7.2 Dedekindringe
Sei \(A\) ein Integritätsring. Wir sagen, \(A\) habe Dimension \(1\), in Zeichen: \(\dim A=1\), falls \(A\) kein Körper ist, und jedes Primideal \(\ne 0\) in \(A\) ein maximales Ideal ist.
Diese Definition ist konsistent mit der allgemeinen Definition 6.4.
Sei \(A\) ein Integritätsring, der kein Körper ist. Dann sind äquivalent:
\(A\) ist ganzabgeschlossen, noethersch und \(\dim A = 1\).
Für jedes Primideal \(\mathfrak p\ne 0\) von \(A\) ist \(A_{\mathfrak p}\) ein diskreter Bewertungsring.
Sind diese Bedingungen erfüllt, dann nennen wir \(A\) einen Dedekindring.
Sei \(A\) ein Dedekindring, \(K=\operatorname{Quot}(A)\), sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche separable Körpererweiterung, und sei \(B\) der ganze Abschluss von \(A\) in \(L\). Dann ist auch \(B\) ein Dedekindring.
Der Satz ist auch ohne die Voraussetzung, dass die Erweiterung \(\left.L\middle /K\right.\) separabel sei, richtig, allerdings dann deutlich schwieriger zu beweisen.
7.2.1 Die Spur einer separablen Körpererweiterung
Siehe auch Abschnitt ALG.6.2.
Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche Körpererweiterung. Sei \(x\in L\). Dann ist die Abbildung \(\varphi _x\colon L\to L\), \(y\mapsto xy\), ein Homomorphismus von \(K\)-Vektorräumen, und wir setzen \(\mathop{\text{Tr}}\nolimits _{L/K}(x):=\operatorname{Spur}(\varphi _x)\), und erhalten so eine Abbildung \(\mathop{\text{Tr}}\nolimits _{L/K}\colon L\to K\), die sogenannte Spurabbildung.
Sei im folgenden stets \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche separable Körpererweiterung, und sei \(\{ \sigma _1,\dots , \sigma _n \} \) die Menge aller \(K\)-Homomorphismen von \(L\) in einen fixierten algebraischen Abschluss von \(L\)
Für alle \(x\in L\) gilt \(\mathop{\text{Tr}}\nolimits _{L/K}(x) = \sum _{i=1}^n \sigma _i(x)\).
Sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche separable Körpererweiterung. Dann ist die Abbildung
eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform auf dem \(K\)-Vektorraum \(L\).
Sei \(A\) ein Dedekindring, \(K=\operatorname{Quot}(A)\), sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche separable Körpererweiterung, und sei \(B\) der ganze Abschluss von \(A\) in \(L\). Dann gilt für alle \(b\in B\): \(\mathop{\text{Tr}}\nolimits _{L/K}(b)\in A\).
Sei \(A\) ein Dedekindring, \(K=\operatorname{Quot}(A)\), sei \(\left.L\middle /K\right.\) eine endliche separable Körpererweiterung, und sei \(B\) der ganze Abschluss von \(A\) in \(L\). Ist \(\alpha _1, \dots , \alpha _n\) eine \(K\)-Basis von \(L\) mit \(\alpha _i\in B\) für alle \(i\), und ist \(d = \det (\mathop{\text{Tr}}\nolimits _{L/K}(\alpha _i\alpha _j))\), so gilt