Kommutative Algebra, SS 2022

Inhalt

7.1 Diskrete Bewertungsringe

Definition 7.1

Sei \(K\) ein Körper. Eine diskrete Bewertung auf \(K\) ist eine surjektive Abbildung \(v\colon K^\times \to \mathbb Z\), für die gilt:

  1. \(v(xy) = v(x) + v(y)\) für alle \(x,y\in K^\times \),

  2. \(v(x+y) \ge \min (v(x), v(y))\) für alle \(x,y\in K^\times \).

Bemerkung 7.2

Sei \(K\) ein Körper mit einer diskreten Bewertung \(v\). Sei \(c\in \mathbb R\), \(0{\lt}c{\lt}1\). Dann definiert

\[ \lvert x\rvert = c^{v(x)} \text{ für } x\in K^\times ,\qquad \lvert 0\rvert = 0, \]

einen Absolutbetrag auf \(K\), d.h. eine Abbildung \(\lvert \cdot \rvert \colon K\to \mathbb R\) mit

  1. \(\lvert x\rvert = 0\Longleftrightarrow x=0\),

  2. \(\lvert xy\rvert = \lvert x\rvert \cdot \lvert y\rvert \),

  3. (Dreiecksungleichung) \(\lvert x+y\rvert \le \lvert x\rvert +\lvert y\rvert \).

Genauer gilt in dieser Situation sogar die starke Dreiecksungleichung:

\[ \lvert x+y\rvert \le \max (\lvert x\rvert , \lvert y\rvert ). \]

Man spricht in diesem Fall von einem nicht-archimedischen Absolutbetrag.

Lemma 7.3

Sei \(K\) ein Körper mit einer diskreten Bewertung \(v\). Dann ist

\[ \{ x\in K;\ v(x) \ge 0 \} \cup \{ 0 \} \]

ein Unterring von \(K\), der sogenannte Bewertungsring von \((K, v)\).

Beispiel 7.4

  1. Sei \(R\) ein faktorieller Ring, \(K=\operatorname{Quot}(R)\), \(p\in R\) ein Primelement. Jedes Element \(x\in K^\times \) lässt sich schreiben als \(x = p^n\frac ab\) mit \(n\in \mathbb Z\), \(a, b\in R\), \(p\nmid ab\). Dabei ist \(n\) eindeutig bestimmt und durch \(v(x):= n\) wird eine diskrete Bewertung auf \(K\) definiert.

  2. Sei speziell \(K=\mathbb Q\), \(p\in \mathbb Z\) eine Primzahl. Die wie in (1) definierte Bewertung \(v_p\) heißt die \(p\)-adische Bewertung auf \(\mathbb Q\). Der Bewertungsring von \(v_p\) ist der Ring \(\mathbb Z_{(p)}\), die Lokalisierung von \(\mathbb Z\) nach dem Primideal \((p)\). Man kann zeigen, dass alle diskreten Bewertungen auf \(\mathbb Q\) diese Form haben.

  3. Sei speziell \(K=k(T)\) der rationale Funktionenkörper über einem Körper \(k\). Wie in (1) definiert dann jedes irreduzible Polynom \(f\in k[T]\) eine Bewertung \(v_f\) auf \(K\). Der Bewertungsring von \(v_f\) ist der Ring \(k[T]_{(f)}\).

  4. Sei \(K=k(T)\) wie in 3. Dann ist auch \(K = \operatorname{Quot}(k[T^{-1}])\) und wenn wir die Konstruktion in (1) auf das Primelement \(T^{-1}\in k[T^{-1}]\) anwenden, erhalten wir eine Bewertung \(v_\infty \) auf \(K\), die nicht von der Form \(v_f\) wie in (3) ist. Es gilt

    \[ v_\infty (\frac fg) = \deg g -\deg f \text{ für } f, g\in k[T], g\ne 0. \]

    Der Bewertungsring von \(v_\infty \) ist der Ring

    \[ k[T^{-1}]_{(T^{-1})} = \{ \frac fg;\ f, g\in k[T], g\ne 0,\ \deg f \le \deg g \} \subset K. \]

    Man kann zeigen, dass alle Bewertungen auf \(K\) die Form \(v_f\), \(f\in k[T]\) irreduzibel, oder \(v_\infty \) haben.

Definition 7.5

Sei \(A\) ein Integritätsring, \(K=\operatorname{Quot}(A)\). Der Ring \(A\) heißt diskreter Bewertungsring, falls eine diskrete Bewertung auf \(K\) existiert, deren Bewertungsring \(A\) ist.

Bemerkung 7.6

Sei \(K\) ein Körper mit diskreter Bewertung \(v\), und sei \(A\) der zugehörige Bewertungsring. Es gilt

\[ A^\times = \{ x\in A;\ v(x) = 0 \} . \]

Sei \(\pi \in A\) ein Element mit \(v(\pi )=1\). Ein solches Element heißt uniformisierendes Element. Dann gilt: Jedes Element \(x\in A\) lässt sich schreiben als \(x = \pi ^{v(x)} u\) mit \(u\in A^{\times }\) (und \(u\) ist eindeutig bestimmt).

Jedes Ideal von \(A\) außer dem Nullideal hat die Form \((\pi ^d)\), \(d\ge 0\). Das Ideal \((\pi )\) ist das einzige maximale Ideal von \(A\). Insbesondere ist \(A\) ein lokaler Hauptidealring.

Lemma 7.7

Sei \(A\) ein Integritätsring. Dann sind äquivalent:

  1. Der Ring \(A\) ist ein diskreter Bewertungsring.

  2. Der Ring \(A\) ist noethersch und lokal, und das maximale Ideal von \(A\) ist ein Hauptideal.

Theorem 7.8

Sei \(A\) ein Integritätsring. Dann sind äquivalent:

  1. Der Ring \(A\) ist ein diskreter Bewertungsring.

  2. Der Ring \(A\) ist ein lokaler Hauptidealring, aber kein Körper.

  3. Der Ring \(A\) ist noethersch, ganzabgeschlossen und es gibt genau ein Primideal \(\ne 0\) in \(A\).