem durch $\beta$ induzierten Isomorphismus $V\stackrel{\sim }{\smash {\longrightarrow }\rule{0pt}{0.4ex}}V^\vee$ der dualen Abbildung von $f$ . Siehe Ergänzung 19.37 für eine Verallgemeinerung auf den Fall von Sesquilinearformen.

Satz E.76

Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum mit einer nicht-ausgearteten hermiteschen Sesquilinearform $\beta$ .

Die Abbildung $\operatorname{End}_{\mathbb K}(V)\rightarrow \operatorname{End}_{\mathbb K}(V)$ , $f\mapsto f^\ast$ ist semilinear (d.h. sie ist ein Homomorphismus abelscher Gruppen (bzgl. $+$ ) und es gilt $(\alpha f)^\ast = \sigma (\alpha ) \cdot f^\ast$ für alle $f\in \operatorname{End}_{\mathbb K}(V)$ , $\alpha \in \mathbb K$ ).
Es gilt $\operatorname{id}^\ast =\operatorname{id}$ , $(f^\ast )^\ast = f$ , $(f\circ g)^\ast = g^\ast \circ f^\ast$ .
Es gilt

$\operatorname{Ker}(f^\ast ) = (\operatorname{Im}f)^\perp ,\qquad \operatorname{Im}(f^\ast ) = (\operatorname{Ker}f)^\perp ,$

und $\operatorname{rg}f = \operatorname{rg}f^\ast$ .

Definition E.77

Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum mit einer nicht-ausgearteten hermiteschen Sesquilinearform $\beta$ . Ein Endomorphismus $f$ von $V$ heißt selbstadjungiert, falls $f=f^\ast$ gilt.

E.5.3 Isometrien, orthogonale und unitäre Gruppen

Sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum mit einer nicht-ausgearteten hermiteschen Sesquilinearform $\beta$ .

Definition E.78

Ein Endomorphismus $f\colon V\to V$ heißt eine Isometrie (bezüglich $\beta$ ), wenn

$\beta (f(v), f(w)) = \beta (v,w)\qquad \text{für alle}\ v,w\in V$

gilt.

Weil $\beta$ nicht-ausgeartet ist, kann für eine Isometrie $f(v)=0$ nur dann gelten, wenn $v=0$ ist, eine Isometrie ist also notwendigerweise ein Isomorphismus. Ein Endomorphismus $f$ ist daher genau dann eine Isometrie, wenn $f$ invertierbar und $f^\ast = f^{-1}$ gilt.

Die Menge der Isometrien bildet eine Untergruppe der Gruppe $\operatorname{Aut}_K(V)$ aller Automorphismen von $V$ . Wir bezeichnen sie mit $\operatorname{Aut}_K(V, \beta )$ .

Definition E.79

Ist $\sigma =\operatorname{id}$ , also $\beta$ eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform, so nennt man $\operatorname{Aut}_K(V, \beta )$ auch die orthogonale Gruppe zu $V$ und $\beta$ und schreibt $O(V, \beta )$ (oder einfach $O(V)$ , wenn klar ist, welches $\beta$ gemeint ist) für diese Gruppe.
Ist $\sigma \ne \operatorname{id}$ und $\beta$ eine nicht-ausgeartete hermitesche Sesquilinearform, so nennt man $\operatorname{Aut}_K(V, \beta )$ auch die unitäre Gruppe zu $V$ und $\beta$ und schreibt $U(V, \beta )$ (oder einfach $U(V)$ , wenn klar ist, welches $\beta$ gemeint ist) für diese Gruppe.

E.5.4 Euklidische und unitäre Vektorräume

Wir schränken uns nun auf die folgenden beiden Fälle ein

$K= \mathbb R$ , $\sigma = \operatorname{id}$ ,
$K=\mathbb C$ , $\sigma$ die komplexe Konjugation. Wir schreiben nun üblicherweise $\overline{z}$ statt $\sigma (z)$ . Diese Schreibweise können wir auch für $z\in \mathbb R$ anwenden; dann gilt $\overline{z}=z$ .

Dann gilt $z\overline{z} \in \mathbb R_{\ge 0}$ für alle $z\in K$ , und wir können den Absolutbetrag von $z$ definieren als $\lvert z\rvert := \sqrt{z\, \overline{z}}$ . Der Positivitätsbegriff, den wir hier zur Verfügung haben, ist der entscheidende Unterschied zum allgemeinen Fall, und ermöglicht es zum Beispiel, einen sinnvollen Abstands- und Winkelbegriff einzuführen.

