Sei zunächst \(A\) ein Körper und \(b\in B\setminus \{ 0\} \) mit \(p(b)=0\) für ein normiertes Polynom \(p=\sum _{i=0}^d a_i X^i \in A[X]\), \(a_d=1\). Sei \(j\) minimal mit \(a_j \ne 0\). Weil \(A\) ein Körper ist, ist dann \(a_j\) in \(A\) invertierbar und wir erhalten

Weil \(B\) ein Integritätsring und \(b\ne 0\) ist, folgt

Also ist \(b\) in \(A[b]\) und damit insbesondere in \(B\) invertierbar.

Ist andererseits \(B\) ein Körper und \(a\in A\setminus \{ 0\} \), dann existiert \(b\in B\) mit \(ab=1\), und \(b\) ist ganz über \(A\), also \(p(b)=0\) für ein normiertes Polynom \(p =\sum _{i=0}^d a_i X^i \in A[X]\), \(a_d=1\). Dann ist

also \(b\in A\).

In der Situation des Satzes induziert \(\varphi \) einen Ringhomomorphismus \(A/\mathfrak p\to B/\mathfrak q\). Dieser ist ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus zwischen Integritätsringen, so dass wir Satz 4.14 anwenden können. Das liefert die Behauptung.

Wir setzen \(\mathfrak p= \varphi ^{-1}(\mathfrak q)\). Der Homomorphismus \(\varphi \) induziert einen ganzen Ringhomomorphismus \(A_{\mathfrak p}\to B_{\mathfrak p}\), wobei wir mit \(B_{\mathfrak p}\) die Lokalisierung von \(B\) bezüglich der multiplikativen Teilmenge \(\varphi (A\setminus \mathfrak p)\) bezeichnen. Wegen der Beschreibung von Primidealen in der Lokalisierung (Satz 2.47) können wir \(\varphi \) durch diesen Homomorphismus ersetzen und dadurch annehmen, dass \(\varphi ^{-1}(\mathfrak q) =\varphi ^{-1}(\mathfrak q^\prime )\) ein maximales Ideal von \(A\) ist. Satz 4.15 impliziert dann, dass \(\mathfrak q\) und \(\mathfrak q^\prime \) maximale Ideale von \(B\) sind. Aus der Inklusion \(\mathfrak q\subseteq \mathfrak q^\prime \) folgt also die Gleichheit.

Indem wir wie im Beweis von Satz 4.16 zu den Lokalisierungen \(A_{\mathfrak p}\) und \(B_{\mathfrak p}\) übergehen, können wir uns auf die Situation reduzieren, dass \(A\) lokal mit maximalem Ideal \(\mathfrak p\) ist.

Sei dann \(\mathfrak q\) in \(B\) irgendein maximales Ideal. Weil \(\mathfrak p\) das einzige maximale Ideal von \(A\) ist, folgt \(\mathfrak p = \varphi ^{-1}(\mathfrak q)\) aus Satz 4.16.

Frage: Wo wurde im Beweis die Injektivität von \(\varphi \) benutzt? Geben Sie ein Beispiel eines (nicht-injektiven) ganzen Ringhomomorphismus an, so dass die auf den Spektren induzierte Abbildung nicht surjektiv ist. (Es gibt aber auch nicht-injektive ganze Ringhomomorphismen \(\varphi \), so dass \(\varphi ^a\) surjektiv ist.)

Per Induktion können wir uns auf den Fall \(m=1\), \(n=2\), einschränken, so dass nur ein Schritt in der Kette der \(\mathfrak q_i\) zu ergänzen ist, nämlich \(\mathfrak q_2\).

Nun induziert \(\varphi \) einen injektiven ganzen Ringhomomorphismus \(A/\mathfrak p_1\to B/\mathfrak q_1\), und auf diesen können wir Satz 4.17 anwenden. Die Behauptung folgt dann aus Satz 2.31.

Dass zwischen Primidealen von \(B\), die unter \(f\) auf dasselbe Primideal von \(A\) abgebildet werden, keine Inklusionen bestehen, folgt aus Satz 4.16. In Satz 4.23 unten sehen wir noch einen anderen Beweis für diese Tatsache.

Um zu zeigen, dass jede Faser nur endlich viele Elemente hat, brauchen wir einige Vorbereitungen. Der Beweis nimmt den Rest dieses Abschnitts in Anspruch.

