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2.3 Primideale und maximale Ideale

Definition 2.27

Sei \(R\) ein Ring.

  1. Ein Ideal \(\mathfrak p\subset R\) heißt Primideal, falls \(\mathfrak p \ne R\) und für alle \(x, y\in R\) mit \(xy\in \mathfrak p\) gilt: \(x\in \mathfrak p\) oder \(y\in \mathfrak p\).

  2. Ein Ideal \(\mathfrak m\subset R\) heißt maximales Ideal, falls \(\mathfrak m \ne R\), und für alle Ideale \(\mathfrak m^\prime \ne R\) mit \(\mathfrak m\subseteq \mathfrak m^\prime \) gilt: \(\mathfrak m= \mathfrak m^\prime \).

Bemerkung 2.28
  1. Sei \(R\) ein Ring. Das Nullideal ist genau dann ein Primideal von \(R\), wenn \(R\) ein Integritätsring ist. Das ist leicht zu beweisen, folgt aber auch aus dem nächsten Satz.

  2. Sei \(R\) ein Integritätsring. Ein Hauptideal \(0\ne (a)\subseteq R\) ist genau dann ein Primideal, wenn \(a\) ein Primelement ist. (Aber in aller Regel gibt es auch Primideale, die keine Hauptideale sind.)

Satz 2.29

Sei \(R\) ein Ring, \(\mathfrak a\subseteq R\) ein Ideal.

  1. Das Ideal \(\mathfrak a\) ist genau dann ein Primideal, wenn \(\left.R\middle /\mathfrak a\right.\) ein Integritätsring ist.

  2. Das Ideal \(\mathfrak a\) ist genau dann ein maximales Ideal, wenn \(\left.R\middle /\mathfrak a\right.\) ein Körper ist.

Insbesondere gilt: Jedes maximale Ideal ist ein Primideal.

Beweis

Siehe Lemma ALG.3.17, Lemma ALG.3.19.

Satz 2.30

Sei \(R\) ein Ring, \(\mathfrak a\) ein Ideal von \(R\), \(\mathfrak a\ne R\). Dann besitzt \(R\) ein maximales Ideal \(\mathfrak m\) mit \(\mathfrak a\subseteq \mathfrak m\). Insbesondere besitzt jeder Ring \(R\ne 0\) ein maximales Ideal.

Beweis

Siehe Satz ALG.3.22.

Satz 2.31

Die Bijektionen in Satz 2.17 erhalten die Eigenschaften Primideal und maximales Ideal.

Beweis

Wir schreiben \(\pi \colon R\to \left.R\middle /\mathfrak a\right.\) für die kanonische Projektion. Für ein Ideal \(\mathfrak b \subseteq R\) gilt dann \(R/\mathfrak b \cong (\left.R\middle /\mathfrak a\right.)/\pi (\mathfrak b)\), denn die Verkettung \(R\to \left.R\middle /\mathfrak a\right.\to (\left.R\middle /\mathfrak a\right.)/\pi (\mathfrak b)\) ist surjektiv mit Kern \(\mathfrak b\). Deshalb folgt die Behauptung aus Satz 2.29. (Es geht natürlich auch leicht direkt; und für die Eigenschaft maximales Ideal ist die Behauptung insofern direkt klar, als die genannte Bijektion zwischen Idealen in \(R\) und \(\left.R\middle /\mathfrak a\right.\) inklusionserhaltend ist.

Beispiel 2.32

Sei \(R\) ein Hauptidealring. Dann ist \(R\) faktoriell (Abschnitt ALG.3.4). Für ein Ideal \((a)\ne 0\) sind äquivalent:

  1. Das Element \(a\in R\) ist irreduzibel.

  2. Das Ideal \((a)\) ist ein Primideal.

  3. Das Ideal \((a)\) ist ein maximales Ideal.

Das einzige nicht-maximale Primideal ist das Nullideal. Siehe Satz ALG.3.20.