Um in der Notation sichtbar zu machen, dass wir nur diese beiden Fälle erlauben, bezeichnen wir den Grundkörper mit $\mathbb K$ .

Definition E.80

Sei $V$ ein $\mathbb K$ -Vektorraum. Eine hermitesche Sesquilinearform $\beta$ auf $V$ heißt positiv definit, wenn

$\beta (v,v) {\gt} 0\quad \text{für alle}\ v\in V \setminus \{ 0\}$

gilt.

Entsprechend definiert man die Begriffe positiv semidefinit, negativ definit, negativ semidefinit, siehe Definition 19.49.

Definition E.81

Sei $\mathbb K= \mathbb R$ . Ein Skalarprodukt auf einem endlichdimensionalen $\mathbb R$ -Vektorraum ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform $V\times V\to \mathbb R$ . Ein endlichdimensionaler $\mathbb R$ -Vektorraum zusammen mit einem Skalarprodukt heißt euklidischer Vektorraum.
Sei $\mathbb K= \mathbb C$ . Ein Skalarprodukt auf einem endlichdimensionalen $\mathbb C$ -Vektorraum ist eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform $V\times V\to \mathbb C$ . Ein endlichdimensionaler $\mathbb C$ -Vektorraum zusammen mit einem Skalarprodukt heißt unitärer Vektorraum.

Satz E.82 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Sei $\beta$ eine positiv semidefinite hermitesche Sesquilinearform auf dem $\mathbb K$ -Vektorraum $V$ . Dann gilt für alle $v,w\in V$ :

$\lvert \beta (v,w) \rvert ^2 \le \beta (v,v)\beta (w,w).$

Ist die gegebene Form sogar positiv definit, so gilt in der Ungleichung genau dann $=$ , wenn $v$ und $w$ linear abhängig sind.

Korollar E.83

Sei $\beta$ eine positiv semidefinite hermitesche Sesquilinearform auf $V$ . Die Form $\beta$ ist genau dann nicht-ausgeartet, wenn sie positiv definit ist.

Definition E.84

Sei $V$ ein euklidischer/unitärer Vektorraum mit Skalarprodukt $(\cdot , \cdot )$ . Dann definieren wir die Länge eines Vektors $v\in V$ als $\lVert v \rVert := \sqrt{(v,v)}$ .

Mit dem Längenbegriff für Vektoren kann man auch den Abstand von Elementen $v,w\in V$ als $\lVert w-v\rVert$ definieren. Für das Standardskalarprodukt erhält man so den »gewohnten« euklidischen Abstand auf $\mathbb R^n$ bzw. $\mathbb C^n$ .

Korollar E.85 Dreiecksungleichung

Sei $V$ ein euklidischer/unitärer Vektorraum mit Skalarprodukt $(\cdot , \cdot )$ . Für alle $v,w\in V$ gilt

$\lVert v+w \rVert \le \lVert v\rVert + \lVert w\rVert .$

Definition E.86

Sei $V$ ein euklidischer/unitärer Vektorraum mit Skalarprodukt $(\cdot , \cdot )$ . Wir nennen Vektoren $v,w\in V$ orthogonal zueinander, wenn $(v,w)=0$ gilt.
Sei $V$ ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt $(\cdot , \cdot )$ . Der Winkel zwischen zwei Vektoren $v,w\in V$ ist die eindeutig bestimmte reelle Zahl $\vartheta \in [0,\pi ]$ , für die gilt

$\cos \vartheta = \frac{(v,w)}{\lVert v\rVert \cdot \lVert w\rVert }.$

E.5.5 Existenz von Orthonormalbasen

Definition E.87

Sei $(V, (\cdot , \cdot ))$ ein euklidischer/unitärer Vektorraum. Eine Familie $v_1,\dots , v_n\in V$ heißt Orthogonalsystem, falls $v_i\ne 0$ für alle $i$ und für alle $i\ne j$ gilt: $(v_i,v_j)=0$ . Gilt zusätzlich $|v_i|=1$ für alle $i$ , so bezeichnet man die Familie auch als $\emph{Orthonormalsystem}$ .

Sofern die $v_i$ eine Basis von $V$ bilden, spricht man auch von einer Orthogonalbasis bzw. Orthonormalbasis.

Beispiel E.88

Wenn wir den Vektorraum $\mathbb K^n$ mit dem Standardskalarprodukt versehen, dann bildet die Standardbasis eine Orthonormalbasis.

Lemma E.89

Sei $(V, (\cdot , \cdot ))$ ein euklidischer/unitärer Vektorraum und sei $v_1,\dots , v_n\in V$ ein Orthogonalsystem. Dann sind $v_1,\dots , v_n$ linear unabhängig.

