7.1 Diskrete Bewertungsringe

Definition 7.1

Sei $K$ ein Körper. Eine diskrete Bewertung auf $K$ ist eine surjektive Abbildung $v\colon K^\times \to \mathbb Z$ , für die gilt:

$v(xy) = v(x) + v(y)$ für alle $x,y\in K^\times$ ,
$v(x+y) \ge \min (v(x), v(y))$ für alle $x,y\in K^\times$ .

Bemerkung 7.2

Sei $K$ ein Körper mit einer diskreten Bewertung $v$ . Sei $c\in \mathbb R$ , $0{\lt}c{\lt}1$ . Dann definiert

$\lvert x\rvert = c^{v(x)} \text{ für } x\in K^\times ,\qquad \lvert 0\rvert = 0,$

einen Absolutbetrag auf $K$ , d.h. eine Abbildung $\lvert \cdot \rvert \colon K\to \mathbb R$ mit

$\lvert x\rvert = 0\Longleftrightarrow x=0$ ,
$\lvert xy\rvert = \lvert x\rvert \cdot \lvert y\rvert$ ,
(Dreiecksungleichung) $\lvert x+y\rvert \le \lvert x\rvert +\lvert y\rvert$ .

Genauer gilt in dieser Situation sogar die starke Dreiecksungleichung:

$\lvert x+y\rvert \le \max (\lvert x\rvert , \lvert y\rvert ).$

Man spricht in diesem Fall von einem nicht-archimedischen Absolutbetrag.

Lemma 7.3

Sei $K$ ein Körper mit einer diskreten Bewertung $v$ . Dann ist

$\{ x\in K;\ v(x) \ge 0 \} \cup \{ 0 \}$

ein Unterring von $K$ , der sogenannte Bewertungsring von $(K, v)$ .

Beispiel 7.4

Sei $R$ ein faktorieller Ring, $K=\operatorname{Quot}(R)$ , $p\in R$ ein Primelement. Jedes Element $x\in K^\times$ lässt sich schreiben als $x = p^n\frac ab$ mit $n\in \mathbb Z$ , $a, b\in R$ , $p\nmid ab$ . Dabei ist $n$ eindeutig bestimmt und durch $v(x):= n$ wird eine diskrete Bewertung auf $K$ definiert.
Sei speziell $K=\mathbb Q$ , $p\in \mathbb Z$ eine Primzahl. Die wie in (1) definierte Bewertung $v_p$ heißt die $p$ -adische Bewertung auf $\mathbb Q$ . Der Bewertungsring von $v_p$ ist der Ring $\mathbb Z_{(p)}$ , die Lokalisierung von $\mathbb Z$ nach dem Primideal $(p)$ . Man kann zeigen, dass alle diskreten Bewertungen auf $\mathbb Q$ diese Form haben.
Sei speziell $K=k(T)$ der rationale Funktionenkörper über einem Körper $k$ . Wie in (1) definiert dann jedes irreduzible Polynom $f\in k[T]$ eine Bewertung $v_f$ auf $K$ . Der Bewertungsring von $v_f$ ist der Ring $k[T]_{(f)}$ .
Sei $K=k(T)$ wie in 3. Dann ist auch $K = \operatorname{Quot}(k[T^{-1}])$ und wenn wir die Konstruktion in (1) auf das Primelement $T^{-1}\in k[T^{-1}]$ anwenden, erhalten wir eine Bewertung $v_\infty$ auf $K$ , die nicht von der Form $v_f$ wie in (3) ist. Es gilt

$v_\infty (\frac fg) = \deg g -\deg f \text{ für } f, g\in k[T], g\ne 0.$

Der Bewertungsring von $v_\infty$ ist der Ring

$k[T^{-1}]_{(T^{-1})} = \{ \frac fg;\ f, g\in k[T], g\ne 0,\ \deg f \le \deg g \} \subset K.$

Man kann zeigen, dass alle Bewertungen auf $K$ die Form $v_f$ , $f\in k[T]$ irreduzibel, oder $v_\infty$ haben.

Definition 7.5

Sei $A$ ein Integritätsring, $K=\operatorname{Quot}(A)$ . Der Ring $A$ heißt diskreter Bewertungsring, falls eine diskrete Bewertung auf $K$ existiert, deren Bewertungsring $A$ ist.

Bemerkung 7.6

Sei $K$ ein Körper mit diskreter Bewertung $v$ , und sei $A$ der zugehörige Bewertungsring. Es gilt

$A^\times = \{ x\in A;\ v(x) = 0 \} .$

Sei $\pi \in A$ ein Element mit $v(\pi )=1$ . Ein solches Element heißt uniformisierendes Element. Dann gilt: Jedes Element $x\in A$ lässt sich schreiben als $x = \pi ^{v(x)} u$ mit $u\in A^{\times }$ (und $u$ ist eindeutig bestimmt).

Jedes Ideal von $A$ außer dem Nullideal hat die Form $(\pi ^d)$ , $d\ge 0$ . Das Ideal $(\pi )$ ist das einzige maximale Ideal von $A$ . Insbesondere ist $A$ ein lokaler Hauptidealring.

Lemma 7.7

Sei $A$ ein Integritätsring. Dann sind äquivalent:

Der Ring $A$ ist ein diskreter Bewertungsring.
Der Ring $A$ ist noethersch und lokal, und das maximale Ideal von $A$ ist ein Hauptideal.

Theorem 7.8

Sei $A$ ein Integritätsring. Dann sind äquivalent:

Der Ring $A$ ist ein diskreter Bewertungsring.
Der Ring $A$ ist ein lokaler Hauptidealring, aber kein Körper.
Der Ring $A$ ist noethersch, ganzabgeschlossen und es gibt genau ein Primideal $\ne 0$ in $A$ .

Kommutative Algebra, SS 2022

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