Es ist \(\kappa (\mathfrak p) = \operatorname{Quot}(A/\mathfrak p)\), und folglich \(B\otimes _A\kappa (p) = S^{-1}(B/\mathfrak p B)\), wobei die multiplikative Teilmenge \(S\), bezüglich der wir lokalisieren, gegeben ist durch \(S = \pi (\varphi (A\setminus \mathfrak p))\). Hier ist \(\pi \colon B\to B/\mathfrak p B\) die kanonische Projektion.

Mit den Sätzen 2.31 und 2.47 können wir die Menge der Primideale von \(B\otimes _A\kappa (p)\) als Teilmenge von \(\operatorname{Spec}(B)\) beschreiben, und zwar als die Teilmenge derjenigen Primideale \(\mathfrak q\subset B\), die \(\mathfrak p B\) enthalten (und für jedes solche gilt \(\varphi ^{-1}(\mathfrak q) \supseteq \mathfrak p\)), und die \(S\) nicht treffen. Insgesamt erhalten wir so genau diejenigen Primideale, für die \(\varphi ^{-1}(\mathfrak q) = \mathfrak p\) gilt.

Dass die Inklusion \(\operatorname{Spec}(B\otimes _A\kappa (\mathfrak p)) \to \operatorname{Spec}(B)\) sogar ein Homöomorphismus auf diese Teilmenge ist, folgt daraus, dass die Bijektionen zu Primidealen in Lokalisierung/im Quotienten aus den gerade genannten Sätzen jeweils Homöomorphismen sind.

Wir können \(B\) als \(A\)-Vektorraum auffassen. Jedes Ideal von \(B\) ist dann insbesondere ein Untervektorraum. Weil \(B\) als \(A\)-Vektorraum endlich-dimensional ist, gilt die obige Kettenbedingung sogar für Untervektorräume, also erst recht für Ideale.

Zu (1). Sei \(\mathfrak p\subset B\) ein Primideal. Der Quotient \(B/\mathfrak p\) ist ebenfalls ein Artin-Ring. Es genügt also zu zeigen, dass jeder artinsche Integritätsring \(B\) ein Körper ist. Ist \(x\in B\setminus \{ 0\} \), dann bilden die Ideale \((x^i)\) für \(i\ge 0\) eine absteigende Kette. Weil diese stationär wird, existiert \(i\) mit \(x^i\in (x^{i+1})\), etwa \(x^i = x^{i+1} y\) und damit \(xy = 1\), weil \(B\) ein Integritätsring ist. Also ist \(x\) eine Einheit in \(B\).

Zu (2). Angenommen, es gäbe unendlich viele paarweise verschiedene maximale Ideale \(\mathfrak m_1, \mathfrak m_2,\dots \) in \(B\). Dann ist

eine absteigende Kette, in der alle Inklusionen echt sind.

Um zu zeigen, dass es sich um echte Inklusionen handelt, kann man entweder direkt argumentieren: Denn wäre \(\bigcap _{i=1}^r \mathfrak m_i = \bigcap _{i=1}^{r+1} \mathfrak m_i\) für ein \(r\ge 0\), dann erhalten wir \(\bigcap _{i=1}^r \mathfrak m_i \subseteq \mathfrak m_{r+1}\) und damit nach Lemma 2.63 eine Inklusion \(\mathfrak m_i\subseteq \mathfrak m_{r+1}\) für ein \(i\), \(1\le i\le r\). Weil \(\mathfrak m_i\) und \(\mathfrak m_{r+1}\) verschiedene maximale Ideale sind, ist das unmöglich.

Oder man benutzt den chinesischen Restsatz (Satz ALG.3.14), der zeigt, dass für jedes \(r\) die Projektion \(B\to \bigoplus _{i=1}^r B/\mathfrak m_i\) surjektiv mit Kern \(\bigcap _{i=1}^r\mathfrak m_i\) ist. Wäre nun \(\bigcap _{i=1}^r \mathfrak m_i = \bigcap _{i=1}^{r+1} \mathfrak m_i\) für ein \(r\), dann wäre die Projektion \(\bigoplus _{i=1}^{r+1} B/\mathfrak m_i\to \bigoplus _{i=1}^r B/\mathfrak m_i\) ein Isomorphismus, was offensichtlich nicht der Fall ist.