Satz E.90 Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren

Sei $(V, (\cdot , \cdot ))$ ein euklidischer/unitärer Vektorraum und sei $\mathscr B=(b_1,\dots , b_n)$ eine Basis von $V$ . Dann existiert eine Orthonormalbasis $v_1,\dots , v_n$ von $V$ , für die außerdem gilt:

$V_i:=\langle v_1,\dots , v_i \rangle = \langle b_1,\dots , b_i\rangle$ für alle $i$ ,
für alle $i$ gilt mit $\mathscr B_i = (b_1,\dots , b_i)$ , $\mathscr C_i = (v_1,\dots , v_i)$ : $\det M^{\mathscr B_i}_{\mathscr C_i}(\operatorname{id}_{V_i}) \in \mathbb R_{{\gt}0}$ .

Durch diese Bedingungen sind $v_1,\dots , v_n$ eindeutig bestimmt, und zwar gilt

$v_i = \frac{v'_{i}}{\lVert v'_{i}\rVert }\quad \text{ mit } \quad v'_{i} = b_i - \sum _{k=1}^{i-1} (b_i, v_k) v_k.$

Satz E.91

Sei $V$ ein endlichdimensionaler $\mathbb K$ -Vektorraum mit Basis $b_1,\dots , b_n$ und $\beta$ eine symmetrische Bilinearform / Hermitesche Form auf $V$ . Dann gilt: $\beta$ ist genau dann positiv definit, wenn für alle $r=1,\dots , n$ gilt:

$\det (\beta (b_i,b_j))_{i=1,\dots , r,\ j=1,\dots , r} {\gt} 0.$

E.5.6 Der Spektralsatz für normale Endomorphismen

Satz E.92

Sei $V$ ein euklidischer/unitärer $\mathbb K$ -Vektorraum mit Skalarprodukt $(\cdot ,\cdot )$ , und $f\in \operatorname{End}_{\mathbb K}(V)$ . Ist $\mathscr B$ eine Orthonormalbasis von $V$ , so gilt $M_{\mathscr B}^{\mathscr B}(f^\ast )=M_{\mathscr B}^{\mathscr B}(f)^\ast$ .

Satz E.93

Sei $V$ ein euklidischer/unitärer Vektorraum, $\mathscr B$ eine Orthonormalbasis von $V$ . Dann gilt:

Ein Endomorphismus $f$ von $V$ ist genau dann selbstadjungiert, wenn $M_{\mathscr B}^{\mathscr B}(f)$ hermitesch ist, d.h. wenn $M_{\mathscr B}^{\mathscr B}(f)^\ast = M_{\mathscr B}^{\mathscr B}(f)$ gilt.
Ein Automorphismus $f$ von $V$ ist genau dann eine Isometrie, wenn $M_{\mathscr B}^{\mathscr B}(f)$ unitär (bzw. orthogonal) ist, d.h. wenn $M_{\mathscr B}^{\mathscr B}(f)^\ast = M_{\mathscr B}^{\mathscr B}(f)^{-1}$ gilt.

Definition E.94

Sei $V$ ein euklidischer/unitärer $\mathbb K$ -Vektorraum mit Skalarprodukt $(\cdot ,\cdot )$ , und $f\in \operatorname{End}_{\mathbb K}(V)$ . Der Endomorphismus $f$ heißt normal, wenn $f\circ f^\ast = f^\ast \circ f$ gilt.
Eine Matrix $A\in M_{n}(\mathbb K)$ heißt normal, wenn $A\, A^\ast =A^\ast \, A$ gilt.

Wichtige Beispiele für normale Endomorphismen sind selbstadjungierte Endomorphismen (also solche mit $f= f^\ast$ ) und Isometrien (also Isomorphismen mit $f^{-1} = f^\ast$ ).

Theorem E.95 Spektralsatz für normale Endomorphismen

Sei $V$ ein euklidischer/unitärer $\mathbb K$ -Vektorraum mit Skalarprodukt $(\cdot ,\cdot )$ , und $f\in \operatorname{End}_{\mathbb K}(V)$ ein Endomorphismus, dessen charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Dann sind äquivalent:

$f$ ist normal.
Es existiert eine Orthonormalbasis von $V$ , die aus Eigenvektoren von $f$ besteht.

E.5.7 Die Hauptachsentransformation

Theorem E.96 Spektralsatz für selbstadjungierte Abbildungen

Sei $V$ ein euklidischer/unitärer Vektorraum und $f\in \operatorname{End}_{\mathbb K}(V)$ selbstadjungiert. Dann existiert eine Orthonormalbasis von $V$ , die aus Eigenvektoren von $f$ besteht, und alle Eigenwerte von $f$ sind reell.

Korollar E.97

Sei $A\in M_{n}(\mathbb K)$ eine hermitesche Matrix. Dann existiert eine unitäre Matrix $S\in GL_n(\mathbb K)$ , so dass $S^{-1}AS$ eine Diagonalmatrix mit reellen Einträgen ist.

Korollar E.98 Hauptachsentransformation

Sei $V$ ein euklidischer/unitärer Vektorraum mit Skalarprodukt $(\cdot ,\cdot )$ . Sei $\beta$ eine hermitesche Sesquilinearform auf $V$ . Dann existiert eine Orthonormalbasis $\mathscr B$ von $V$ , so dass $M_{\mathscr B}(\beta )$ eine Diagonalmatrix mit reellen Einträgen ist.

Korollar E.99

Sei $V$ ein endlichdimensionaler $\mathbb K$ -Vektorraum und $\beta$ eine hermitesche Sesquilinearform. Dann sind äquivalent:

Die Form $\beta$ ist positiv definit.
Es existiert eine Basis $\mathscr B$ von $V$ , so dass $M_{\mathscr B}(\beta )$ nur positive reelle Eigenwerte hat.

Theorem E.100 Sylvesterscher Trägheitssatz

Sei $V$ ein endlichdimensionaler $\mathbb K$ -Vektorraum, $n=\dim V$ und $\beta$ eine hermitesche Sesquilinearform auf $V$ . Sei $\mathscr B$ eine Basis von $V$ , und seien $k_+$ , $k_-$ bzw. $k_0$ die Anzahlen der Eigenwerte von $M_{\mathscr B}(\beta )$ , die positiv, negativ bzw. $=0$ sind, jeweils gezählt mit der Vielfachheit der entsprechenden Nullstelle des charakteristischen Polynoms.

Dann ist $k_++k_-+k_0=n$ , und die Zahlen $k_+$ , $k_-$ und $k_0$ sind unabhängig von der Wahl der Basis $\mathscr B$ .

Es existiert eine Basis $\mathscr C$ von $V$ , so dass

$M_{\mathscr C}(\beta ) = \operatorname{diag}(1,\dots , 1, -1,\dots , -1, 0, \dots , 0)$

(mit $k_+$ Einträgen $=1$ , $k_-$ Einträgen $=-1$ und $k_0$ Einträgen $=0$ ) ist.

E.5.8 Polarzerlegung und Singulärwertzerlegung

Besonders in praktischen Anwendungen ist die folgende Darstellung einer reellen oder komplexen Matrix als Produkt von großer Bedeutung.

Satz E.101 Singulärwertzerlegung

Sei $A\in M_{m\times n}(\mathbb K)$ . Dann existieren unitäre Matrizen $V\in M_m(\mathbb K)$ und $W\in M_n(\mathbb K)$ und eine Matrix $\Sigma = \operatorname{diag}(\sigma _1, \dots , \sigma _r, 0, \dots , 0) \in M_{m\times n}(\mathbb R)$ , $\sigma _1\ge \cdots \ge \sigma _r {\gt} 0$ , $r\le m,n$ (wenn $m\ne n$ ist, ist $\Sigma$ keine Diagonalmatrix!), so dass

$M= V\, \Sigma \, W^\ast$

ist.

Dabei ist die Matrix $\Sigma$ eindeutig durch $M$ bestimmt.

Analog zu der Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten haben wir die Polarzerlegung für Matrizen.

Satz E.102 Polarzerlegung

Sei $A\in M_n(\mathbb K)$ . Dann existieren eine unitäre Matrix $U\in M_n(\mathbb K)$ und eine eindeutig bestimmte positiv semidefinite hermitesche Matrix $P\in M_n(\mathbb K)$ mit $A=UP$ .
Ist $A$ invertierbar, so ist auch $U$ eindeutig bestimmt, und $P$ ist sogar positiv definit.

Ist $A=UP$ die Polarzerlegung, so gilt $A^\ast A = P^\ast U^\ast U P = P^2$ , weil $U$ unitär und $P=P^\ast$ hermitesch ist. Ist umgekehrt $A$ invertierbar und $P$ eine positiv definite hermitesche Matrix mit $P^2 = A^\ast A$ , so ist $AP^{-1}$ unitär und $A = (AP^{-1})P$ die Polarzerlegung von $A$ .

Lineare Algebra II, SS 2021

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